量子力学习题解答-第3章

第三章
形式理论
本章主要内容概要：
1. 力学量算符与其本征函数
量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足
()
*
*ˆˆ()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =⎰
⎰
或者用狄拉克符号，ˆˆf Qg
Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。

厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。

若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。

一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。

而两个不对易的厄米算符没有共同的本
征函数系，它们称为不相容力学量。

对任意态测量不相容力学量ˆˆ,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理
2
2
21ˆˆ,2Q
F
Q F i σσ⎛⎫
⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭
2. 广义统计诠释
设力学量ˆQ 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n
q ，即 ()*ˆ()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn
Qf x q f x f x f x dx m n δ===⎰
或
ˆ, n n n m n mn
Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n
f f =∑
（恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以
用这个本征函数系展开 (,)(),n
n n
x t c
f x ψ=∑ 或n
n n n n
n
f f c f ψ=ψ=∑∑
展开系数为
*
()()(,)n n n
c t f f
x x t dx =ψ=
ψ⎰
若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的，
2
1n n
c =∑。

广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态
测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2
n c 。

对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 2
n
n n
Q q
c =
∑
这与用*ˆQ Q dx =ψψ⎰
计算方法等价。

如果力学量ˆQ
具有连续谱的本征函数系 '*'ˆ()(), ()()(), q q q q
Qf x qf x f x f x dx q q δ==-⎰
任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为
(,)()q q x t c f x dq ψ=⎰ 或q n c f dq ψ=⎰
由于q 连续变化的，展开系数q c 是q 的函数可以表示为(,)c q t ，其归一化表示为
2
(,)1c q t dq =⎰。

广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态测量力学量Q ，得到结果处于q 到q dq
+之间的几率为2
(,)c q t dq ，即2
(,)c q t 是几率密度。

3.表象理论
对任意一个物理态ψ可以用一个力学量的本征态展开，比如若用坐标的本征态x （连续谱）
(,)x t x dx ψ=ψ⎰
， (,)x t x ψ=ψ
则展开系数(,)x t ψ称为坐标表象的波函数。

我们可在坐标表象用波函数(,)x t ψ来研究这个态。

若用动量的本征态p ，则有
(,)C p t p dp ψ=⎰
(,)C p t p =ψ
展开系数(,)C p t 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数(,)C p t 来研究这个态。

ψ的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。

当力学量ˆF 的本征态为分立谱n
f 时，
, n
n n n n
c
f c f ψ=
=ψ∑
在ˆF
表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。

这个表象的波函数（展开系数{}n c 可表示为一列矩阵，算符ˆG
表示为一个方矩阵 12n c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ψ 1112
12122
1.........
............
...
...
........................
...n n nn G G G G G G G ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
G
*ˆˆ()()mn m n m n G f G f f x Gf x dx ≡=⎰ 波函数的归一化表示为
()122
†**
*
12
11n
n n n c c c c c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪=ψψ=ψψ=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑ G 的平均值表示为
()11121121222†***
12
1.........
......ˆ.........
...
........................
...n n
n nn n G G G c G G c G G c c c G G c ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=ψψ=ψψ=
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
G G 的本征方程表示为
11121112122
221.........
............
...
...
...........................n n nn n n G G G a a G G a a G G a a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 解久期方程
1112
121221...
............
0............
...............
...
.........
n n nn G G G G G G G λ
λλ--=-
可以得到本征值n λ，把某一个本征值代入本征方程可以的到对应这个本征值的本征函数。

习题3.1：
（a ） 证明，全体平方可积函数构成一个矢量空间（参考A.1节中的定义）。

提示：要点是
证明两个平方可积函数之和也是平方可积的，利用3.7式。

全体可归一化的函数构成一个矢量空间吗？
（b ） 证明3.6式中的积分满足内积条件（A.2节）。

证明：（a ）我们需要证明两个平方可积函数之和也是平方可积的。

设为,f g 为区域[],a b 上的任意两个平方可积函数，即
()()2
2
,b
b
a
a
f f f x dx
g g g x dx =<∞=<∞⎰⎰。

设
h f g =+ 则有
h h f g f g f f g g f g g f =++=+++，
其中
()(
)()(
)*
*
*,
b
b
a
a
f g f
x g x dx g f g x f x dx f g ===⎰⎰。

由Schwarz 不等式，若,f g 皆平方可积，则
f g g f =≤
<∞。

因此，
f g f g f f g g f g g f ++=+++<∞。

即f g +也是平方可积函数，因此特定区域上的全体平方可积函数构成矢量空间。

很容易证明全体可归一化函数不构成一个矢量空间：设f 为任一可归一化函数，由于
, f f f f f --=-亦是可归一化函数，但()0f f +-=不可归一化，另外
2f f f =+
，但是224f f =，也不是归一化的，因此全体可归一化函数不构成一个矢
量空间。

（b ） 对于不同的条件有不同的矢量内积定义，本题所指是通常意义下的线性空间两矢量
内积，即内积满足如下条件：
1. *
*
11221122c f c f g c f g c f g +=+；
2. 11221122f c g c g c f g c f g +=+；
3. *
f g g f =；
4.
f f
是实数，且0f f ≥，仅当()0f x =等号成立。

由3.6式定义的内积
()()*
, b
a
f g f x g x dx =⎰
可验证： 1.
()()()()()()()()()(
)*
****1122112211
22******11221122b
b b a
a
a
b
b
a
a
c f c f g c f c f g x dx c
f
x g x dx c f x g x dx
c f x g x dx c f x g x dx c f g c f g +=+=+=+=+⎰⎰
⎰
⎰⎰
2.
()()()()()()()(
)*11221122*
*
11221
122
b
a
b
b
a
a
f c
g c g f x c g x c g x dx
c f
x g x dx c f
x g x dx c f g c f g +=+=+=+⎰⎰⎰
3.
()()()()*
*
*
*
b
b
a
a f g f
x g x dx g x f x dx g f ⎡⎤===
⎣⎦⎰⎰
4.
()2
0b
a
f f f x dx =≥⎰，为实数，等号仅当0f =成立。

所以关于内积的四个条件都成立。

习题3.2：
（a ） v 范围取什么值时，函数()v
f x x =（01x ≤≤）是在希尔伯特空间中？假设v 是实
数，但不必是正数。

（b ） 对于特定情况1/2v =，()f x 在希尔伯特空间吗？()xf x 呢？()/()d dx f x 呢？ 解：
（a）
()
1*
f f x x dx
υυ
=⎰，
由于υ为实数，因此
11
221
1
21
f f x dx x
υυ
υ
+
==
+
⎰
显然（1）210
υ+=
时，f f→∞；（2）210
υ+>
时，f f
1
21
υ
=
+
<∞；（3）210
υ+<
时
，()21
1
1lim
21x
f f xυ
υ
+
→
=-→∞
+。

综上知，若要使()()
,01
f x x x
υ
=≤≤处于Hilbert空间中，必有210
υ+>即1
2
υ>-。

（b）由（a）知，()()
,01
f x x x
υ
=≤≤处于Hilbert空间中的条件为1/2
υ>-，所以当1/2
υ=+时，1/2
()
f x x
=，()
3
2
xf x x
=，()
1
2
1
2
d
f x x
dx
-
=，因此，()
f x、()
xf x在Hilbert空间中，()
d
f x
dx
不在。

*习题3.3证明如果对于所有（希尔伯特空间中）的函数h都有ˆˆ
h Qh Qh h
=，那么，对于所有的f和g就有ˆˆ
f Q
g Qf g
=（即，两种对于厄密算符的定义—等式3.16和3.17—是等价的）。

提示：首先设h f g
=+，然后令h f ig
=+。

证明：
若对于Hilbert空间中任意函数h，都有
ˆˆ
h Qh Qh h
=，
设
()()()
h x f x cg x
=+，其中c是一任意常数（复数）
我们有
2
*
2
*
**
ˆˆˆˆˆ
()
ˆˆˆˆˆ
()
ˆˆˆˆ
h Qh f cg Q f cg f Qf c f Qg c g Qf c g Qg
Qh h Q f cg f cg Qf f c Qf g c Qg f c Qg g
c f Qg c g Qf c Qf g c Qg f
=++=+++=
=++=+++
→+=+
上式对任意常数c都成立，分别取1,
c i
=，有
ˆˆˆˆ
f Q
g g Qf Qf g Qg f
+=+
ˆˆˆˆ
f Q
g g Qf Qf g Qg f
-=-
两式相加得到所要结果
ˆˆ
f Q
g Qf g
=。

习题3.4
（a）证明两个厄密算符之和仍为厄密算符。

（b）假设ˆQ是厄密的，α是一个复数。

在什么条件下（α的）ˆQ
α也是厄密的？
（c）在什么条件下两个厄密算符的积也是厄密的？
（d）证明坐标算符（x x
=）和哈密顿算符（222
ˆ(/2)/()
H m d dx V x
=-+）是厄密算符。

证明：
（a）设ˆˆ,Q S是两个厄密算符，则对任意函数(),()
f x
g x有
ˆ
f QgˆQf g
=
，ˆ
f SgˆSf g
=，
又
ˆˆˆˆ
()
f Q S
g f Qg f Sg
+=+ˆˆˆˆ
()
Qf g Sf g Q S f g
=+=+，
故ˆˆ
Q S
+仍是厄密算符。

（b）
*
ˆˆ
ˆˆ
f Q
g f Qg
Qf g Qf g
αα
αα
=
=
两式相等，α必须为实数。

所以当α为实数时ˆQ
α也是厄密的。

（c）
设ˆˆ,Q S是厄密算符，则有
ˆˆˆˆ()
f QS
g f Q Sg
=
=ˆˆ()
f Q Sg=ˆˆ
Qf Sg=ˆˆ
SQf g
如果ˆˆ
QS是厄米的，必须有
ˆˆˆˆ)
f QS
g QSf g
=
即ˆˆ
QS=ˆˆ
SQ，即两厄密算符在对易的条件下，其积才是厄密的。

（d）证：
()()()
()()
*
*
ˆˆ
f x
g f x xg x dx xf x g x dx xf g
+∞+∞
-∞-∞
===
⎰⎰，
()()()()()()()()()()2
2
*2
2
2
***
2
*2
2*
*2
*
222ˆ22222ˆ2d f Hg f x V x g x dx m dx dg
df dg
f dx V x f x
g x dx m dx m dx dx
df d f g gdx f x V x g x dx m dx m dx d f
V x f gdx Hf g m dx +∞
-∞
+∞
+∞
+∞-∞
-∞-∞
+∞
+∞+∞-∞
-∞-∞
+∞-∞⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭=-+
+⎡⎤⎣⎦=-
+⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
中间两步利用了在x →±∞时，()()0f g ±∞=±∞=以及势能()V x 是实函数的条件。

所以
我们有ˆf xg ˆx f g =，ˆf Hg =ˆHf g ，
即ˆˆ,
x H 都为厄密算符。

习题3.5 算符ˆQ
的厄密共轭算符（伴算符）是算符†
ˆQ ，有 ˆˆf Qg
Q f g += （对所有的f 和g
）. （所以一个厄密算符与它的厄密共轭算符相等：†ˆˆQ Q =。

）
（a ）给出x ，i ，和/d dx 的厄密共轭算符。

（b ）构建谐振子的升阶算符a +（等式2.47）的厄密共轭算符。

（c ）证明()
†
††ˆˆˆˆQR
R
Q =。

解：（a ）
由上题知，ˆx
为厄密算符，所以 †ˆˆx
x =。

由于
f i
g i f g =*i f g =if g =-，
所以
†i i =-。

()()()()()()****
d d d f g f x g x dx f g f x g x dx
dx dx dx d d f x g x dx f g dx dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞
-∞
⎡⎤
==-⎢⎥⎣⎦⎡⎤
=-=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
所以
†
d d dx dx ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭。

（b ）
1
ˆˆˆ()a
m x
ip m ωω
+=-， ˆˆ,x p 是厄米算符，†i i =-（i 与任何算符都是对易的），所以
†
††††
11ˆˆˆˆˆˆ()()
2a m x i p m x ip a m m ωωωω
+-=
-=+=
（c ）设f ，g
为任意函数，则
)
†
ˆˆˆˆf QRg
QR
f g =，
又
()
†††ˆˆˆˆˆˆˆˆf QRg
f Q R
g Q
f R
g R Q f g ===， 与上式比较知
()
†
††ˆˆˆˆQR
R Q =。

（注意算符的次序变化）
推广
()
†
††ˆˆˆˆˆˆˆˆ......NM
QR R
Q MN =
习题3.6考虑算符2
2ˆQ
d d φ=，其中φ是极坐标中的方位角（同例3.1），并且函数同样遵从
3.26式。

ˆQ
是厄密算符吗？求出它的本征函数和本征值。

ˆQ 的谱是什么？这个谱是简并吗？ 解：
22
**
222**20
00
2*
*2
220
ˆˆd dg df dg df dg
f Q
g f gd f d d d d d d d d df
d f g
g d Qf g d d π
π
π
ππ
π
φφφ
φφφφφφ
φφ
φ==-=-⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭
⎰
⎰
⎰⎰，
所以22ˆd Q d φ
=是厄密算符。

以上证明中利用了周期条件 ()()
2f f φπφ+=，
()()2g g φπφ+=。

2
2ˆd Q d φ
=的本征方程为
()()2
2
d f qf d φφφ
=， 解为
(
)f Ae φ=
由周期性条件()()2f f φπφ+=
2ni ππ=
, (0,1,2,...)in n ==
因此本征值为
2
q n =-
给定一个n ，有两个本征函数（,in in e e φ
φ
+-）它们的本征值一样，所以是二重简并的（0n =除外）。

如果让n 取负值，本征函数可以表示为 (), (0,1,2,...)in f Ae n φφ==±±
习题3.7
（a ） 假设()f x 和()g x 是算符ˆQ
的两个具有相同的本征值q 的本征函数。

证明任何f 和g 的线性迭加也是与ˆQ
具有相同本征值q 的本征函数。

（b ） 验证()()exp f x x =与()()exp g x x =-是算符2
2d dx 具有相同的本征值的两个本征
函数。

构造两个的f 和g 的线性的组合，使它们在（-1，1）范围内是正交的。

（a ）证：依题意有
()()()()ˆˆ,Qf
x qf x Qg x qg x ==。

设
()()()h x af x bg x =+，
其中,a b 为任意常数（复数），则有
()()()()()()()()()()()ˆˆˆˆ()
Qh
x Q af x bg x aQf x bQg x aqf x bqg x q af x bg x qh x =+=+=+=+=。

（b ）
()()()()()()2222
2
222exp ; exp d d d d f x x f x g x x g x dx dx dx dx
===-=。

因此，()f x ，()g x 是算符2
2d dx
属于本征值1的两个本征函数。

可由对称化和反对称化来
构造正交的本征函数
()()121
()()()cosh 2
1
()()()sinh 2
h x f x g x x h x f x g x x
=
+==-=
显然它们是正交的，因为一个是偶函数，一个是奇函数。

习题3.8
（a ） 验证例题3.1中厄密算符的本征值是实数。

证明（具有不同本征值的）本征函数是正交
的。

（b ） 对习题3.6中的算符做同样的验证。

解：（a ）例题3.1中的厄密算符和本征函数为
ˆd Q
i d φ
= ()iq f Ae φφ-= 本征值（分立谱）0,1,2,...q =±±显然本征值是实数。

对任意两个本征函数 '
''(), (), iq iq q q f Ae f Ae q q φ
φφφ--==≠
有
(
)(
)'''''
22*
*'
()i q q i q q q q
q q q q
e f f A A e
d A A i q q π
φ
π
φ
φ--⎡⎤
⎢
⎥===-⎢⎥
⎣⎦⎰ （b ）题3.6中的算符和本征函数为
2
2
d d φ (), 0,1,2,...in n f A
e n φφ-==±±
本征值为2
q n =-（二重简并），显然本征值为实数。

()()22**
0, ()i n m i n m n m n m n m e f f A A e d A A n m i n m π
φ
π
φφ--⎡⎤===≠⎢⎥-⎣⎦⎰ 所以算符2
2
d d φ
具有不同本征值的本征函数是正交的。

（在n m =-情况下，两个态的本征值一样，但是它们也是正交的）
习题3.9
(a)从第二章中列举一个仅具有分立谱线的哈密顿（谐振子除外）。

(b)从第二章中列举一个仅具有连续谱的哈密顿（自由粒子除外）。

(c)从第二章中列举一个既具有分立谱又具有连续谱的哈密顿（有限深方势阱除外）。

解：易知（a ）（b ）（c ）的答案分别为：无限深方势阱，δ-函数势垒，δ-函数势阱。

习题3.10 无限深方势阱的基态是动量的本征函数吗？如果是，它的动量是什么？如果不是，为什么不是？
解：无限深方势阱的基态为
(
)()1, 0x x x a a
π
ψ=
≤≤， 动量算符ˆd
p
i dx
=-，由于
()()1122ˆsin cos cot d p
x i x i x i x x dx a a a a a a a πππ
ππψψ⎛⎫
⎛⎫⎡
⎤=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，
由于
()()11ˆp
x x ψψ≠⨯常数 所以1()x ψ不是动量的本征函数。

（对无限深方势阱的能量本征函数n ψ，它是向右传播的平n a
π
=），但是符号相反，所以不是动量的本征函数，但是动量平方算符的本征函数。

）
习题 3.11 对谐振子的基态，求出其动量空间的波函数(,)p t Φ。

测量该状态的动量，发现其结果处于经典范围（具有相同能量）之外的几率是多大（精确到两位数）？提示：数值计算部分可查阅数学手册中“正态分布”或“误差函数”部分，或者使用Mathematic 软件。

解：谐振子基态在坐标空间中的波函数
()2
14
/22
0,m x i t m x t e
e ω
ωωπ--⎛⎫ψ= ⎪⎝⎭
,
则动量空间的波函数为
()()2
221/2
4
/
/
2
014
/2/2/2
1/4,,221()
2m i t x ipx ipx p m p m i t m e
p t e
x t dx e
e
dx
m e e e e m m ωωωωωωππ
ωππωωππ
-
+∞
+∞
-
---∞-∞
---⎛⎫Φ
=ψ= ⎪
⎝⎭⎛⎫== ⎪
⎝⎭⎰⎰
，
()
22
/,p m p t e
ω
ωπ
-Φ=
经典范围为
p ω
<=
所以发现粒子动量在经典动量以外的几率为
(
)2
2
2
/2
(,)(,)1(,)1p
m m m P p p t dp p t dp
p t dp p
e d ω
ωω
ω
ω
ω
ωπ
-∞
-∞->=Φ+
Φ=-Φ=-
⎰
⎰
⎰
⎰
令
2, 2
z p dp dz ωω≡
=
2
2
2
///2
2
11
22
p
z z m dp d e e e z dz F ω
ω
ωπ
---=
=-
=-
查正态分布表
0.9215F =
所以
()()
120.50.157P p F ω
>=--=
习题3.12 证明
.x dp i p *
⎛
⎫
∂=Φ-
Φ ⎪∂⎝⎭
⎰ 提示：注意到exp(/)(/)exp(/)x ipx i d dp ipx =-。

则，在动量空间，坐标算符则可表示为/i p -∂∂。

更普遍的有
ˆ,,(,)ˆ,Q x dx i x Q x p Q p dp i p **⎧∂⎛⎫ψψ ⎪⎪∂⎝⎭⎪
=⎨
⎛⎫∂⎪Φ-Φ ⎪⎪∂⎝⎭⎩
⎰⎰在坐标空间在动量空间;
，
.
原则上，可以像在坐标空间一样在动量空间进行所有的计算（当然并不总是很简便）。

证明：由
()()/,,ipx x t e p t dp
+∞
-∞
ψ=Φ⎰
我们有
()()()()()()()'''**
/
/''*//''
*//,,1
,,21,,21,2ipx ip x ipx ip x ipx ip x x x t x x t dx e p t dp x e p t dp dx p t e xe dx p t dpdp d p t i e e dx dp π
ππ
∞
-∞
∞
+∞
+∞
-∞-∞-∞∞+∞+∞--∞-∞
-∞∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞
=ψψ⎡⎤⎡⎤=ΦΦ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=ΦΦ⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤=ΦΦ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()'*'''
*
,,(),,,p t dpdp d p t i p p p t dpdp dp d p t i p t dp dp δ∞
+∞
-∞-∞
∞-∞
⎛⎫=Φ-Φ ⎪⎝⎭
⎛⎫=ΦΦ ⎪⎝⎭⎰
⎰⎰
*习题3.13
(a) 证明下列的对易关系等式：
[][][],,,.AB C A B C A C B =+ (b) 证明
1
,.n n x p i nx -⎡⎤=⎣⎦
(c ）对任意函数()f x ，更一般的证明
[](),.df
f x p i
dx
= 证明：（a ）可知左边ˆˆˆˆˆˆABC
CAB =-，右边()()
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆA BC CB AC CA B =-+-=ˆˆˆˆˆˆABC CAB -，左边=右边，故有ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,AB
C A B C A C B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎣
⎦
⎣
⎦⎣
⎦。

（b ）利用数学归纳法证明：
（1）1n =时，有[],x p i =，显然成立。

（2）假设n k =时成立，即有1
,k k x p i kx -⎡⎤=⎣⎦。

（3）1n k =+时，有1,,k k
x p xx p +⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，利用（a ）中结论，则有
[]1,,,k k k
x p x x p x p x +⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦
因为1
,k k x p i kx -⎡⎤=⎣⎦
，所以 ()1,1k k k
k x p i kx i x i k x +⎡⎤=+=+⎣⎦。

即1n k =+时也成立。

所以
1,n n x p i nx -⎡⎤=⎣⎦。

（c ）取任意波函数()x φ，则有
()()()()()()()()()()()()
()
()
()
, d f x x d x f x p x i f x i dx dx d x df x d x i f x i x i f x dx dx dx
df x i x dx
φφφφφφφ⎛
⎫=---⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭=-++=， 由于()x φ是任意函数，所以有
(),df f x p i dx
=⎡⎤⎣⎦。

*习题3.14 证明著名的 “（名副其实的）不确定原理”联系着坐标（A x =）的不确定性和能量（2
/2B p m V =+）的不确定性： .2x H p m
σσ≥
对于定态这个并不能告诉你更多−为什么？ 证：由两个算符之间的不确定关系
[]
1,2A B A B i
σσ≥
，
对坐标和哈密顿算符有
2
1,22x H p x V i m σσ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦
，
由于
2,2p x V m ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
[]2,,2p x x V m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
2
1,2x p m ⎡⎤=⎣⎦[][]()()11,,222p x p x p p i p m m =+=， 所以有
()11
2222x H i p p i m m
σσ≥
=。

对于定态，我们已经知道0H σ=（能量有确定值），0p =。

上式显然成立，因此我们无法从中再获取新的信息。

习题3.15 证明两个非对易算符不能拥有共同的完备本征函数系.提示：证明如果ˆP
和ˆQ
拥有共同的完备本征函数系,则对于希耳伯特空间的任意函数有ˆˆ[,]0P
Q f =. 证明:假设ˆn n n P λƒ=ƒ和ˆQ n n n
μƒ=ƒ（即：()n x ƒ是ˆP 和ˆQ 的共同本征方程），并且函数集{}
n ƒ是完备的，因此任意（Hilbert 空间中的）函数
()f x 都能表示成{}n ƒ线性叠加
n n c ƒ
=ƒ∑，那么有
()
()()μλμλλμ⎡⎤=-ƒ=ƒ-ƒ⎣⎦=ƒ-ƒ=∑∑∑∑∑ˆˆˆˆˆˆˆˆ,?0
n n n n n n n n n n n n n n n n P Q PQ QP c P c Q c c c
因为上式对任意的ƒ都成立，所以得到ˆˆ,0P
Q ⎡⎤=⎣
⎦
，这显然与所给条件矛盾，所以两个非对易算符不能具有共同的完备本征函数系。

习题3.16 求3.67式所给方程
()--h d p ia x x i dx ⎛⎫
ψ=ψ ⎪⎝⎭
的解。

注意x 和p 都是实常数。

解
:
()d i a i iax ia x p x x p dx a ψ⎛⎫=-+ψ=-++ψ ⎪⎝⎭
2ln 2i p d a i a x x x p dx x x x a a ⎛⎫ψ⎛⎫
=-++→ψ=-+++ ⎪ ⎪ψ⎝⎭⎝⎭
常数()2
2
x a B B =-
+让常数是一个新的常数
()
2
ln 2
i p
a
x x
x B ψ=-++
+
()
()
2
2
2
exp . 2i p x
a
x x B
B a x x
i p x e
A A e -
-+
+⎡⎤
--⎢
⎥ψ==+
≡⎢⎥⎣
⎦
习题 3.17 在下面的具体例子中应用公式ˆˆˆˆ,d i Q
Q H Q dt t ∂⎡⎤=+⎣⎦∂：（a ）Q =1；（b ）Q H =；（c ）Q x =；（d ）Q p =。

在每种情况下，解释结果，特别是参考公式1.27，1.33，
1.38和能量守恒（
2.39式后的评注）。

解：（a ）
∂⎡⎤=+=→ψψ=⎣⎦∂ˆ1,1100d i d
H dt t dt
上式表明波函数的归一化不随时间改变.
（b
）ˆˆˆˆ,d i H H H H dt t
∂⎡⎤=
+⎣⎦∂ 当ˆH
中不显含时间时得到: ˆˆˆ,0d i H H H dt
⎡⎤==⎣⎦ 此即能量守恒.
(c)
2
ˆˆˆˆˆ,,2p d i x i x H x p x dt t m
m ∂⎡⎤⎡⎤=+==⎣⎦⎣⎦∂
(d)
[]ˆˆˆˆˆ,(),d i p i V p H p V x p dt t x
∂∂⎡⎤=+==-⎣⎦∂∂ 这就是Ehrenfest
定理， 量子力学中的牛顿运动方程。

习题3.18对习题2.5中的波函数和可观测量x 通过计算,H x σσ和/d x dt 来验证能量-时间不确定原理。

解： 习题2.5中的一维无限深势阱（0x a <
<）的定态叠加波函数为
())12//12,iE t iE t x t e e ψψ--ψ=
+
2211111111H E H E H E ψψψψψ=⇒== , 22
22222222H E H E H E ψψψψ
ψ=⇒==
()222
1212H E E =
+ ()1212
H E E =+ ()()()()2
222
222
121121221212
111244
11
3, 222H H H H
E E E E E E E E E E ma σπσωω=-=
+-+=--→=-=≡=
()()1221//22222
112212211||||||||2
i E E t i E E t x x x x e x e ψψψψψψψψ--⎡⎤=
+++⎣⎦ 2
220021||sin sin cos cos a a n m
n m n m n m x x x x dx x x x dx
a a a a a a π
π
ψψππ⎡-+⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰而
()()()3222
220
03322222cos cos 2sin 22cos 1a
a
k
k a x k a k x k x x dx x x a k a k a a a a k k k k πππππππππ
⎧⎫⎡⎤
⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎨⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩
⎭==-⎰
是不为零的整数 ()()()()()()222222222211224||1n m n m
n m
n m
a a nm x n m n m n m ψψππ-++⎡⎤--→=-=-⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦
222
1221
2
16||||9a x x ψψψψπ→==-
由习题2.4知
()2
2
211||32n n
x a n ψψπ⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以
()()21212//
2
2222222
212
22111111623238915163cos , 31692i E E t i E E t a x
a a e e E E a t ma ππππωωππ---⎧⎫
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+--+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭-⎡⎤=--≡=⎢⎥⎣⎦
从习题2.5知
()()()()
2
2
2
2
2222
3264321cos 1cos cos 294
9916 sin 9a a x t x
t t d x a t dt ωωωπππω
ωπ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫=-→=-+⎢⎥
⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
所以
()2
22
2
2
2
2
21532cos 34
349x
a x x
t σωππ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
能量时间不确定原理(3.72式)给出
2
2
2
24H x d x dt σσ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
()()()()()()()2222222
222
22
2
2222
2
22
222221153216cos sin 4434929115328cos sin 163499115888sin cos 16349991
534H x a a t t t t t t ωσσωωωπππωωπππ
ωωπππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫→=--≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫→--≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫→
-≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎡→-2
2329π⎤⎛⎫≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
估算一下两边大小
2150.2066834π-= ; 2
2320.129789π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
显然满足能量时间不确定原理。

习题3.19对习题2.43中的自由粒子波包和力学量x 通过计算,H x σσ和/d x dt 来验证能量-时间不确定原理。

解：由习题2.43，对题给的自由粒子波包，我们有
l x t m
= ，
d x l dt m = 22
2112, ,44x at a m θσθω+==≡ ()22
2
11
22H p a l m m
=
=+
为了得到H σ我们需要计算2
H。

对自由粒子，2
2p H m
= 所以
()2
24
422
11,44H p p p t dp m m ∞
-∞
=
=Φ⎰
其中
()()/,,ip p t e x t dx π
∞
--∞
Φ=
ψ⎰
由习题2.43
(
)(
)()
()
2
222221/4
/1241/4
/1/4/2/
1/4
/1/4/2/
2,22l l a ix i a a ay i l a pl a ipy ay i
l a pl a
ipy a x t e
a e e e dy
a e e
e
dy
θθθππππ
π⎛⎫++- ⎪⎝
⎭∞
-+---∞∞
-+---∞
⎛⎫
ψ= ⎪
⎝⎭⎛⎫= ⎪
⎝⎭⎛⎫= ⎪
⎝⎭
⎰⎰
所以
()()
()
()
2
22221/4
/1/4/
21/4
/1/4/2/
1/4
/4/2, 22 2.222l a
ix i l a ipx a ay i l a pl a
ipy l a pl a il p t e e dx y x a a e e
e
dy a e θθππππππ⎛
⎫++∞ ⎪--⎝
⎭-∞
∞
-+---∞
-⎛⎫
⎛
⎫Φ=≡-
⎪
⎪
⎝⎭⎝
⎭⎛⎫= ⎪
⎝⎭⎛⎫= ⎪
⎝⎭
⎰⎰
令积分见习题(()()22
222
12411/4
/4/241112p i a
a
p i l a pl a a
e
e e a θθππ+-
+--⎛⎫= ⎪⎝⎭
()
()22
22222
122
2/
/2/2/211
1,22pl p p l a l p a
l a pl a a p t e e e e e a a π
π
⎛⎫
-+ ⎪- ⎪---⎝⎭
Φ==
=
()()
(()()22//24
4445/224
4
2
24
2
2
242
1
, 2321642236364l p a
z a p p p e
dp l z dp dz a a z l e dz l l a a a
al l
H
a al l m π
ππ∞
---∞
∞--∞⎛⎫
=
-≡= ⎪⎝⎭⎡=+=⎢⎢⎦=
++→
=
++⎰⎰令 ()
()()4
2
22
2
242242
44
22
222362424242H
H
H
a
al l a al l m a a al a l m m
σ=-=
++---=+=+
()224
42222
22
22
2
42
22
212221112442444H x a at l a at a l m a m m l m d x l l m m dt σσ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫
≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以题给的自由粒子波包满足能量时间不确定原理。

习题3.20 证明当问题中的可观测量为x 时，能量-时间不确定原理还原为“名副其实”的不确定原理（习题3.14）。

证：当 Q x =时，能量-时间不确定原理为2H x d x
dt
σσ≥
，但是
d x p m dt =,所以
2x H p m
σσ≥
，再由[][][]()2
11,,,,22i x
H x p p x p x p p p m m m
⎡⎤=
=+=⎣⎦ 得到“名副其实”的不确定原理，[]1
,2x H x H i
σσ≥
习题3.21 证明投影算符是等幂的：2
P P =。

求出P 本征值，描述它的本征矢量。

证：设
β
任意态矢量，有
()()2P P P P P ββ
α
αβ
α
αααβααββ=====
所以 2
P P = [注意: 说两个算符相等是指这两个算符对于任意矢量作用结果相同] 如果
γ是P 的属于本征值λ的本征矢量,那么有22P P γλγλγ==， 所以 2λλ=
因此P 的本征值是01和， 任何一个含有态α的矢量是P 的属于本征值1的本征矢，任何
与α正交的本征矢是P 的属于本征值0的本征矢。

习题3.22 考虑由正交归一基1，2，3张成的三维矢量空间。

右矢α和β由下式给
定
1223i i α=--，123i β=+。

（a ） 给出α和β（以对偶基1,2,3表示的）。

（b ）
求出
β和βα并证实*
βααβ=。

（c ） 在这个基中，求出算符A αβ≡
里的9个矩阵元，并写出矩阵A 。

它是厄密矩阵
么？
解：（a ） 1223i i α=--+ ; 12i β=-+ （b ） ()()()()*
12212312123122312i i i i i i i i ββααβ
=--++=+=-+--=-=
（c ）
()()()()()()()()()()()()()()()()()()111213212223313233111, 12001322, 212222200, 23224311, 200322A i i A i A i i A i i
A A A i i A i A i i
αβαβαβαβα
βαβαβαβαβ==-=========--===-===-=-==--=-==-===-=-
102204102i i i ⎛⎫
⎪→=- ⎪ ⎪--⎝⎭
A
显然它不是厄密矩阵。

习题3.23一个两-能级体系的哈密顿为：
(11221221)H ε=-++，
这里1，2是正交归一基，ε是量纲为能量的一个实数。

求出它的本征值和归一化的本征矢（用1和2的线性迭加）。

相应于这个基表示H 的矩阵H 是什么？ 解：相应于这个基表示H 的矩阵H 的矩阵元是
11, 12, 21, 221111H H H H εεεε
ε====-⎛⎫
→= ⎪
-⎝⎭
H
本征方程为
1122111c c E c c ε⎛⎫
⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
久期方程为
2220()0E E E E
εε
εεεε±-=→--=→=--
把E +
=代入本征方程，有
)
1112121221111c c c c c c c c ⎛⎫
⎫⎛⎫=→+=→=- ⎪⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎭
归一化
)
2
22
2
12
111111c c c c ⎡⎤+=→+
-=→=⎢⎥⎣
⎦
（得到1c 时不计一任意相因子）
，所以对应E +=的本征态为
)
112ψ+⎤=
+
-⎦
同理把E -
=代入本征方程，有
)
1112121221111c c c c c c c c ⎛⎫
⎫⎛⎫=→+=→=-+ ⎪⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎭
归一化
)
2
22
2
12
111111 c c c c ⎡⎤+=→+
+=→=⎢⎥⎣
⎦
所以对应E -=的本征态为
)
112ψ-⎡⎤=
-
+⎣⎦
习题3.24 设算符Q
ˆ有一组完备的正交归一本征矢： (1,2,3,...).n n n
Q e q e n ∧
==
证明Q
ˆ可以被写成谱分解形式： n
n
n n e e q Q ∑=ˆ 提示：一个算符是通过它对所有可能矢量的作用来表征的，因此你需要证明的是，对于任意矢量
α来说，有：
.n n n n Q q e e αα∧
⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
∑
证：设α
为一任意态矢量，它可以用
{}n
e
展开为, n
n n n n
c
e c e αα
==∑，
所以有
ˆˆˆn n n n n n n n n n n n n n n Q c Q e q e q e e Q q e ααα⎛⎫===⇒= ⎪⎝⎭
∑∑∑∑
习题3.25 勒让德多项式。

用格拉姆－施密特方法（习题A.4）在区间11x -≤≤里来正交归一化函数1，x , 2
x , 3
x 。

你可能会认出这些结果—(除了归一化外)它们是勒让德多项式（表4.1）。

1
'11111
1; 1 2 e e e dx e -===→=
⎰
11''
212222112; 0; 3e x e e xdx e xdx e --==
===→=⎰⎰
1
12
'
2'
331
3231; , 0, 32e x e e dx e e dx --=====⎰
⎰
设
'
'23
3113e c e c x ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
它与
'
1e
及
'2
e 正交，归一化
2
1
2
2''23
3
1'
223181345131322e e c x dx c c e x x -⎛
⎫==-=→=
⎪⎝
⎭⎫⎫
→=
-=-⎪⎪⎭⎭
⎰
113
'3'
441
42411; 0; 5e x e e x dx e e x dx --======
1'
5334131022e e x x dx -⎛⎫
=
-= ⎪⎝⎭
设
'
'344235x e c e c x ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
它与
'
1e
，
'2
e 及
'3
e 正交，归一化
2
1
2
2'
'34
4
138 5175x e e c x dx c c -⎛
⎫=-=→==
⎪⎝
⎭⎰
3'
34
353522x x x e x ⎫⎫=-=
-⎪⎪⎭⎭
这样我们构造出了四个相互正交且归一的（在区间
11
x -<<）的函数
''''
1234
,,,e e e e 。

习题3.26 一个反厄密算符等于它的负的厄密共轭：
†ˆˆQ
Q =- （a ） 证明一个反厄密算符的期望值是个虚数。

（b ） 证明两个厄密算符的对易子是反厄密的。

那么两个反厄密算符的对易子如何？
证：（a ）†ˆˆˆˆQ Q Q Q Q Q ψψψψψψψψ*
*
===-=-=-所以Q 是个虚数
（b ）由()
†
††ˆˆˆˆPQ
Q
P =，所以如果††ˆˆˆˆP P Q Q ==和那么 ()
†
†
††††ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,P
Q PQ QP
Q P P Q QP PQ P Q ⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-⎣⎦⎣⎦
如果††ˆˆˆˆP
P Q Q =-=-和那么 ()()()()
†
††††ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,P Q Q P P Q Q P P Q P Q ⎡⎤⎡⎤=-=-----=-⎣⎦⎣⎦
所以在两种情况下对易子都是反厄密的。

习题3.27 连续测量。

一个算符A ˆ表示可观测量A ，它的两个归一化本征态是1ψ和2ψ，分别对应本征值1a 和2a 。

算符B ˆ表示可观测量B ，它的两个归一化本征态是1φ和2
φ，分别对应本征值1b 和2b 。

两组本征态之间有关系：
112(34)/5,ψφφ=+ 212(43)/5.ψφφ=-
（a ） 测量可观测量A ，所得结果为1a 。

那么在测量之后（瞬时）体系处在什么态？ （b ） 如果现在再测量B ，可能的结果是什么？它们出现的几率是多少？
（c ） 在恰好测出B 之后，再次测量A 。

那么结果为1a 的几率是多少？（注意如果我已经
告诉你测量B 所得结果，对不同的测量B 所得结果，本问的答案将是不同的。

）
解：
（a ）当对体系测量ˆA 得到
1a 时，体系的波函数会坍塌为ˆA 本征值为1a 的本征态1ψ，所以在测量之后（瞬时）体系在1ψ态。

（b ）由112(34)/5ψφφ=+是ˆB 的本征态1φ和2φ的线性叠加，当对1
ψ态测量ˆB 时，可能得到1b 或者2b ，得到
1b 的几率为9/25,得到2b 的几率为16/25.
（c ）如果在测量ˆB 时得到的结果是1
b ，
则波函数坍塌到1φ态（几率为9/25），由
112(34)/5,ψφφ=+ 212(43)/5.ψφφ=-
可以解出
()11234/5φψψ=+，
所以再测量ˆA 时，得到1
a 的几率为9/25。

同理，如果在测量ˆB 得到的是2
b ，则波函数坍塌到2φ态(几率为16/25)
()21243/5φψψ=-
所以再测量ˆA
时得到1a 的几率为16/25。

所以在测量ˆB ,再测量ˆA 得到1
a 的几率为
991616337
0.539225252525625
P =
⋅+⋅==
**习题3.28 对无限深方势阱第n 定态求其动量空间的波函数(,)n p t Φ=。

作为p 的函数，画出2
1(,)p t Φ和2
2(,)p t Φ（特别注意点/p n a π=±）。

用(,)n p t Φ来计算2
p 的期望值。

并把答案和习题2.4比较。

解：一维无限深方势阱的定态波函数为
222/
2(,), 0; 1,2,3...; 2n iE t n n n n x t x e x a n E a ma π
π-⎛⎫ψ=<<==
⎪⎝⎭
动量空间的波函数由下式得出
/(,)(,);
ipx p t e x t dx π
∞
--∞
Φ=
ψ⎰
所以
()()//
////
/(//
)(//
)0(//2(,)sin 1
21
1 21
1 2n n n n a
iE t ipx n in x a
in x a a iE t ipx a iE t i n a p x
i n a p x
i n iE t n p t e x e dx a a e
e e e dx
i
a
e e e dx
i
a
e e i a
ππππππππππ--------+-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭
-==-=⎰
⎰
⎰/)(//)0(//)(//)/
(/)(//
(//)(//)1
11 (//)(//)11 (/)n n a
a p x i n a p x i n a p a i n a p a iE t i n ap i n ap iE t e i n a p i n a p e e e
n a p n a p a e e e a n ap a
ππππππππππππ--+--+---+-⎡⎤
+⎢⎥-+⎣⎦⎡⎤
--=+⎢⎥-+⎣⎦-=
+
-)/////
22
/
21(/)(1)1(1)1 (/)(/)2 (1)1()(/) ()(/)n n n n iap n iap iE t iE t n iap iE t a n ap a e e e n ap n ap a n e e n ap a n e n ap ππππππππ
π------⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤
----=+⎢⎥-+⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤-⎣⎦=
-/
2
1(1)n iap e -⎡⎤--⎣⎦⎡⎤⎣⎦
注意到
//2/2/
/2/2//2
/2/2//21(1)(1)2cos , 1,3,5,...22sin , 2,,4,6,...
2n iap iap iap n iap iap iap iap iap iap iap iap iap e e e e ap e
e e e n ap e e e ie n ---------⎡⎤--=--⎣⎦
⎧⎛⎫⎡⎤+== ⎪⎪⎣⎦
⎪⎝⎭=⎨
⎛⎫⎪⎡⎤-== ⎪⎣⎦⎪⎝⎭⎩
所以
/2/
22
/22cos , 1,3,5,...2(,)()(/)2sin , 2,4,6,...
2n iap iE t n iap ap e
n a n p t e n ap ap ie n π
π---⎧⎛⎫
= ⎪⎪⎪⎝⎭
Φ=
⨯⎨⎡⎤-⎛⎫⎪⎣⎦= ⎪⎪⎝⎭⎩
对1,2n =有
222212
222222cos sin 41622(,), (,),(/)4(/)ap ap a a p t p t ap ap ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭Φ=Φ=⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦
当
/p n a π=±时，上式的分母为零，但是分子也为零，所以在这些点波函数不会出
现奇异行为。

波函数的模平方图如下：
()
222
2
2
2
22
22222
2222cos (/2
)4(,) sin (/2)()(/) (/44 ()(1)n n n
ap n a
p p
p p t dp dp ap n ap x ap n n x n T x dx I a x a
πππ∞
∞
-∞
-∞∞-∞⎧⎫
=Φ=
⎨⎬⎡⎤-⎩⎭
⎣⎦
≡==-⎰⎰⎰令式中
22
22cos (/2), 1,3,5,...(), ()(1)sin(/2), 2,4,6,...n n n
n x n x T x I T x dx x n x n ππ∞-∞⎧⎫=≡≡⎨⎬-=⎩⎭
⎰ 由因式分解公式 2222
11111(1)4(1)(1)(1)(1)x x x x x x ⎡⎤
=++-⎢⎥--+-+⎣⎦
2211111 ()4(1)(1)(1)(1)n n I T x dx x x x x ∞-∞⎡⎤=++-⎢⎥-+-+⎣⎦
⎰ 对n 为奇数情况
222111cos cos (1)sin (1)222k k k n n n x dx y dy y dy x y y πππ∞
∞∞-∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪±⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰对n 为偶数情况 222111sin sin (1)sin (1)222k k k n n n x dx y dy y dy x y y πππ∞∞∞-∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪±⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰ 所以在两种情况下都有
222211111sin sin 22
22
n n n I y dy y dy y y y π
π
∞∞-∞-∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦⎰⎰ （第二项积分由于被积函数是奇函数为零）所以
2222211sin sin 2244n n n u n I y dy du y u πππ∞∞-∞-∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭
⎰⎰
2222222
222
444n n n n n p I a a a
ππ=== 这与用坐标空间的定态波函数(
,)
n x t ψ由公式
222
2
2
2
22
(,)(,)n n d x t n p
x t dx dx a π∞
-∞ψ=-ψ=
⎰
计算的结果是一样的（当然它们也必须一样）。

习题3.29 考虑下面的波函数：
2/ ,,(,0)0,i x e n x n x πλλλ⎧-<<⎪
ψ=⎨⎪⎩
其它地方,
这里n 是某个正整数。

这个函数在区间n x n λλ-<<上是纯正弦的（波长为λ），但是它的
动量仍然有一个分布范围，因为振荡没有伸展到无限远处。

求出动量空间波函数(,0)p Φ，画出2
(,0)x ψ和/
/2
//2
2,x p pn pn w n w p
p n λπλππ
λλ
====-=
，求出峰宽x w 和p w （主峰
两边零点之间的宽度）。

并考虑当n →∞时每一个宽度会怎样, 用x w 和p w 来估计x ∆和
p ∆，验证不确定原理是否满足。

提醒：如果你尝试计算p σ，你将会很意外。

你能够分析
问题所在么？ 解：
/
(2//)(2//)(2//)(2//
)1
(,0)(,0)21(2//)(2//)2sin(/)
(2)
n ipx i p x n n i p x
i p n i p n n p e
x dx e dx
n e e e i p i p n np n p λ
πλλ
λ
πλπλλπλλ
λπ
πλ
πλπλπλπλ
λλπλπ∞
---∞
------Φ=
ψ=
⎛⎫-==
⎪--⎝⎭=
-⎰
⎰
22
2
sin (/)
(,0), (2)
np p p n p λλπλπΦ=-∞<<∞- 2
1
, ,(,0)20,n x n x n λλλ
⎧-<<⎪
ψ=⎨⎪⎩其它地方,
它们的图形如下
2
ψ
的宽度为2x
w n λ=。

2
Φ
的最大值在2/π
λ处（注意此处分母为零，但是
分子也为零），这个最大值两侧的零点出现在2112n πλ⎛⎫± ⎪⎝⎭处，所以2p
w n π
λ
=。

当n →∞，, 0x p w w →∞→。

在这个极限下，粒子有比较确定的动量，但是坐
标非常不确定。

2242
x p w w n n π
λπλ==>
满足不确定原理。

如果我们试图计算2
2p p p
σ=
-0p =，但是
2
22
22sin (/)sin (/) (2)
np p p dp np dp n p λλλπλπ∞∞
-∞-∞
=→∞-⎰⎰
出现这个问题的根源在于波函数
(,0)
x ψ在端点
n λ±是不连续的，这导致ˆ/p
i d dx ψ=-ψ在端点产生δ函数，而
2ˆˆp p
p ψψ=ψψ是δ函数模平方的积分，结果为无限大。

一般来讲，如果想要p σ有限，波函数必须连续。

习题3.30 假设：
22
(,)A
x t x a
ψ=
+ 式中A 和a 是常数。

（a ） 归一化(,0)x ψ，确定A 的值。

（b ） 求出x ，2x 和x σ（在0t =时刻）。

（c ） 求出动量空间的波函数(,0)p Φ，并验证它是归一化的。

（d ） 用(,0)p Φ来计算p ，2p 和p σ（在0t =时刻）。

（e ） 对这个态的验证不确定原理。

解：（a ）
2
2222202
21
2223
01112()
()1112tan (/)2()2A dx A dx x a x a A
x a A a x a a a
π∞
∞
-∞∞
-==++⎡⎤=+=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰
所以。