自动控制原理简明版根轨迹法ppt课件

n1
i1 s zi j1 s pi
8
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
因为
1 1 1
s2 s1 j s1 j
消去分母 s2 4s 2 0
解上式得到 s1 0.586（舍去） s2 3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
n
pi / n
j1
18
当K1变化时，极点的重心 保持不变。所以，为了平衡
“重心”的位置，当一部分根 轨
迹随着的增加向左方移动时，
另一部分根轨迹将向右方移动.
例
G(s)H(s)
K1
s(s P2 )( s P3 )( s P4 )
Im p4
p2 p3
0 p1 Re
19
10. 根轨迹上K1值的计算
（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；
9 走向
当 n m 2, K1 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。
令 dK1 0
ds
s2 2s 2 K1 s 2 s2 4s 2 0
求得 s1 0.586 (舍去)
s2 3.414
C(s)
7
(2)
m 1
n1
i1 s zi j1 s pi
因为
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
即
P(s) Q(s) P(s) Q(s)
d [ln P(s)] d [lnQ(s)]
d[G1(s)H1(s)] 0或 dK1 0
ds
ds
7 出射角
入射角
复极点处的出射角：
m
n
a 180 (2k 1) i j
i 1
j 1
ja
复零点处的入射角：
n
m
b 180 (2k 1) j i
j 1
i 1
ib
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G( j)H( j) 0 的 j 值；
K1P( K1 P (
s) s)
Q(s) 0 Q(s) 0
消去 K1 ，可得到：P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0 便于忘记，上式又可写成：
d[G1(s)H1(s)] 0 或
ds
d[G(s)H (s)] 0 ds
以上分析没有考虑 K1 0 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 K1 0的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。
即
3s2 20s 24 0
s1 1.57
s2 5.1
（舍去）
21
（3）与虚轴的交点
系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 s j 代入，求得
实部方程: 10 2 K1 0 虚部方程： 3 24 0
解得： 4.9
K1
240
0
K1
0
(舍去)
（4）确定 0.5 时的K1 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A，
Q(s) K1 P(s)
dK1 Q(s)P(s) Q(s)P(s)
ds
P2(s)
令 dK1 0 , 即得到
ds
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
6
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2) s2 2s 2
因为
1 G(s)H(s) K1(s 2) (s2 2s 2) 0
s1 0.586(舍去) s2 3.414
代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，
故s1舍去；s2代入，求得K＞0 。所以s2会合点。
3
检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。
Im
[s]
K1 K1
2
3.414
K1 0
1 K1 0
j
0 Re j
一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点) 之间；则个分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开 环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不 存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。
P(s) 1 G(s)H (s) 1 K1G1(s)H1(s) 1 K1 Q(s) 0
K1P(s) Q(s) 0
1
根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上
的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重
根，必同时满足 f (s1) 0和 f (s1) 0。因此求得：
使得 AOC cos1 0.5 60 ， 测量得:
OA 2.4, AB 5.3, AC 3.5
求得
2.4 3.5 5.3
K1
1
44.5
22
A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置: s1 1.2 j2.1
K1=44.5时另外两个极点 s2 1.2 j2.1
s3 7.6
同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。
(其它各零点到 zb的向量幅角 i之和)
n
m
180 (2k 1) j i
j 1
i 1
ib
11
出射角(或入射角)是指根轨迹离
开复极点 (或终止复零点)处切线的 A
Im a
倾角。
s1
pa
在根轨迹曲线上取试验点s1，与
复极点-pa的距离为 。 当 0时，可近似地 认为s1在切线上，切线
4
四重分离点
复数分离点
K1
K1 0
Im K1
K1 0
Re 0 K1 0
K1
K1 0
K1
K1 0
Im
K1
K1
分离点 Re
K1 0
0
K1 0
分离点
K1
K1
K1 0
5
： P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0 另外两种表达形式
(1) dK1 0 ds
因为
K1P(s) Q(s) 0
34 5
s2
K1
0
1.1
17
9. 根轨迹的走向
当n-m≥2满足时，随着K1增加，一些根轨迹分支向左方 移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。
开环传递函数：
m
m
G(s)H(s)
K1(s (s
z1 )( p1 )(s
s zm) pn )
K1(sm sn
n
zi sm1 zm
i 1
根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定。即
K1
1 G1(s1 )H (s1 )
s1 p1 s1 pn s1 z1 s1 zm
=
G1(s1 )H (s1 )极点至s1所引向量长度的乘积 G1(s1 )H (s1 )零点至s1所引向量长度的乘积
20
例: 系统的开环传递函数
G(s)H(s)
i 1
n
p j sn1 p j
)
特征方程：
j 1
j 1
n
n
m
m
1 G(s)H (s) sn p j sn1 p j K1sm K1 zi sm1 K1 zm
j 1
j 1
i 1
i 1
当满足n-m≥2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通
常把称之为极点的“重心”。
选择满足幅角条件的试探点求出 j ，再利用幅值条件确
定交点处的K1值。
13
例 试绘制根轨迹图
G(s)H(s)
s(s
K1 3)( s2
2s
2)
解： 起点：0 －3 －1＋j －1-j
终点：∞ ∞ ∞
∞
(1) 渐近线：n-m=4 条。
倾角：
180 (2k 1) 180 (2k 1) 45 ,135
等于开环传递函数的极点数（nm）
对称于实轴
相交于实轴上的同一点：
坐标为：
n
pi
m倾z j角为：
i1
j 1
nm
180 (2k 1)
nm
实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹， 则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为 奇数
24
序 内容
规则
6 分离（回 实轴上的分离（会合）点
合）点 ——（必要条件）
虚部方程： 5 3 6 0
解得： 1 0 (舍去) 2 1.1
3 1.1
K1 8.16
方法二：由劳斯阵列求： s4
1
列出劳斯阵列
s3
5
8 K1 6
令 s1行首项为零，即
s2
34 / 5
K1
204 25K1 0 34
s1 (204 25K1 ) / 34
s0
K1
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程
两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定
要检验，舍去K＜0所对应的值。
9
Im
复杂情况用试探法。
在-2-3之间存在一个分离点。
3
2 1
0 Re
1 1 1 1 s1 s s2 s3
s 2.4
s 2.5
1 ?1
1
1
2.4 1 2.4 2.4 2 2.4 3
1
?
1
1
1
,
所以 3 180 (135 26.6 90) 71.6
同理不难求得极点-p3处的出射角：4 71.6
(5)根轨迹与虚轴的交点：
方法一：由特征方程求：
特征方程 ： s4 5s3 8s2 6s K1 0
s j ( 4 8 2 K1 ) j(-5 3 6 ) 0
16
实部方程： 4 8 2 K1 0
3 p3
1 z1
1
0 p1
Re
的倾角就等于复极点的
p2
出射角。
2
1 (a 1 90 3) 180 (2k 1)
所以 a的出射角:
a 180 (2k 1) 1 (1 90 3 )
2 a
12
8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 1 G( j)H( j)
Im
K 1 2 4 0 4 .3
K 1 4 4 .5
B
7 .6 6
K 1 4 4 .5
5 .3
3.5
C
A 2 .1
2.4
60
4 1 .5 7 1 .2 0 R e
23
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容 1 起点
终点 2 分支数 3 对称性
渐近线 4
实轴上 5 分布
规则
起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括 无限零点）
设 系统的开环传递函数
m
G( s) H ( s)
K1 (s zi )
i 1 n
(s pj)
K1G(s)H (s)
K1
P(s) Q(s)
j 1
m
P(s) (s zi ) (s z1 )( s z2 )(s zm ) i n1
Q(s) (s p j ) (s p1 )( s p2 )(s pn ) j 1
2
例: 设系统
R(s)
K1(s 2) s2 2s 2
C(s)
试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。
解：系统的开环传递函数：
求得：
G(s)H(s)
K1(s 2) s2 2s 2
d ds
[G1
(
s)
H
1
(
s
)]
d ds
s2
s2 2s 2
s2 4s 2 (s2 2s 2)2
0
nm
4
与实轴的交点：
( p1 p2 p3 p4 ) 0 0 3 (1 j) (1 j) 1.25
nm
4
(2) 实轴上的根轨迹：
14
15
(3)分离点：
1 1 1 1 0 s s3 s1 j s1 j
试探法求得 s 2.3
(4) –p2出射角 3 :-p1,-p3,-p4到-p2 的幅角分别 135 、26.6、90 .
ds
ห้องสมุดไป่ตู้
ds
其中 P(s) (s z1 )(s z2 )(s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 )(s pn )
即
d [ln P(s)] 1 1 1
ds
s z1 s z2
s zm
所以
d [lnQ(s)] 1 1 1
ds
s p1 s p2
s pn
m 1
a 180 (2k 1)（各零点到 pa 的向量幅角 i 之和）
（其它各极点到 pa 的向量幅角 j 之和）
m
n
180 (2k 1) i j
i 1
j1
ja
若根轨迹的一个分支终止于复零点 zb 的入射角为 b ，则
b 180 (2k 1) (各极点到 zb 的向量幅角 j 之和)
K1
s(s 4)( s 6)
试画根轨迹，并确定 0.5 时K1的值。
解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。
(1) 渐近线：3条。
渐近线的夹角：
180 (2k 1) 60 ,180
渐近线与实轴的交点：
31
(0 4 6) 0 3.33
3
（2）分离点：
1 1 1 0 s s4 s6
的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍常用的三种方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等于
零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助
方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。 (3) 利用试探法求取。先给出根轨迹的大致图形，根据经验
2.5 1 2.5 2.5 2 2.5 3
0.715 1.247 0.67 0.4
s 2.47
1 1 1 1
0.68 0.635
2.47 1 2.47 2.47 2 2.47 3
所以分离点的位置为 s 2.47
10
7、根轨迹的出射角与入射角
若根轨迹的一个分支离开复极点 pa 的出射角为 a ，则