2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
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9．设函数 的最小正周期是 ，将其图象向左平移 后，得到的图象如图所示，则函数 的单增区间是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知图象知， 的最小正周期是 所以 解得 .由 得到，单增区间是 或：因为 所以将 的图象向左平移 后，所对应的解析式为 .由图象知， 所以 .由 得到，单增区间是
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
19．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数 的图象关于 轴对称，求 的最小值.
7．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个对称中心为点 ，则 有（）
A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1
【答案】A
【解析】将 代入余弦函数对称轴方程，可以算出 关于 的一个方程，再将 代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个 关于 的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案.
【详解】
由 满足余弦函数对称轴方程可知
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1． （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可以把 角化成 ，利用诱导公式化成 以内的特殊角，从而得到结果.
【详解】
由三角函数的诱公式是三角中最基本的运算，可以把任意大小的角化成 到 范围内进行求解.
即 的最大值为 ；
①当 时， （满足条件）；
②当 时，
（舍）；
③当 时， （舍）
故答案为
【点睛】
当式子中同时出现 时，常常可以利用换元法，把 用 进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.
【详解】
由正切函数的对称中心 可以推出 对称中心的横坐标满足
，带入四个选项中可知，当 时， .
故 是图像的一个对称中心，选A.
【点睛】
正切函数的对称中心为 ，正弦函数的对称中心为 ，余弦函数的对称中心为 ，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.
5．若 则 （）
【解析】由于 是 外接圆圆心， 是垂心，固有 ， ；将 等式左右两边同时乘以 ，化简可以求出 .
【详解】
将等式 左右两边同时乘以向量 ，可以得到
，
继续化简可得 ，
又 ，
故选B.
【点睛】
若 是 的外心，则有：
若 是 的垂心，则有：
.
二、填空题
13．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 _________.
A． B．2 C． D．-2
【答案】D
【解析】略
6．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可以看出 ，直接排除A、B，再比较 ，从而选出正确答案.
【详解】
可以看出 是一个锐角，故 ；又 ，故 ；又 ，而 ，
故 ；从而得到 ，
故选C.
【点睛】
比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.
【详解】
由 ， 及 可得
，化简得
或
又 ，则 为唯一解，答案选D.
【点睛】
1、若向量 ，则向量点乘 ；
2、解三角方程时，若 ，则 或 ；
3、解三角方程时尤其要注意角度的取值范围.
4．函数 的图象的一个对称中心是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正切函数对称中心 可以得到 ，从而解出满足条件的对称中心.
【详解】
（1）由 可得：
所以直线 的方程
整理得：
则 到直线 的距离： ，
故 边上的高为
（2）设 ， 是 平分线所在直线上的一点，则有：
，所以
由数量积的定义可得：
所以
化简得： .
又
所以
整理得： ，
由 可得： ，联立得： ，
解得： 或
所以点 的坐标为 或
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离公式、角平分线知识及数量积的定义、坐标运算，考查转化能力及计算能力，属于难题。
20．已知函数 的图象的一部分如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求函数 的值域.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）从图像可以看出，此函数的最大和最小值分别为2和-2，则 ，算出周期可以解出 的值，最后代入最高点 ，依据 的取值范围求出结果.
（2）通过 的取值范围，求出 的取值范围，从图像中解出值域.
（2）若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)1
【解析】（1）先利用诱导公式把等式进行化简，代入 进行求解；
（2） 可以把分母看成 ，再利用弦化切进行求解.
【详解】
（1）用诱导公式化简等式可得
，代入 可得 .
故答案为 ；
（2）原式可化为：
把 代入得
故答案为1.
【点睛】
遇到复杂的三角方程时，首先应该考虑使用诱导公式进行化简，再将数据代入，求出结果；切化弦和弦化切都是我们常用的运算方法，在计算时要灵活应用三角函数的隐藏条件，如 等.
【详解】
（1）由题可得： ，
令： ，整理得：
解得： ，
所以函数 的单调递减区间为： .
（2）
令： ， ，所以
所以 的对称轴为:
又函数 的图象关于 轴对称，所以
解得： ，由 可知：
的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的周期公式及利用复合函数单调性规律知识求函数的单调区间，还考查了三角函数图像的平移、伸缩变换及三角函数的性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。
因 ，故 ，所以 ．
综上 ， ，故选B．
点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．
12． 的外接圆的圆心为 ，垂心为 ， ，则 的取值为（）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】B
【详解】
向量 ， 分别与向量 所成的角相等，可得 ，
即 ，代入 ， ， ，得
，
故答案为 .
【点睛】
向量的夹角相等，可以利用点乘进行求解；若向量 ， 的夹角为 ，则
.
15． 的最小值为_________.
【答案】9
【解析】利用 把原式转化成 ，整理后利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】
因为
所以
当且仅当 时，等号成立，即： 时，等号成立。
，
再由 满足对称中心方程可知
，综合可知 的最小值为2，故选A.
【点睛】
正弦函数的对称轴方程满足 ，对称中心满足 ；余弦函数的对称轴方程满足 ，对称中心满足 ；解题时一定要注意 这个条件，缩小范围.
8．如图，在 中， ， ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∴λ= ，μ= ． .
故答案为：D。
所以 的最小值为
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值及“1”的用法，考查转化能力及观察能力，属于中档题。
16．已知函数 的图象上关于 轴对称的点恰有9对,则实数 的取值范围_________.
【答案】
【解析】求出函数 关于 轴对称的图像，利用数形结合可得到结论.
【详解】
若 ，则 ， ，设 为 关于 轴对称的图像，画出 的图像，
【答案】
【解析】 展开后代入 及 即可算出答案.
【详解】
由题意可知 ，代入模长及角度可以算出 ，
故答案为 .
【点睛】
求向量四则运算后的模长可利用平方后开根号的方式得到；
1、 ；
2、 .
14．已知向量 ， ， ，其中 为常数，如果向量 ， 分别与向量 所成的角相等，则 _________.
【答案】2
【解析】由向量 ， 分别与向量 所成的角相等可得 ，利用向量夹角的计算公式，列出等式，解出最后的结果.
21．在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， ， .
（1）求 边上的高；
（2）设点 是 平分线所在直线上的一点，若 ，求点 的坐标.
【答案】(1) (2) 或
【解析】（1）求出线段 所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，即可求出 点到 的距离，问题得解。
（2）设 ， 是 平分线所在直线上的一点，则有 ，利用数量积的定义可得： ，利用数量积的坐标运算整理得： ，结合 可列方程组得： ，解方程组即可求出点 的坐标.
【答案】(1)最小正周期为 ,单调递减区间为 (2)
【解析】（1）利用周期公式即可求得函数的最小正周期，利用复合函数单调性规律及余弦函数的单调性列不等式： ，解不等式即可求得函数 的单调递减区间.
（2）利用三角函数图像变换，写出变换后的三角函数解析式为： ，即可求得其对称轴方程为： ，利用函数 的图象关于 轴对称即可列方程： ，解得： ，再利用 即可求得 的最小值，问题得解。
18．已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）-12；（2）12.
【解析】(1)按照向量的点积公式得到 ，再由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到 ，按照运算公式展开得到结果即可.
【详解】
（1）由题意得 ，
∴
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴
点晴：本题考查的是三角函数的图像和性质.已知函数 的图象求解析式;(1) ;(2)由函数的周期 求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .确定解析式 后，再根据 可得单增区间是 .
10．在△ABC中，∠A=120°，AB=3，AC=4，若 =2 ， = + （λ∈R），且 • = ，则λ的值为（ ）
11．已知函数 ，在 的大致图象如图所示，则 可取（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：从图像可以看出 为偶函数，结合 的形式可判断出 为偶函数，故得 的值，最后通过 得到 的值．
详解： 为 上的偶函数，而 为 上的偶函数，故 为 上的偶函数，所以 ．
因为 ，故 ， ．
因 ，故 ，所以 ， ．
22．已知 ， ， ，且 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ， ，若 的最大值为 ，求实数 的值.
【答案】(1)0 (2)
【解析】（1）通过 可以算出 ，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出 ，再通过最大值根的分布，求出 的值.
【详解】
（1）通过 可以算出 ，
即
故答案为0.
（2） ，设 ， ， ，
要使图像上有至少9个点关于 轴对称，即 与 有至少9个交点，则 ，且满足
，即 。
则 ，解得 ，
故答案为：
【点睛】
解分段函数或两个函数对称性的题目时，可先将一个函数的对称图像求出，利用数形结合的方式得出参数的取值范围；遇到题目中指对函数时，需要讨论底数 的范围，分别画出图像进行讨论.
三、解答题
17．（1）已知 ，求 .
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】结合已知，用 ， 表示 ，然后结合向量数量积的运算性质即可求解．
【详解】
解：∵ 2 ， （λ∈R），
∴ ，
∵，∠A＝120°，AB＝3，AC＝4，
∴ 6，
∵ • ，
∴（ ）•（ ）
，
则λ＝﹣2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．
2．已知向量 ， ，且 ，则 （）
A． B． C．1D．
【答案】B
【解析】由向量平行的性质可以得到 ，从而得到 .
【详解】
由向量 ， ，且 ，可由向量平行的性质得到
.
故答案选B
【点睛】
若向量 ，且 ，则可以推出 .
3．已知向量 ， ， ，若 ，则角 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由向量点乘的公式带入，可以得到 ，再由 求出 角的精确数值.
【详解】
（1）由图可知 ， ，
又 可得 ，代入最高点 ，可知
，又 ，
故 .
（2）由 可得 ，
故正弦函数 .
【点睛】
1、从图像求解三角函数解析式时首先可以由最大值剪最小值除以2求出A的值；
2、求解 时一般先由图像算出周期后得到；
3、求解 时要注意只能够代入最高或最低值所在的点，否则其它点代入得到的值并不唯一.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知图象知， 的最小正周期是 所以 解得 .由 得到，单增区间是 或：因为 所以将 的图象向左平移 后，所对应的解析式为 .由图象知， 所以 .由 得到，单增区间是
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
19．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数 的图象关于 轴对称，求 的最小值.
7．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个对称中心为点 ，则 有（）
A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1
【答案】A
【解析】将 代入余弦函数对称轴方程，可以算出 关于 的一个方程，再将 代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个 关于 的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案.
【详解】
由 满足余弦函数对称轴方程可知
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1． （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可以把 角化成 ，利用诱导公式化成 以内的特殊角，从而得到结果.
【详解】
由三角函数的诱公式是三角中最基本的运算，可以把任意大小的角化成 到 范围内进行求解.
即 的最大值为 ；
①当 时， （满足条件）；
②当 时，
（舍）；
③当 时， （舍）
故答案为
【点睛】
当式子中同时出现 时，常常可以利用换元法，把 用 进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.
【详解】
由正切函数的对称中心 可以推出 对称中心的横坐标满足
，带入四个选项中可知，当 时， .
故 是图像的一个对称中心，选A.
【点睛】
正切函数的对称中心为 ，正弦函数的对称中心为 ，余弦函数的对称中心为 ，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.
5．若 则 （）
【解析】由于 是 外接圆圆心， 是垂心，固有 ， ；将 等式左右两边同时乘以 ，化简可以求出 .
【详解】
将等式 左右两边同时乘以向量 ，可以得到
，
继续化简可得 ，
又 ，
故选B.
【点睛】
若 是 的外心，则有：
若 是 的垂心，则有：
.
二、填空题
13．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 _________.
A． B．2 C． D．-2
【答案】D
【解析】略
6．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可以看出 ，直接排除A、B，再比较 ，从而选出正确答案.
【详解】
可以看出 是一个锐角，故 ；又 ，故 ；又 ，而 ，
故 ；从而得到 ，
故选C.
【点睛】
比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.
【详解】
由 ， 及 可得
，化简得
或
又 ，则 为唯一解，答案选D.
【点睛】
1、若向量 ，则向量点乘 ；
2、解三角方程时，若 ，则 或 ；
3、解三角方程时尤其要注意角度的取值范围.
4．函数 的图象的一个对称中心是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正切函数对称中心 可以得到 ，从而解出满足条件的对称中心.
【详解】
（1）由 可得：
所以直线 的方程
整理得：
则 到直线 的距离： ，
故 边上的高为
（2）设 ， 是 平分线所在直线上的一点，则有：
，所以
由数量积的定义可得：
所以
化简得： .
又
所以
整理得： ，
由 可得： ，联立得： ，
解得： 或
所以点 的坐标为 或
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离公式、角平分线知识及数量积的定义、坐标运算，考查转化能力及计算能力，属于难题。
20．已知函数 的图象的一部分如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求函数 的值域.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）从图像可以看出，此函数的最大和最小值分别为2和-2，则 ，算出周期可以解出 的值，最后代入最高点 ，依据 的取值范围求出结果.
（2）通过 的取值范围，求出 的取值范围，从图像中解出值域.
（2）若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)1
【解析】（1）先利用诱导公式把等式进行化简，代入 进行求解；
（2） 可以把分母看成 ，再利用弦化切进行求解.
【详解】
（1）用诱导公式化简等式可得
，代入 可得 .
故答案为 ；
（2）原式可化为：
把 代入得
故答案为1.
【点睛】
遇到复杂的三角方程时，首先应该考虑使用诱导公式进行化简，再将数据代入，求出结果；切化弦和弦化切都是我们常用的运算方法，在计算时要灵活应用三角函数的隐藏条件，如 等.
【详解】
（1）由题可得： ，
令： ，整理得：
解得： ，
所以函数 的单调递减区间为： .
（2）
令： ， ，所以
所以 的对称轴为:
又函数 的图象关于 轴对称，所以
解得： ，由 可知：
的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的周期公式及利用复合函数单调性规律知识求函数的单调区间，还考查了三角函数图像的平移、伸缩变换及三角函数的性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。
因 ，故 ，所以 ．
综上 ， ，故选B．
点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．
12． 的外接圆的圆心为 ，垂心为 ， ，则 的取值为（）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】B
【详解】
向量 ， 分别与向量 所成的角相等，可得 ，
即 ，代入 ， ， ，得
，
故答案为 .
【点睛】
向量的夹角相等，可以利用点乘进行求解；若向量 ， 的夹角为 ，则
.
15． 的最小值为_________.
【答案】9
【解析】利用 把原式转化成 ，整理后利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】
因为
所以
当且仅当 时，等号成立，即： 时，等号成立。
，
再由 满足对称中心方程可知
，综合可知 的最小值为2，故选A.
【点睛】
正弦函数的对称轴方程满足 ，对称中心满足 ；余弦函数的对称轴方程满足 ，对称中心满足 ；解题时一定要注意 这个条件，缩小范围.
8．如图，在 中， ， ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∴λ= ，μ= ． .
故答案为：D。
所以 的最小值为
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值及“1”的用法，考查转化能力及观察能力，属于中档题。
16．已知函数 的图象上关于 轴对称的点恰有9对,则实数 的取值范围_________.
【答案】
【解析】求出函数 关于 轴对称的图像，利用数形结合可得到结论.
【详解】
若 ，则 ， ，设 为 关于 轴对称的图像，画出 的图像，
【答案】
【解析】 展开后代入 及 即可算出答案.
【详解】
由题意可知 ，代入模长及角度可以算出 ，
故答案为 .
【点睛】
求向量四则运算后的模长可利用平方后开根号的方式得到；
1、 ；
2、 .
14．已知向量 ， ， ，其中 为常数，如果向量 ， 分别与向量 所成的角相等，则 _________.
【答案】2
【解析】由向量 ， 分别与向量 所成的角相等可得 ，利用向量夹角的计算公式，列出等式，解出最后的结果.
21．在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， ， .
（1）求 边上的高；
（2）设点 是 平分线所在直线上的一点，若 ，求点 的坐标.
【答案】(1) (2) 或
【解析】（1）求出线段 所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，即可求出 点到 的距离，问题得解。
（2）设 ， 是 平分线所在直线上的一点，则有 ，利用数量积的定义可得： ，利用数量积的坐标运算整理得： ，结合 可列方程组得： ，解方程组即可求出点 的坐标.
【答案】(1)最小正周期为 ,单调递减区间为 (2)
【解析】（1）利用周期公式即可求得函数的最小正周期，利用复合函数单调性规律及余弦函数的单调性列不等式： ，解不等式即可求得函数 的单调递减区间.
（2）利用三角函数图像变换，写出变换后的三角函数解析式为： ，即可求得其对称轴方程为： ，利用函数 的图象关于 轴对称即可列方程： ，解得： ，再利用 即可求得 的最小值，问题得解。
18．已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）-12；（2）12.
【解析】(1)按照向量的点积公式得到 ，再由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到 ，按照运算公式展开得到结果即可.
【详解】
（1）由题意得 ，
∴
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴
点晴：本题考查的是三角函数的图像和性质.已知函数 的图象求解析式;(1) ;(2)由函数的周期 求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .确定解析式 后，再根据 可得单增区间是 .
10．在△ABC中，∠A=120°，AB=3，AC=4，若 =2 ， = + （λ∈R），且 • = ，则λ的值为（ ）
11．已知函数 ，在 的大致图象如图所示，则 可取（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：从图像可以看出 为偶函数，结合 的形式可判断出 为偶函数，故得 的值，最后通过 得到 的值．
详解： 为 上的偶函数，而 为 上的偶函数，故 为 上的偶函数，所以 ．
因为 ，故 ， ．
因 ，故 ，所以 ， ．
22．已知 ， ， ，且 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ， ，若 的最大值为 ，求实数 的值.
【答案】(1)0 (2)
【解析】（1）通过 可以算出 ，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出 ，再通过最大值根的分布，求出 的值.
【详解】
（1）通过 可以算出 ，
即
故答案为0.
（2） ，设 ， ， ，
要使图像上有至少9个点关于 轴对称，即 与 有至少9个交点，则 ，且满足
，即 。
则 ，解得 ，
故答案为：
【点睛】
解分段函数或两个函数对称性的题目时，可先将一个函数的对称图像求出，利用数形结合的方式得出参数的取值范围；遇到题目中指对函数时，需要讨论底数 的范围，分别画出图像进行讨论.
三、解答题
17．（1）已知 ，求 .
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】结合已知，用 ， 表示 ，然后结合向量数量积的运算性质即可求解．
【详解】
解：∵ 2 ， （λ∈R），
∴ ，
∵，∠A＝120°，AB＝3，AC＝4，
∴ 6，
∵ • ，
∴（ ）•（ ）
，
则λ＝﹣2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．
2．已知向量 ， ，且 ，则 （）
A． B． C．1D．
【答案】B
【解析】由向量平行的性质可以得到 ，从而得到 .
【详解】
由向量 ， ，且 ，可由向量平行的性质得到
.
故答案选B
【点睛】
若向量 ，且 ，则可以推出 .
3．已知向量 ， ， ，若 ，则角 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由向量点乘的公式带入，可以得到 ，再由 求出 角的精确数值.
【详解】
（1）由图可知 ， ，
又 可得 ，代入最高点 ，可知
，又 ，
故 .
（2）由 可得 ，
故正弦函数 .
【点睛】
1、从图像求解三角函数解析式时首先可以由最大值剪最小值除以2求出A的值；
2、求解 时一般先由图像算出周期后得到；
3、求解 时要注意只能够代入最高或最低值所在的点，否则其它点代入得到的值并不唯一.