高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》易错题汇编及答案解析

新数学《复数》高考复习知识点
一、选择题
1．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188
i + B ．1188
i -+
C ．1188
i --
D ．
1188
i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18
i
z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】
21111
(12)1,,44888
i i z z z z i i --+=+∴=
==-+-Q . 故选：B . 【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
2．已知i 是虚数单位，4
4
z 3i (1i)
=-+，则z (= )
A ．10 B
C ．5
D 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】
42
44
z 3i 3i 13i (1i)(2i)
=
-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．设i 为虚数单位，321i
z i
=+-，则||z =（ ）
A ．1 B
C
D 【答案】D 【解析】 【分析】
计算出z ，进而计算z 即可. 【详解】
()()()
3133313222,111222i i i i i z i i i ⋅+-=+
=+=+=+--+ 2
2
131022z ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．
4．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2
C ．5
D ．3
【答案】D 【解析】
因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.
5．设i 是虚数单位，若复数()10
3a a R i
-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因,
故由题设,
故
,故选D ．
考点：复数的概念与运算.
6．已知i 是虚数单位，则131i
i +=+（ ） A ．2i - B ．2i +
C ．2i -+
D ．2i --
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】
由复数的运算法则有：
13(13)(1)422(1)(11)2
i i i i
i i i i ++-+===++-+. 故选B . 【点睛】
对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
7．若43i z =+，则z
z
=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．
4355
i + D ．
4355
i - 【答案】D 【解析】 【详解】
由题意可得 ：5z =
=，且：43z i =-，
据此有：4343555
z i i z -==-. 本题选择D 选项.
8．若复数()21a i
a R i
-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）
A B ．13
C ．10
D
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】
由复数的运算法则有：
2(2)(1)221(1)(1)22
a i a i i a a
i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i
a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨
-≠⎩
，
即2,|3|a ai =--= 本题选择A 选项. 【点睛】
复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
9．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线
C ．抛物线
D ．线段
【答案】D 【解析】 【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】
2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.
当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．若202031i i
z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】
()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.
故选：A .
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
11．复数12i
2i
+=-（ ）． A ．i B ．1i +
C ．i -
D ．1i -
【答案】A 【解析】 试题分析：
12(12)(2)242
2(2)(2)5
i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
12．设2i
2i 1i
z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +
C ．2i +
D ．2i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】
由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i
2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
13．在复平面内，复数121i
z i
-=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C 【解析】 试题分析：
1213
122
i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故
考点：复数的代数运算及几何意义．
14．若复数1a i
z i
+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1
C ．
12
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】
()()()()()i 1i 11i
i 1i 1i 1i 2
a a a a z ++-+++=
==--+Q ， 所以3
·z i =
()()()()
34
1i 1i 1i 12
2
a a a a -++--++=
，
因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，1
02
a --
= 可得1a =，1a =时3
,?
10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
15．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()
22288z m m m m =-+++-，若z 为负实
数，则m 的取值集合为（ ）
A ．{}0
B ．{}8
C ．()2,4-
D ．()4,2- 【答案】B
【解析】由题设可得2280
{280m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。

16．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是
；
②若，且，则
；
③若
，则
．
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A 【解析】
对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 考点：复数的有关概念.
17．复数5
2
i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.
【详解】
因为
522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】
本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.
18．复数z 11i
i
-=+，则|z |=( ) A ．1 B ．2
C 2
D ．2【答案】A 【解析】 【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】
由题意复数z 11i
i
-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+=
==-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.
19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z
=( ) A ．i B ．i -
C ．2i
D ．2i -
【答案】A 【解析】
因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010
m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，
则
11i z i
==-.。