上海市普陀区2020年新高考高二数学下学期期末教学质量检测试题

同步测试 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ）
A ．1011
B ．511
C ．518
D ．536
2．复数满足
(为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A
B = A ．(1,0)- B ．(0,2)
C ．(2,0)-
D ．(2,2)-
4．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1,2PD AD AB ===，点E 是AB 上一点，当二面角P EC D --为4
π时，AE =（ ）
A ．23-
B ．12
C ．22
D ．1
5．下列说法中，正确说法的个数是（ ）
①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大
②以模型kx
y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0. 3
③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A ．0.12
B ．0.42
C ．0.46
D ．0.88
7．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得y 关
于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆy
x a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） x 4 6 8 10 12
A ．25
B ．35
C ．34
D ．12
8．8张卡片上分别写有数字12345678、、、
、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
9．已知曲线31y x x =-+在点P 处的切线平行于直线2y x =，那么点P 的坐标为（ ）
A ．(1,0)或(1,1)-
B ．(1,1)或(1,1)-
C ．(1,1)-
D ．(1,1)
10．已知实数x ，y 满足(21x y =，则x 与y 的关系是（ ） A ．0x y == B ．0xy =
C ．20x y +=
D ．20x y +> 11．命题:10p x ->；命题2:60q x x --<.若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．13x <<
B ．21x -<≤或3x ≥
C ．21x -<<或3x ≥
D ．21x -<<或3x >
12．设m R ∈，命题“若m 0≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是( )
A ．若方程2x m =有实根，则m 0≥
B ．若方程2x m =有实根，则m 0<
C ．若方程2x m =没有实根，则m 0≥
D ．若方程2x m =没有实根，则m 0< 二、填空题：本题共4小题
13．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有3()()0f x xf x '+>，则不等式3(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->的解集是______.
14．712x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式中，x 项的系数是__________．（用数字作答） 15．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体．
16．在52
()x x
-的展开式中，x 的系数为________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知31()4,3
f x x ax a =++∈R . （1）若4a =-，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若9a ≥-，且函数()f x 在区间[0,3]上单调递减，求a 的值.
18．如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，
AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．
（1）求证：//DF 平面BCE ；
（2）求二面角C BF A --的余弦值；
（3）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？不需说明理由．
19．（6分）已知抛物线C ：2y =2px （p>0）的准线方程为x=-12
,F 为抛物线的焦点 （I ）求抛物线C 的方程；
（II ）若P 是抛物线C 上一点，点A 的坐标为（72
,2）,求PA PF +的最小值； （III ）若过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点坐标．
20．（6分）在ABC ∆中，已知ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，2BA BC =.
（1）求BDC ∆与BDA ∆的面积之比；
（2）若120ABC ∠=，3BC =，求AD 和DC .
21．（6分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球2个，黑球3个，白球5个． ()1从中1次随机摸出2个球，求2个球颜色相同的概率；
()2从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望()E X ； ()3每次从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续取3次，求取到红球的次数大于取到白球的次数的概率．
22．（8分）观察下列等式:
311=；
33123+=；
3331236++=；
3333123410+++=；
333331234515++++=；
(1)猜想第n(n ∈N *)个等式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30
至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴
=1011 2．D
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算法则，可求出，从而可求出在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案.
【详解】
由题意，，则复数在复平面内所对应的点为，在第四象限.
【点睛】
本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.
3．A
【解析】
{|12},A x x =-<<2 {|20}B x x x =+<{|20},x x A B =-<<⋂ {|10}x x =-<<(1,0)=-，故选
A.
4．A
【解析】
建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,,0)A B C D E t ，设平面PEC 的一个
法向量为(,,)n x y z =，由于(1,,1),(0,2,1)PE t PC =-=-，所以201202x t x ty z y y z z =-⎧+-=⎧⎪⇒=⎨⎨-=⎩='⎪⎩
，即
(2,1,2)n t =-，又平面ABCD 的一个法向量是1(0,0,1)n =且1222
n n ⋅=⇒=，
解之得2t =A ．
5．D
【解析】
【分析】
①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大
②对kx y ce =同取对数，再进行化简，可进行判断
③根据线性回归方程y a bx =+，将2b =，1,3x y ==代入可求出a 值
【详解】
对于①,分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大,正确;
对于②,kx y ce =,∴两边取对数,可得()
ln ln ln ln ln kx kx y ce c e c kx ==+=+, 令ln z y =,可得ln ,0.34,ln 4,0.3z c kx z x c k =+=+∴==, 4c e ∴=.即②正确;
对于③,根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx
=+中,2,1b x ==,3y =,则1a =.故 ③正确
因此，本题正确答案是:①②③
答案选D
【点睛】
二联表中2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；将变量转化成一般线性方程时，可根据系数对应关系对号入座进行求解；线性回归方程的求解可根据,,b x y ,代入y a bx =+求出a 值
6．D
【解析】
由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.
∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.故选D.
考点：相互独立事件的概率.
7．A
【解析】
分析：求出样本点的中心，求出a 的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有
（6283，），（，）
，共2个，求出概率即可．
详解：8 3.4x y ==，，
故3.40.658ˆa
=⨯+，解得：ˆ 1.8a =-， 则^y 0.65x 1.8=-
故5个点中落在回归直线下方的有6283，），（，）
，共2个， 故所求概率是25p =
， 故选A ．
点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．
8．C
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式()
P B A = ()()
P AB P A 可得出答案。

【详解】
事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(),a b 为一个基本事件，则事件AB 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()1,7、()2,4、()2,6、()3,5，共6个， 由古典概型的概率公式可得()286314
P AB C ==， 事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数， 由古典概型的概率公式可得()2428237
C P A C ==，因此，()()()3711432P AB P B A P A ==⨯=， 故选：C 。

【点睛】
本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题。

9．B
【解析】
分析：设P 的坐标为(),m n ，则31n m m =-+，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得m 的方程，求得m 的值从而可得结果.
详解：设P 的坐标为(),m n ，则31n m m =-+，
()21f x x x =-+的导数为2'31f x x ，
在点P 处的切线斜率为231m -，
由切线平行于直线2y x =，
可得2312m -=，解得1m =±，
即有()1,1P 或()1,1-，故选B. 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
设a x =
，2b y =+1ab =
，对2a x b y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩222141
a ax
b by ⎧-=⎨-=⎩，代入1ab =得24a x b b y a -=⎧⎨-=⎩，两式相加即可. 【详解】
设a x =
，2b y =+
则1ab =且,0a b ≠
2a x b y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 等式两边同时平方展开得：
222222214441a ax x x b by y y ⎧-+=+⎨-+=+⎩， 即222141
a ax
b by ⎧-=⎨-=⎩ 令等式中1ab =，化简后可得：
24a x b b y a -=⎧⎨-=⎩
两式相加可得20x y +=
故选：C
【点睛】
本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题
11．B
【解析】
【分析】
首先解出两个命题的不等式，由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题得命题P 和命题q 一真一假．
【详解】
命题:101p x x ->⇒>，命题2:6023q x x x --<⇒-<<．因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题．所
以命题P 和命题q 一真一假，所以21x -<≤或3x ≥，选择B
【点睛】
本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题． 12．D
【解析】
【分析】
根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【详解】
命题“若m 0≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是命题“若方程2x m =没有实根，则m 0<”， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．(2022,2019)--
【解析】
【分析】
根据题意,构造函数3()()g x x f x =, (,0)x ∈-∞,利用导数判断()g x 的单调性,再把不等式
3(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->化为(2019)(3)g x g +>-,利用单调性求出不等式的解集.
【详解】
解:根据题意,令3()()g x x f x =,
其导函数为232()3()()3()()g x x f x x f x x f x xf x '''⎡⎤=+=+⎣⎦
(,0)x ∈-∞时,3()()0f x xf x '+>,
()0g x ∴>,
()g x ∴在(,0)-∞上单调递增;
又不等式3
(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->可化为 33(2019)(2019)(3)(3)x f x f ++>--,
即(2019)(3)g x g +>-,
020193x ∴>+>-;
解得20192022x ->>-,
∴该不等式的解集是为(2022,2019)--.
故答案为:(2022,2019)--.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.
14．560-
【解析】 分析：先求出二项式7
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 项的系数. 详解：712x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式的通项为 ()()()71772177212r r r
r r r r r T C x x C x ----+=-=-， 7213r r -=⇒=，
展开式x 项的系数为()3
34712560C -⨯=- 故答案为560-.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公
式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系
数和；（3）二项展开式定理的应用.
15．1．
【解析】
解：∵A 、B 、C 三层，个体数之比为5：3：2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C 中抽取100×
210
=1．故答案为1． 16．40
【解析】
【分析】
由题意，二项式展开式的通项为5521552()(2)r r r r r r r T C x
C x x
--+=-=-⋅⋅，令521r -=，即可求解． 【详解】 由题意，二项式52
()x x
-的展开式的通项为5521552
()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-⋅⋅， 令521r -=，即2r ，可得2235(2)40T C x x =-⋅⋅=，
即展开式中x 的系数为40.
【点睛】
本题主要考查了二项式展开式中项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）单调递增区间为(,2),(2,)-∞-+∞（2）9a =-
【解析】
【分析】
(1)求导分析函数单调性即可.
(2)由题可知'()0f x ≤在区间[0,3]上恒成立可得2a x ≤-,即可得9a ≤-再结合9a ≥-即可.
【详解】
解：（1）由24,()40a f x x '=-=->,
得函数()f x 的单调递增区间为(,2),(2,)-∞-+∞.
（2）若函数()f x 在区间[0,3]上单调递减,则2()0f x x a '=+≤,
则2a x ≤-,因为[0,3]x ∈,所以9a ≤-,
又9a ≥-,所以9a =-.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间问题,同时也考查了利用函数的单调区间求解参数范围的问题,需要利用恒成立问题求最值,属于基础题.
18．（1）详见解析（2（3）不存在 【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形求得//DF CE ，再利用线面平行的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系A xyz -，求出平面BCF 的法向量和平面ABF 的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；
（3）求得平面ACE 的法向量m ，证明0m n ⋅≠得出平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，得出不存在点G.
【详解】
解：（1）因为//CD EF ，且CD EF =，所以四边形CDFE 为平行四边形，所以//DF CE ．
因为DF BCE ⊄平面，
所以//DF 平面BCE ．
（2）在平面ABEF 内，过A 作AZ AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，
ABEF ABEF AB ⋂=平面平面，AZ ABEF ⊂平面，所以ABCD AZ 平面⊥，
所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．
由题意得，()0,0,0A ，()0,4,0B ，()2,2,0C
，(E
，(F ．
所以()2,2,0BC →=-
，(0,BF →=-． 设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = 则00
n BC n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，则1x =
，z =
平面ABF 的一个法向量为(1,1,0)v = 则5cos ,n v n v n v ⋅=
= ．所以二面角C BF A --的余弦值5． （3）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：
解法一：设平面ACE 的法向量为m ()111,,x y z =，
则00m AC
m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即1111220,30.
x y y +=⎧⎪⎨=
⎪⎩ 令11y =，则11x
=-，1z =m (1,1,=-．因为0m n ⋅≠ ，
所以平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，
从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．
解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：
假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设CG CE λ→→=，其中[]
0,1λ∈．
设()222,,G x y z ，则有()()2222,2,2,x y z λλ--=-，
所以
222x λ=-，22y
λ=+，2z ，从而()
22,2,
G λλ-+，
所以()
22,2AG λλ→=-+．
因为AG ⊥平面BCF ，所以//AG n ．所以有
22211λλ-+==， 因为上述方程组无解，所以假设不成立． 所以线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．
【点睛】
本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题.
19．（Ⅰ）22y x =（II ）4（III ）线段MN 中点的坐标为（3
12
，） 【解析】
【分析】
（I ）由准线方程122
p x =-=-求得p ，可得抛物线标准方程． （II ）把PF 转化为P 到准线的距离PB ，可得,,B P A 三点共线时得所求最小值．
（III ）写出直线MN 方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．
【详解】
（I ）∵准线方程x=-12
,得p =1， ∴抛物线C 的方程为22y x =
（II ）过点P 作准线的垂线，垂直为B ，则PB =PF 要使PA +PF 的最小，则P ，A ，B 三点共线 此时PA +PF =72+12
=4· （III ）直线MN 的方程为y=x-
12· 设M （11,x y ），N （22,x y ），把y=x-
12代入抛物线方程22y x =,得2x -3x+14=0 ∵△=9-4×1×14
＝8＞0 ∴1x +2x =3，
122x x +=32 线段MN 中点的横坐标为
32，纵坐标为31122-= 线段MN 中点的坐标为（312，） 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的
距离．
20．（1）
12（2
）AD =
DC = 【解析】
【分析】 由三角形面积公式in 12
s S ab C = 解出即可． 利用余弦定理解出AC ，再根据比值求出AD 和DC ．
【详解】
（1）设BDC ∆与BDA ∆的面积分别为1S ，2S ，则11sin 2S BC BD CBD =
⋅∠，21sin 2S BA BD ABD =⋅∠， 因为BD 平分ABC ∠，所以ABD CBD ∠=∠，
又因为2BA BC =，所以212S S =，∴1212
S S =. （2）在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅⋅
1369236632
=++⨯⨯⨯=，
∴AC =
由（1）得12
2S AD DC S ==，
∴DC =
，AD =【点睛】
本题考查三角形的面积公式、余弦定理．属于基础题．
21．（1）1445；（2）详见解析；（3）9100
. 【解析】
【分析】
()1利用互斥事件的概率求和公式计算即可；
()2由题意知X 的可能取值，计算所求的概率值，写出X 的概率分布，求出数学期望值；
()3由题意知事件包含一红两黑和两红一黑，两红一白，求出对应的概率值．
【详解】
解：()1从袋中1次随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为
2222352101445
C C C P C ++==；
()2从袋中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X ，则X 的可能取值是0，1，2，3；
则()30553101012
C C P X C ⋅===， ()21553105112
C C P X C ⋅===， ()12553105212
C C P X C ⋅===， ()0355*******
C C P X C ⋅===， ∴随机变量X 的概率分布为；
数学期望()0123121212122
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()3记3次摸球后，取到红球的次数大于取到白球的次数为事件A ，则
()1222332
32359()()1010101010100
P A C C ⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+= ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．
22． (1)()
12
n n +；(2) (i) 当1n =时,等式显然成立；(ii) 见证明；
【解析】
【分析】
（1）猜想第n ()
12n n +=.
（2）先验证1n =时等式成立，再假设n k =等式成立，并利用这个假设证明当1n k =+时命题也成立.
【详解】
（1）猜想第n ()
12n n +=.
（2）证明：①当1n =时，左边1=，右边1=，故原等式成立；
②设n k =()
12
k k +=，则当1n k =+时，
=
((()()12112
k k k k ++=+=+=
()()1112
k k ⎡⎤+++⎣⎦= 故当1n k =+时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立.
【点睛】
数学归纳法可用于证明与自然数有关的命题，一般有2个基本的步骤：（1）归纳起点的证明即验证0n k =命题成立；（2）归纳证明：即设n k =命题成立并证明1n k =+时命题也成立，此处的证明必须利用假设，最后给出一般结论.
提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)(]3,24,5--⋃ B ．()()3,24,5--⋃ C ．(]4,5 D ．（4,5）
2．已知函数10,0()lg ,0
x x f x x x ⎧<=⎨>⎩，()()2g x f x x m =+-，若()g x 存在2个零点，则m 的取值范围是（）
A ．(,1]-∞
B ．(,1)-∞
C ．[1,)-+∞
D ．(1,)-+∞ 3．函数，，且，，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
5．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）
A ．0.96
B ．0.97
C ．0.98
D ．0.99
6．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至多有一个实根”时，要做的假设是 A ．方程20x ax b ++=没有实根
B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根
C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根
D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根
7．在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=（ ）
A ．8
B ．-8
C ．4
D ．-4 8．如果21()2n x x -
的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( ) A ．0 B ．256 C ．64 D ．164
9．若函数,0,()ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．[0,)+∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞
10．如图所示，程序框图输出的某一实数y 中，若32y =，则菱形框中应填入( )
A ．11i ≤
B ．11i ≥
C ．13i ≥
D ．13i ≤
11．如图，P 是正四面体V ABC -的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，则动点
P 的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．离心率为223的椭圆
D ．离心率为3的双曲线
12．设集合{}{
}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ） A ．1 B ．12- C ．12 D ．-1
二、填空题：本题共4小题 13．不等式1201
x +≥-的解集为_______． 14．已知变量x ，y 满足约束条件10,20,220,y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，设22y x Z y x -=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=__________.
15．幂函数()f x 的图像过点(3,则()
22f x x -的减区间为__________. 16．对于大于1的自然数n 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，仿此，若3n 的“分裂数”中有一个是49，则n 的值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设1302
n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 18．已知椭圆C ：2
214
x y +=，F 为右焦点，圆22:1O x y +=，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，
过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧.
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率；
（Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值.
19．（6分）已知函数()f x xlnx =.
(1)讨论函数()f x 的单调性;
(2)对于任意正实数x,不等式()12
f x kx >-恒成立,求实数k 的取值范围. 20．（6分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了
高度在[50,60),[90,100]的数据).
1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y
2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量X 表示所抽取的3株高度在 [80,90) 内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望.
21．（6分）已知i 为虚数单位，复数z 满足39z i z i +=+，
（1）求z ．
（2）在复平面内，O 为坐标原点，向量OA ，OB 对应的复数分别是z ，()2c c i +-，若AOB ∠是直角，求实数c 的值．
22．（8分）已知函数()()2
63ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
(2)当0a >时，若函数()f x 在区间[]1,3e 上的最小值为6-，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<， ∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤；
当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<-
故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

2．B
【解析】
【分析】
由于()g x 有两个零点，则()f x 图象与2y x m =-+有两个交点，作出图象，讨论临界位置.
【详解】
作出()f x 图象与2y x m =-+图象如图：
当2y x m =-+过点(0,1)时，1m =，将2y x m =-+向下平移都能满足有两个交点，将2y x m =-+向
上平移此时仅有一个交点，不满足，又因为(0,1)点取不到，所以(,1)m ∈-∞.
【点睛】
分段函数的零点个数，可以用数形结合的思想来分析，将函数零点的问题转变为函数图象交点的个数问题会更加方便我们解决问题.
3．A
【解析】
【分析】 构造函数，根据函数的单调性得到在上恒成立，参数分离得到
，计算的最小值得到答案. 【详解】
不妨设，，可得：. 令，则在单调递减，所以在上恒成立，
， 当
时，， 当时，，则，
所以在单调递减，是，所以.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数
是解题的关键. 4．B
【解析】
由2x >,则()()2k x f x -<= ln x x x +可化简为ln 2
x x x k x +<-,构造函数()ln ,22x x x g x x x +=>-,()()()()()()
22ln 22ln 2ln 422x x x x x x x g x x x +--+--==-'-,令()()222ln 4,10x h x x x h x x x
-=--=-
='>则,即()h x 在()2,+∞单调递增,设()00h x =,因为()842ln80h =-<,()952ln90h =->,所以089x <<,且004ln 2x x -=,故()g x 在()02,x 上单调递
减, ()0,x +∞上单调递增,所以()()00000000min 004·ln 924,2222x x x x x x x g x g x x x -++⎛⎫====∈ ⎪--⎝⎭
,又()min k g x <,4k ∴≤,即k 的最小值为4,故选B.
点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量x 的范围,分离参数和变量,转化为新函数g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知()g x 在()02,x 上单调递减, ()0,x +∞上单调递增,所以()()0min g x g x =,且004ln 2x x -=
,089x <<,通过对最小值化简得出()0g x 的范围,进而得出k 的范围.
5．D
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率.
【详解】
由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D.
【点睛】
本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.
6．D
【解析】
【分析】
反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立.
【详解】
命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至多有一个实根”的否定为“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=恰好有两个实根”；
因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程20x ax b ++=恰好有两个实根.
故选D
【点睛】
本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型.
7．A
【解析】
分析：根据平面向量的数量积的定义，老鹰圆的垂径定理，即可求得答案.
详解：如图所示，在圆C 中，过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，
在Rt ACD ∆中，122AD AB ==，可得2cos AD A AC AC ==， 所以2
cos 48AB AC AB AC A AC AC ⋅=⋅=⨯⨯=，故选A.
点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中涉及到圆的性质，直角三角形中三角函数的定义和向量的数量积的公式等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
8．D
【解析】
分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.
详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是
611(1)264
-=, 选D.
点睛：二项式系数最大项的确定方法
①如果n 是偶数，则中间一项(第
12
n + 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 9．D
【解析】
分析：设若函数(),0,,0
x a x f x lnx x +≤⎧=⎨>⎩的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数y x a =+与函数x y e =的图象有交点，即x x a e +=有解，利用导数法，可得实数a 的取值范围.
详解：由ln y x =的反函数为x y e =，
函数y x a =+与ln y x =的图象上存在关于直线y x =对称的点，
则函数y x a =+与函数x
y e =的图象有交点，即x x a e +=有解， 即x a e x =-，
令(),0x
h x e x x =-≤，
则()1x
h x e '=-， 当0x ≥时，()'
0h x >，()h x ∴在[)0,+∞上单调递增， 当0x =时，可得()h x 求得的最小值为1.
∴实数a 的取值范围是[)1,+∞，
故选：D.
点睛：本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，难度中档. 10．B
【解析】
分析：由已知中的程序语句可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出实数对(,)x y ，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案．
详解：由题意，当1,1i y ==时，
第1次循环，不满足条件，3,2i y ==；
第2次循环，不满足条件，5,4i y ==；
第3次循环，不满足条件，7,8i y ==；
第4次循环，不满足条件，9,16i y ==；
第5次循环，不满足条件，11,32i y ==，此时输出结果32y =，
所以判断框填写的条件应为11i ≥，故选B ．
点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的判断条件的添加问题，其中极大中应模拟程序框图的运行过程，把握程序框图的运算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
11．C
【解析】
分析：由题设条件将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等转化成在面VBC 中点P 到V 的距离与到定直线BC 的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．
详解：∵正四面体V ﹣ABC ∴面VBC 不垂直面ABC ，过P 作PD ⊥面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，
可得BC ⊥面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V ﹣BC ﹣A 的平面角令其为θ
则Rt △PGH 中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小）．
又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC 中，点P 到定点V 的距离与定直线BC 的距离之比是一个常数sinθ，
又在正四面体V ﹣ABC ，V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小θ有：1， 由椭圆定义知P 点轨迹为椭圆在面SBC 内的一部分．
故答案为：C ． 点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.
12．A
【解析】
【分析】
由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验.
【详解】
因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈，
所以3410m -+=，解得1m =.
当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A.
【点睛】
本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.
二、填空题：本题共4小题
13．112x x x 或⎧
⎫>≤⎨⎬⎩⎭
【解析】
【分析】 原不等式等价于
2101x x -≥-，解之即可. 【详解】 原不等式等价于2101x x -≥-，解得1x >或12
x ≤. 所以不等式
1201x +≥-的解集为112x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩
⎭或 【点睛】 本题考查分式不等式的解法，属基础题.
14．1312
- 【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，可以发现变量x ，y 都是正数，故令y k x
=，这
样根据
y
x
的几何意义，可以求出k的取值范围，利用k表示出Z，利用函数的性质，可以求出Z的最值，最后计算出M m
+的值.
【详解】
在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，如下图所示：从图中可
知：变量x，y都是正数，令
y
k
x
=，它表示不等式组所表示的平面区域内的点与原点的连线的斜率，解方程组：
4
203
2202
3
x
x y
x y
y
⎧
=
⎪
+-=
⎧⎪
⇒
⎨⎨
--=
⎩⎪=
⎪⎩
，可得点
42
(,)
33
A，
解方程组：
201
101
x y x
y y
+-==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
-==
⎩⎩
，可得点(1,1)
B，所以有
1
,1
2
OA OB
k k
==，因此
1
[,1]
2
k∈，
22215
2221242
y x kx x k
Z
y x kx x k k
---
====-
++++
，
55531
(42)[4,6
1
[,1]
2
][,][,]
426443
y
Z
k
k
x
k+∈
=∈⇒⇒∈⇒∈--
+
，
故
1313
3412
M m
+=--=-.
【点睛】
本题考查了不等式所表示的平面区域，考查了斜率模型，考查了数形结合思想.
15．(],0
-∞
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式为a
y x
=，代入点(3，得到a的值，得到()
f x的解析式和定义域，再写出()
22
f x x
-的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出()
22
f x x
-的减区间.。