新教材高中数学第6章第2课时平面与平面垂直的判定课件北师大版必修第二册ppt
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回顾本节内容，自我完成以下问题： 面面垂直的判定定理应用的思路是什么？
[提示] 平面与平面垂直的判定定理的应用思路 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂 直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一 步转化为处理线线垂直问题来解决．
[跟进训练] 1．在边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABCD， 求证：平面 PDB⊥平面 PAC.
[证明] ∵PC⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD， 又 PC∩AC＝C，∴BD⊥平面 PAC. ∵BD⊂平面 PBD，∴平面 PDB⊥平面 PAC.
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5．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 CC1 的中点，则平面 EBD 与 平面 AA1C1C 的位置关系是______．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
垂直 [如图，在正方体中，CC1⊥平面 ABCD， ∴CC1⊥BD.
又 AC⊥BD，CC1∩AC＝C， ∴BD⊥平面 AA1C1C. 又 BD⊂平面 EBD，∴平面 EBD⊥平面 AA1C1C.]
§5 垂直关系 5.2 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的判定
学习任务
核心素养
1．通过发现平面与平面垂直的判 1．掌握平面与平面垂直的判定定
定定理，培养学生数学抽象素养． 理．(重点)
2．通过利用平面与平面垂直的判 2．掌握空间中线、面垂直关系的
定定理证明平面与平面垂直，培养 相互转化关系．(难点)
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 如图，设 F 为 PC 的中点，连接 DF，EF，DE，则在△PBC 中， EF∥PB. 在菱形 ABCD 中，GB∥DE， 而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， 所以平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)，得 AD⊥平面 PGB，而 AD⊂平面 ABCD， 所以平面 PGB⊥平面 ABCD. 所以平面 DEF⊥平面 ABCD.
→
找到过点F的平面 和平面PGB平行
→
确定F 的位置
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
因为△PAD 为等边三角形，所以 PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，G 为 AD 的中点，所以 BG⊥AD. 又因为 BG∩PG＝G，所以 AD⊥平面 PGB. 因为 PB⊂平面 PGB，所以 AD⊥PB.
在 Rt△EBG 中，可得 BE＝
2，故
DF＝
2 2.
在 Rt△FDG 中，可得 FG＝ 26.
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22，可得 EF ＝3 2 2.
从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC.
(2)由(1)知 BE⊥EF， ∵平面 BEF⊥平面 ACD，平面 BEF∩平面 ACD＝EF， ∴BE⊥平面 ACD. 又∵AC⊂平面 ACD，∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°， ∴BD＝ 2，∴AB＝ 2tan 60°＝ 6， ∴AC＝ AB2＋BC2＝ 7.
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4．如果规定：x＝y，y＝z，则 x＝z，叫作 x，y，z 关于相等关系 具有传递性，那么空间三个平面 α，β，γ 关于相交、垂直、平行这三 种关系中具有传递性的是________．
平行 [由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、 判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]
ห้องสมุดไป่ตู้
类型 2 空间垂直关系的综合应用 【例 2】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠ BAD＝60°，侧面△PAD 为等边三角形． (1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边上的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？
(1)证明平面与平面垂直的方法 ①利用定义：证明二面角的平面角为直角； ②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成 了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这 也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直， 其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
[跟进训练] 2．如图，在△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝ 1，AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60°，E，F 分别是 AC， AD 上的动点，且AACE＝AADF＝λ(0<λ<1). (1)求证：无论 λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC； (2)当 λ 为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD?
[提示] 转化关系如下：
2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？ [提示] (1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三 角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的 平面．
3.(1) 直线与直线垂直 → 直线与平面垂直 → 直线与直线垂直
(2)
利用（1）的条件 AD⊥平面PGB
学生逻辑推理素养．
NO.1
情境导学·探新知
在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙 面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂 直等都给我们以平面与平面垂直的形象．
阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题 1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？ 问题 2：如何判断两个平面垂直？
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到 或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．
() (2)已知 α，β，γ 是平面，且 α⊥β，若 α⊥γ，则 β⊥γ. ( ) (3)已知 α，β，γ 是平面，且 α∥β，若 α⊥γ，则 β⊥γ. ( )
[提示] (1)正确． (2)错误．β 和 γ 可能平行，也可能相交． (3)正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2
类型 1 平面与平面垂直的判定 【例 1】 (教材北师版 P234 例 8 改编)如图，四边形 ABCD 为菱 形，∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种 关系不是孤立的，而是相互关联的．
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则， 解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、 中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生 一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想 解决问题．
BCDE，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有
()
A．4 组
B．5 组
C．6 组
D．7 组
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B [由 AB⊥平面 BCDE，可得平面 ABC⊥平面 BCDE，平面 ABE⊥ 平面 BCDE，又因为 BCDE 是一个正方形，所以 BC⊥平面 ABE⇒平 面 ABC⊥平面 ABE，
同理可得平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ADE⊥平面 ABE，故共有 5 组，故选 B.]
由 Rt△AEB∽Rt△ABC，得 AB2＝AE·AC， ∴AE＝ 67，∴λ＝AACE＝67. 故当 λ＝67时，平面 BEF⊥平面 ACD.
NO.3 当堂达标·夯基础
1．直线 l⊥平面 α，l⊂平面 β，则 α 与 β 的位置关系是( )
A．平行
B．可能重合
C．相交且垂直
D．相交不垂直
C [由面面垂直的判定定理，得 α 与 β 垂直，故选 C.]
证明：平面 AEC⊥平面 AFC.
[证明] 如图，连接 BD，设 BD∩AC 于点 G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC.
又 AE⊥EC，所以 EG＝ 3，且 EG⊥AC.
知识点 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂__线__，那么这两个平面垂直 图形语言
符号语言 _l⊂__α___，l⊥β⇒α⊥β
1.若两个平面所成的二面角为 90°，这两个平面有什么位 置关系？
提示：垂直 2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？ 提示：有无数多个．
谢谢观看 THANK YOU!
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2．对于直线 m，n 和平面 α，β，能得出 α⊥β 的一组条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β
C．m∥n，n⊥β，m⊂α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C [A 与 D 中 α 也可与 β 平行，B 中不一定 α⊥β，故选 C.]
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3．如图，BCDE 是一个正方形，AB⊥平面
[解] (1)证明：∵AB⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD， ∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面 ABC. 又∵AACE＝AADF＝λ(0<λ<1)， ∴无论 λ 为何值，恒有 EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC. 又∵EF⊂平面 BEF，∴无论 λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC.
回顾本节内容，自我完成以下问题： 面面垂直的判定定理应用的思路是什么？
[提示] 平面与平面垂直的判定定理的应用思路 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂 直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一 步转化为处理线线垂直问题来解决．
[跟进训练] 1．在边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABCD， 求证：平面 PDB⊥平面 PAC.
[证明] ∵PC⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD， 又 PC∩AC＝C，∴BD⊥平面 PAC. ∵BD⊂平面 PBD，∴平面 PDB⊥平面 PAC.
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5．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 CC1 的中点，则平面 EBD 与 平面 AA1C1C 的位置关系是______．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
垂直 [如图，在正方体中，CC1⊥平面 ABCD， ∴CC1⊥BD.
又 AC⊥BD，CC1∩AC＝C， ∴BD⊥平面 AA1C1C. 又 BD⊂平面 EBD，∴平面 EBD⊥平面 AA1C1C.]
§5 垂直关系 5.2 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的判定
学习任务
核心素养
1．通过发现平面与平面垂直的判 1．掌握平面与平面垂直的判定定
定定理，培养学生数学抽象素养． 理．(重点)
2．通过利用平面与平面垂直的判 2．掌握空间中线、面垂直关系的
定定理证明平面与平面垂直，培养 相互转化关系．(难点)
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 如图，设 F 为 PC 的中点，连接 DF，EF，DE，则在△PBC 中， EF∥PB. 在菱形 ABCD 中，GB∥DE， 而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， 所以平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)，得 AD⊥平面 PGB，而 AD⊂平面 ABCD， 所以平面 PGB⊥平面 ABCD. 所以平面 DEF⊥平面 ABCD.
→
找到过点F的平面 和平面PGB平行
→
确定F 的位置
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
因为△PAD 为等边三角形，所以 PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，G 为 AD 的中点，所以 BG⊥AD. 又因为 BG∩PG＝G，所以 AD⊥平面 PGB. 因为 PB⊂平面 PGB，所以 AD⊥PB.
在 Rt△EBG 中，可得 BE＝
2，故
DF＝
2 2.
在 Rt△FDG 中，可得 FG＝ 26.
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22，可得 EF ＝3 2 2.
从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC.
(2)由(1)知 BE⊥EF， ∵平面 BEF⊥平面 ACD，平面 BEF∩平面 ACD＝EF， ∴BE⊥平面 ACD. 又∵AC⊂平面 ACD，∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°， ∴BD＝ 2，∴AB＝ 2tan 60°＝ 6， ∴AC＝ AB2＋BC2＝ 7.
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4．如果规定：x＝y，y＝z，则 x＝z，叫作 x，y，z 关于相等关系 具有传递性，那么空间三个平面 α，β，γ 关于相交、垂直、平行这三 种关系中具有传递性的是________．
平行 [由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、 判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]
ห้องสมุดไป่ตู้
类型 2 空间垂直关系的综合应用 【例 2】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠ BAD＝60°，侧面△PAD 为等边三角形． (1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边上的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？
(1)证明平面与平面垂直的方法 ①利用定义：证明二面角的平面角为直角； ②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成 了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这 也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直， 其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
[跟进训练] 2．如图，在△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝ 1，AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60°，E，F 分别是 AC， AD 上的动点，且AACE＝AADF＝λ(0<λ<1). (1)求证：无论 λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC； (2)当 λ 为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD?
[提示] 转化关系如下：
2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？ [提示] (1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三 角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的 平面．
3.(1) 直线与直线垂直 → 直线与平面垂直 → 直线与直线垂直
(2)
利用（1）的条件 AD⊥平面PGB
学生逻辑推理素养．
NO.1
情境导学·探新知
在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙 面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂 直等都给我们以平面与平面垂直的形象．
阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题 1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？ 问题 2：如何判断两个平面垂直？
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到 或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．
() (2)已知 α，β，γ 是平面，且 α⊥β，若 α⊥γ，则 β⊥γ. ( ) (3)已知 α，β，γ 是平面，且 α∥β，若 α⊥γ，则 β⊥γ. ( )
[提示] (1)正确． (2)错误．β 和 γ 可能平行，也可能相交． (3)正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2
类型 1 平面与平面垂直的判定 【例 1】 (教材北师版 P234 例 8 改编)如图，四边形 ABCD 为菱 形，∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种 关系不是孤立的，而是相互关联的．
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则， 解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、 中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生 一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想 解决问题．
BCDE，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有
()
A．4 组
B．5 组
C．6 组
D．7 组
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B [由 AB⊥平面 BCDE，可得平面 ABC⊥平面 BCDE，平面 ABE⊥ 平面 BCDE，又因为 BCDE 是一个正方形，所以 BC⊥平面 ABE⇒平 面 ABC⊥平面 ABE，
同理可得平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ADE⊥平面 ABE，故共有 5 组，故选 B.]
由 Rt△AEB∽Rt△ABC，得 AB2＝AE·AC， ∴AE＝ 67，∴λ＝AACE＝67. 故当 λ＝67时，平面 BEF⊥平面 ACD.
NO.3 当堂达标·夯基础
1．直线 l⊥平面 α，l⊂平面 β，则 α 与 β 的位置关系是( )
A．平行
B．可能重合
C．相交且垂直
D．相交不垂直
C [由面面垂直的判定定理，得 α 与 β 垂直，故选 C.]
证明：平面 AEC⊥平面 AFC.
[证明] 如图，连接 BD，设 BD∩AC 于点 G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC.
又 AE⊥EC，所以 EG＝ 3，且 EG⊥AC.
知识点 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂__线__，那么这两个平面垂直 图形语言
符号语言 _l⊂__α___，l⊥β⇒α⊥β
1.若两个平面所成的二面角为 90°，这两个平面有什么位 置关系？
提示：垂直 2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？ 提示：有无数多个．
谢谢观看 THANK YOU!
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2．对于直线 m，n 和平面 α，β，能得出 α⊥β 的一组条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β
C．m∥n，n⊥β，m⊂α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C [A 与 D 中 α 也可与 β 平行，B 中不一定 α⊥β，故选 C.]
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3．如图，BCDE 是一个正方形，AB⊥平面
[解] (1)证明：∵AB⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD， ∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面 ABC. 又∵AACE＝AADF＝λ(0<λ<1)， ∴无论 λ 为何值，恒有 EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC. 又∵EF⊂平面 BEF，∴无论 λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC.