高考数学一轮复习 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理 文

2009~2013年高考真题备选题库
第3章 三角函数、解三角形
第7节 正弦定理和余弦定理
考点 正、余弦定理及其应用
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
解析：选D 本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三解形以及方程思想．化
简23cos2A ＋cos 2A ＝0，得23cos2A ＋2cos2 A －1＝0，解得cos A ＝15
.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A ，代入数据，解方程，得b ＝5.
2．（2013山东，5分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )
A ．2 3
B ．2 C. 2 D ．1
解析：选B 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想．由
已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin Acos A ，所以cos A ＝32
，A ＝30°. 结合余弦定理得12＝(3)2＋c2－2c×3×32
，整理得c2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.
当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.
3．（2013辽宁，5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3
C.2π3
D.5π6 解析：选A 本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角形内角和定理，意在考查考生对三角
函数基础知识和基本技能的掌握情况．边换角后约去sin B ，得sin(A ＋C)＝12
，所以sin B ＝12，但∠B 非最大角，所以∠B ＝π6
. 4．（2013北京，5分）在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13
，则sin B ＝( ) A.15 B.59
C.53
D. 1 解析：选B 本题主要考查正弦定理，意在考查考生对正、余弦定理掌握的熟练程度，属于容易题． 依题意，由a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，得sin B ＝59
，选B.
5．(2013陕西，5分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
bcos C ＋ccos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
解析：本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin2A ，有sin(B ＋C)＝sin2A ，从而sin(B ＋C)＝sin A ＝sin2A ，
解得sin A ＝1，∴A ＝π2
，故选B. 答案：B ．
6．(2100湖南，5分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c.若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a>b
B ．a<b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
解析：法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab －a2＝0，
即(b a )2＋b a
－1＝0， b a ＝－1＋52
<1， 故b<a.
法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，
b2＋ab －a2＝0，b ＝
a2a ＋b
， 由a<a ＋b 得，b<a.
答案：A
7．（2012广东，5分）在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )
A ．4 3
B ．2 3 C. 3 D.32 解析：由正弦定理得：B
C sin A ＝AC sin B ，即32si n 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232
×22＝2 3. 答案：B
8．（2012陕西，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若a ＝2，B ＝π6
，c ＝23，则b ＝________.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝4＋12－2×2×23×32
＝4，所以b ＝2. 答案：2
9．（2011新课标全国，5分）△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，
整理得：x2＋5x －24＝0，即x ＝3.
因此S △ABC ＝12AB×BC×sinB＝12×3×5×32＝1534
. 答案：1534
10．（2010江苏，5分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a b ＝6cosC ，则tanC tanA ＋tanC tanB
的值是________． 解析：取a ＝b ＝1，则cosC ＝13
， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝43
， ∴c ＝233
， 在如图所示的等腰三角形ABC 中， 可得tanA ＝tanB ＝2，
又sinC ＝223
，tanC ＝22， ∴tanC tanA ＋tanC tanB
＝4. 另解：由b a ＋a b ＝6cosC 得，a2＋b2ab ＝6·a2＋b2－c22ab ，即a2＋b2＝32c2， ∴tanC tanA ＋tanC tanB ＝tanC(cosA sinA ＋cosB sinB )＝sin2C cosCsinAsinB ＝2c2a2＋b2－c2
＝4. 答案：4
11．（2013福建，12分）如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．
(1)若OM ＝5，求PM 的长；
(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．
解：本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理，得OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos 45°，
得MP2－4MP ＋3＝0，
解得MP ＝1或MP ＝3.
(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，
在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ， 所以OM ＝OPsin 45°sin 45°＋α， 同理ON ＝OPsin 45°sin 75°＋α
. 故S △OMN ＝12
×OM×ON×sin ∠MON ＝14×OP2sin2 45°sin
45°＋αsin 75°＋α ＝
1sin 45°＋αsin 45°＋α＋30° ＝1sin 45°＋α⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32sin 45°＋α＋12cos 45°＋α ＝1
32sin245°＋α＋12
sin 45°＋αcos 45°＋α ＝1
34[1－cos 90°＋2α]＋14
sin 90°＋2α ＝134＋34sin 2α＋14
cos 2α ＝
1
34＋12sin 2α＋30°. 因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.
12．（2013浙江，14分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asin B ＝3b.
(1)求角A 的大小；
(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．
解：本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力．
(1)由2asin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32
. 因为A 是锐角，所以A ＝π3
. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋c2－bc ＝36.
又b ＋c ＝8，所以bc ＝283
.
由三角形面积公式S ＝12
bcsin A ，得 △ABC 的面积为733
. 13．（2013天津，13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsin A
＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23
. (1)求b 的值；
(2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π3的值． 解：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力． (1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B
，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.
由b2＝a2＋c2－2accos B ，cos B ＝23
，可得b ＝ 6. (2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos2 B －1＝－19
，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝459
. 所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝45＋318. 14．（2012江西，12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C.
(1)求cos A ； (2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c.
解：(1)由3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C ，
得3(cos Bcos C －sin Bsin C)＝－1，
即cos(B ＋C)＝－13
， 从而cos A ＝－cos(B ＋C)＝13
. (2)由于0<A<π，cos A ＝13，所以sin A ＝223
. 又S △ABC ＝22，即12
bcsin A ＝22，解得bc ＝6. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋c2＝13，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝2.
15．(2011安徽，13分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C)＝0，求边BC 上的高．
解：由1＋2cos(B ＋C)＝0和B ＋C ＝π－A ，得
1－2cosA ＝0，所以cosA ＝12，sinA ＝32
. 再由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝22
. 由b<a 知B<A ，所以B 不是最大角，B<π2
，从而 cosB ＝1－sin2B ＝22
. 由上述结果知sinC ＝sin(A ＋B)＝22×(32＋12)＝6＋24
. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝bsinC ＝
3＋12. 16．(2010辽宁，12分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC.
(1)求A 的大小；
(2)若sinB ＋sinC ＝1，试判断△ABC 的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA ，
故cosA ＝－12
，又A ∈(0，π)，故A ＝120°. (2)由(1)得sin2A ＝sin2B ＋sin2C ＋sin Bsin C.
又sinB ＋sinC ＝1，得sinB ＝sinC ＝12
. 因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C.
所以△ABC 是等腰的钝角三角形．。