基本不等式的使用

均值不等式的使用
一、公式的意义和使用条件：
1、 a 2+b 2≥2ab ,a ∈R,b ∈R,当a=b 时取“＝”。

逆运用公式：ab ≤
a 2+
b 22
,a ∈R,b ∈R,当a=b 时取“＝”。

例：求y=sin x cos x 的最大值。

[1
2] (使用三角函数和均值不等式两种解法) 结论：积为常数时，平方和有最小值；平方和为常数时，积有最大值。

2、 a+b ≥2√ab, a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取“＝”。

[带同学们分析两个公式的使用差异] 逆运用公式：ab ≤(
a+b 2
)2
, a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取“＝”。

例：求y=x(5-x)的最大值。

[254
]
例：设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋ab
c ≥a＋b ＋c.
证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab
c 都是正数．
∴
bc a ＋ca b ≥2c，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋ab
c
≥2a，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bc a ≥2b，当且仅当a ＝c 时等号成立．三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋ab
c )≥2(a＋b ＋c)， 即
bc a ＋ca b ＋ab
c ≥a＋b ＋c.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 3、
a 2+
b 22≥(
a+b 2)2
a ∈R,
b ∈R,当a =b 时取“＝”[可通过求差比较法得到]， 化简后：a 2
+b 2
≥
(a+b)2
2
逆运用公式：a+b ≤2√a 2+b 2
注：直接建立和与平方和的运算关系 例：已知√x +√y =1,求x +y 的最小值。

解法一：（√x +√y ）2
＝x +y +2√xy ⇒ x +y =1-2√xy 所以求x +y 的最小值，只需当√xy 取最大时即可。

√x +√y ≥2√√xy ⇒2√√xy ≤1⇒√xy ≤14,此时x +y 的最小值为12，当x=y=1
4取＝。

解法二：x +y ≥
（√x+√y ）
2
2
=12, 当x=y=1
4取＝。

例：已知：a >0,b >0,a +b =1,求证：√a +1
2+√b +1
2≤2
解法一：（√a +1
2+√b +1
2）2
＝a+b+1+2√(a +1
2)(b +1
2)=2+2√ab +3
4
求√a +12
+√b +1
2
的最大值，则需满足ab 最大即可.
a+b ≥2√ab,⇒ab ≤14
⇒(√a +12
+√b +1
2
)2
≤4⇒√a +12
+√b +1
2
≤2
解法二：直接利用公式。

注意：①公式中的字母可以是一个字母、数字或者式子；
②公式中的字母取值范围 ③取“=”条件是否满足
例：[意义考察]以下函数中，最小值为２的是：〔 D 〕
A 、y=x + 1
x B y=log x + 1
log x (1<x <10)
C y=sin x + 2
sin x (0<x <π
2) D y=3x +3−x
例：如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12
(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是
( B )
A ．P >Q >M
B ．Q >P >M
C ．Q >M >P
D ．M >Q >P 解析 因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，
所以只需比较a ＋b
2
，ab ，
a ＋
b 的大小，显然a ＋b 2>ab .又因为a ＋b
2
<
a ＋
b (因为a ＋b >(a ＋b )2
4
，也就是
a ＋
b 4<1)，所以a ＋b >a ＋b
2
>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M . 注意：①假设公式中的字母是负数，处理方式是提负号；假设公式中的字母是可正可负，处理方式是分正负讨论。

例：y=x-2 +4
x−2 , x <2,求y 的取值范围。

例：y=tan x +
12tan x , 求y 的取值范围。

②当取=条件无法满足，或者求取值范围时，可借助对勾函数的单调性。

补充：对勾函数y=x+a
x 的单调性，并指明优点是即可以求最大值也能求最小值，而均值不等式的局限性在于只能求某一最值
例：y=sin x + 2
sin x (0<x <π
2) ，求y 的取值范围。

例：y=3x+12
x ，其中4≤x ≤9,求值域。

例：y=sin x +
1
2sin x
， 求值域。

二、公式使用中的配常数问题
[分式配凑]例：已知x <5
4 ,求函数y =4x −2+1
4x−5的 最大值。

（答案为1） 例：求函数y=x 2
x−1 的值域。

例：x >3,求y=
2x 2+x x−3 值域。

例：设x,y,z 均为正实数，满足x-2y+3z=0,则y 2
xz
最小值为〔3〕
解：y=
x+3z 2
代入，原式＝14
（
ＸＺ
+
9z x
+6）≥3〔表达消元思路〕
[根式配凑]例：求函数y=2√x 2+2
的最小值。

解：y=
2√x 2+2
=
2√x 2+2=√x 2+2+
√x 2+2
≥4
当√x 2+2＝
√x 2+2
即x=±√2时，取等号。

[条件性配凑] 例：假设x >0且x 2+y 22
=1,则x√1+y 2的最大值为( )
解：原式＝
√2
2
√2x√1+y 2≤√22 2x 2+1+y 22=3√24
，当√2x ＝√1+y 2即x=√3
2
, y 2=1
2
取＝。

例：x >0，y >0, x+2y=2,求3xy 的最大值〔〕 解：3xy ＝3
2x 2y ≤32(
x+2y 2
)2=3
2 ,当x=2y=1时取等号。

注：多次使用增值不等式的条件：同向且取=条件能同时满足。

例：已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=4,求ax+by 的最大值 错解：ax ≤
a 2x 22
,by ≤
b 2++y 2
2⇒ax+by ≤
a 2+
b 2+x 2+y 22=5
2,取＝条件无法满足。

正解；ax=12(2a ∙x) ≤4a 2x 22
,by=1
2(2b ∙y) ≤
b 2++y 2
2
⇒ax+by ≤
4a 2+4b 2+x 2+y 2
2
=4
当x=2a且y=2b时取等号。

三、 数字代换及等式代换
例：已知a >0,b >0,且1
a +1
b =1,求a+b 的最小值。

〔4〕 分析：两种思路解一下。

例：已知a >0,b >0，c >0,a+2b+3c=6求证：a+6a
+
b+3b
+
c+2c
≥12
证明：
a+6a
+
b+3b
+
c+2c
＝3+6a +3b +2
c
6
a
+3
b +2
c =1
6(a +2b +3c )(6
a +3
b +2
c )=1
6(18+3a
b +12b a
+
18c a
+
2a c
+
9c b
+
4b c
)≥9
当a=2,b=1,c=2
3时，取等号。

例：已知：x >0,y >0,且x+y=1,求3x +4
y 的最小值。

解：3
x +4
y ＝（3
x +4
y ）〔x+y 〕＝7+3y
x +4x y
≥7+4√3
当3y
x =
4x y ,联立x+y=1⇒x=2√3−3,y =4−2√3,等号成立。

例：已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b
的最小值是(c)．
A.72 B ．4 C.9
2
D ．5 例：(2012·浙江)假设正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 (c )
A.245
B.28
5
C ．5
D ．6 解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1y ＋3x ＝1.
∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x
y
＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12y x ＝5(当且仅当x
＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. 例：函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，假设点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，
n 均大于0，则1m ＋2
n
的最小值为 ( C )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 解析 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1.
所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝1
2
时等号成 例：已知m 、n 、s 、t ∈R ＋
，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49
，满足条件的
点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．答案 x ＋y －2＝0
解析 因(s ＋t )⎝⎛⎭⎫m s ＋n t ＝m ＋n ＋tm s ＋sn
t
≥m ＋n ＋2mn ，所以m ＋n ＋2mn ＝4， 从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1， 从而此弦的方程为x ＋y －2＝0. 例：已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( 4 )
类型二变等式为不等式
例：假设正数x、y满足x+y+3=xy,求xy的最小值。

〔9〕
解：x+y≥2√xy; ∴3+2√xy≤xy,略
例：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(4) 例：假设正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是18
例：设x、y均为正数，且1
2+x +1
2+y
=1
3
,求xy的最小值。

解：1
2+x +1
2+y
=1
3
,
同乘以(2+x)（2+y）
⇒ xy=x+y+8,同理xy的最小值为16。

1．设a >0，b >0，假设3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b 的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．1 D.1
4
2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
3．已知a >0，b >0，则1a ＋1
b
＋2ab 的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．5
4．一批货物随17列货车从A 市以a km/h 的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，
两列车之间的距离不得小于⎝⎛⎭⎫a 202
km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要( )
A ．6 h
B ．8 h
C ．10 h
D ．12 h 5．(2011·宁波月考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －6≤0x －y ＋2≥0
x ≥0，y ≥0
，假设目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值
为12，则2a ＋3
b 的最小值为( )
A.256
B.83
C.113
D ．4 二、填空题(每题4分，共12分) 6．(2010·浙江)假设正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．
7．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2
x
的图象交于P ，Q 两点，
则线段PQ 长的最小值是________．
8．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为__________________．
9． (1)已知0<x <4
3
，求x (4－3x )的最大值；
(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．
10． 不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是 ( )
A ．正数
B ．非负数
C ．实数
D ．不存在
11． 如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12
(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是 ( )
A ．P >Q >M
B ．Q >P >M
C ．Q >M >P
D ．M >Q >P
12． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，假设点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，
n 均大于0，则1m ＋2
n 的最小值为
( ) A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
13． 假设正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．
1．B [因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1，
1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝12
时，“＝”成立．] 2．B [不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax
y ≥a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)．∴正实数a 的最小值为4.]
3．C [因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ＝2⎝⎛⎭
⎫1ab ＋ab ≥4， 当且仅当1a ＝1b 且 1
ab
＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”号．]
4．B [第一列货车到达B 市的时间为400
a
h ，由于两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫a 202 km ，所以第17列货车到达时间为400a ＋16·⎝⎛⎭⎫a 202a ＝400a ＋16a 400≥8，当且仅当400a ＝16a
400，即a ＝100 km /h 时成立，所以最快需要8
h ．]
5．A6．18
解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.
又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.故xy 的最小值为18.
7．4 解析 过原点的直线与f (x )＝2
x
交于P 、Q 两点，则直线的斜率k >0，设直线方程为y ＝kx ，由
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2k
，y ＝2k
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2k ，y ＝－2k ，
∴P (
2
k ，2k )，Q (－2
k ，－2k )或P (－2
k
，－2k )，Q (
2
k
，2k )．∴|PQ |＝(
2k
＋2k )2
＋(2k ＋2k )2＝22k ＋1k
≥4. 8．(－∞，22－1) 解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋2
3x ≥22，∴k
＋1<22，k <22－1.
9．解 (1)∵0<x <43，∴0<3x <4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋4－3x 22＝4
3，(4分) 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )的最大值为4
3
(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x 4y ＝2
2x ＋2y ＝4 2.
当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＝4y
，x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝3
4
时，“＝”成立．
10． 不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是( C )A ．正数 B ．非负数 C ．实数 D ．不存在
原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成立．
11． 解析 因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 1
2(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2
，ab ，a ＋b
的大小，显然a ＋b 2>ab .又因为a ＋b
2<
a ＋
b (因为a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b
4
<1)，所以
a ＋
b >a ＋b 2>ab ，而对数函数为减函数，故Q >P >M .12． 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1.所以1
m ＋
2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝1
2时等号成立． 12．解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，
即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，。