2008年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)

2008年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为 A.1
B.2
(2)设集合A={x |1
x
x -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的
(3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若a 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为 A.63
B.64
(4)函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3
B.0
(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
A.
16
625
B.
96625
C.192
625
D.
256
625
(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为
B.
5
5
2 (7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14
B.24
(8)若实数x 、y 满足 x-y+1≤0，则y
x
的取值范围是 x>0
A. (0,1)
B. (0,1)
C. (1,+∞)
D. [1, +∞]
(9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y = -f ′(x )的图象，则m 的
值可以为
A.
2
π
B.π
C.－π
D.－ 2
π
(10)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为 A.
6
π
B.
3π C.6
π或56π
D.
3
π或
23π
(11)双曲线12
22
2=-
b y a x （a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,
则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
(12)已知函数y =f (x ), y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字作答)
x =1+cos θ
(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y =-2+sin θ （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是.
（15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是. （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a -b ， ab 、
a
b
∈P （除
数b ≠0），则称PQ 是数域；数集{}
,F a b Q =+∈也是数域.有下列命题： ①整数集是数域；
②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. （18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ，底面ABCD 为
直角梯形，其中BC ∥AD , AB ⊥AD , AD =2AB =2BC =2, O 为AD 中点.
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD AQ
QD
的值；若不存在，请说明理由.
（19）（本小题满分12分） 已知函数3
21()23
f x x x =
+-. （Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 12
11(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′
(x )的图象上，求证：点（n , S n ）也在y =f ′(x )的图象上；
（Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1, a ）内的极值. （20）（本小题满分12分）
某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。

现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3
，科目B 每次考试成绩合格的概率均为
1
2。

假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的
数学期望E ξ.
（21）（本小题满分12分）
如图、椭圆22
221x y a b
+=（a>b>0）的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点。

若直线l 绕点F 任意转动，恒有
22
2
OA OB
AB +,求a 的取值范围.
（22）（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ln(1+x )-x （Ⅰ）求f (x )的单调区间；
（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x .
（Ⅲ）如果对一切n
2n a +-
恒成立，求实数c 的取值范围；
（Ⅳ）求证：
13
13211224
24221 1.n n n
a a a a a a a a a a a a a -+++
+
数学试题（理工农医类）答案解析
数 学（理工类）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）解析：由2
320a a -+=得12a =或,且101a a -≠≠得2a ∴=（纯虚数一定要使虚
部不为0）
答案 B
O
C1
D1C
A1
A
B D B1
（2）解析：由01
x
x <-得01x <<,可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件 答案 A
（3）解析：由151,16a a ==及｛a n ｝是公比为正数得公比2q =，所以7
71212712
S -=
=- 答案 C
（4）解：3
()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=
故()11f a --=-即()0f a -=. 答案 B
（5）解：独立重复实验4(4,)5B ，22
244196(2)55625P k C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
答案 B
（6）解：连11A C 与11B D 交与O 点,再连BO,则1OBC ∠为BC 1与平面BB 1D 1D 所成角.
1
11
OC COS OBC BC ∠=，12OC =15BC
答案 D
（7） 解：6人中选4人的方案4
615C =种，没有女生的方案只
有一种，
所以满足要求的方案总数有14种 答案 A
（8）解：由已知1y x ≥+，111y x x x x +==+，又0x >，故y x
的取值范围是(1,)+∞ 答案 C
（9）解：()sin y f x x '=-=,而()cos ()f x x x R =∈的图象按向量(,0)m 平移后
得到cos()y x m =-,所以cos()sin x m x -=，故m 可以为2
π
. 答案 A
（10）解：由2
2
2
(a +c -b 3ac 得222(a +c -b )3cos = 2B ac 3cos cos = B
B
3sin B ∴又在△中所以B 为3
π或23π
答案 D
（11）解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当
P 在右顶点处θπ=
，22c
e a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈
另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成
立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。

答案 B
（12） 解：从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同,可以排除B 答案,再者导函数的函数值
反映的是原函数增加的快慢,可明显看出()y f x =的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就只有答案D 了,可以验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快.
答案 D
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
（13）
解：令54321011x a a a a a a =+++++=-得，令0x =得0032x a ==-得 所以 5432131a a a a a ++++= (14)
解：圆心为(1,2)-，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得
1d r =
>=，即55m ->，m ∈∞∞（-，0）（10，+）
（15）
解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径
.
23r == ,249S r ππ==
（16）
解：①对除法如
1
2
Z ∉不满足，所以排除，
②取{}
,M a b Q =+∈,
3
324M =∉, ③④的正确性容易推得。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-=1
2sin()1,sin().662
A A ππ-=-=
由A 为锐角得 ,6
6
3
A A π
π
π
-
=
=
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2
A =
所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
， （18）（本小题满分12分）
解法一：
（Ⅰ）证明：在△P AD 中P A =PD ,O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ,
又侧面P AD ⊥底面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD =AD ,PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .
（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中、BC ∥AD ，AD =2AB =2BC ,
有OD ∥BC 且OD =BC ,所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB ∥DC . 由（Ⅰ）知，PO ⊥OB ,∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.
因为AD =2AB =2BC =2,在Rt △AOB 中，AB =1,AO =1,
所以OB ＝2，
在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1，
在Rt △PBO 中，tan ∠PBO ＝
122
,arctan .222
PG PBO BC ==∠= 所以异面直线PB 与CD 所成的角是2
arctan
2
（Ⅲ）假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32
. 设QD ＝x ，则1
2
DQC S x ∆=
，由（Ⅱ）得CD =OB =2， 在Rt △POC 中，222,PC OC OP =+=
所以PC =CD =DP ,233(2),42
PCD S ∆=
= 由V p-DQC =V Q-PCD ,得2，所以存在点Q 满足题意，此时
1
3
AQ QD =. 解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O 为坐标原点，OC OD OP 、
、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标
系O-xyz ,依题意，易得A (0,-1,0),B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0),P (0,0,1),
所以110111CD
PB ---＝（，，），＝（，，）. 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arccos
6
3， (Ⅲ)假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为
32
， 由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=- 设平面PCD 的法向量为n =(x 0,y 0,z 0).
则0,0,
n CP n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00000,0,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩即000x y z ==， 取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为n =(1,1,1). 设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-由
32CQ n n
=，得13
,23
y -+= 解y =-
12或y =52(舍去)，此时13
,22
AQ QD ==， 所以存在点Q 满足题意，此时1
3
AQ QD =. （19）（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)证明： 因为3
21()2,3
f x x x =
+-所以'2()2f x x x =+， 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数'()y f x =的图象上,22
1122n n n n a a a a ++-=+
111()()2()n n n n n n a a a a a a ++++-=+， 又0(N ),n a n +>∈
所以12n n a a +-=，}{
n a 是13,2a d ==的等差数列 所以2(1)
32=22
n n n S n n n -=+
⨯+,又因为'2()2f n n n =+,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数'
()y f x =的图象上.
(Ⅱ)解:2
()2(2)f x x x x x '=+=+,令()0,f x '=得02x x ==-或.
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:
x
(-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f ′(x ) + 0 - 0 + f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
注意到(1)12a a --=<,从而
①当2
12,21,()(2)3
a a a f x f -<-<-<<--=-
即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值. （20）（本小题满分12分）
解：设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ，“科目A 补考合格”为事件2A ；“科目B 第一次
考试合格”为事件1B ，“科目B 补考合格”为事件2B
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为11A B ,注意到1A 与1B 相互独立，
则1111211
()()()323
P A B P A P B =⨯=
⨯=. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
13
. (Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
故4418234.9993
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 答：该考生参加考试次数的数学期望为
8
3
. （21）（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，
因为△MNF 为正三角形， 所以32OF MN =
,321, 3.23
b b =解得＝ 2
2
14,a b =+=因此，椭圆方程为22
1.43
x y +=
(Ⅱ) 设1122(,),(,).A x y B x y
(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，
(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，
设直线AB 的方程为：22
221,1,x y x my a b
=++=代入
整理得2
2
2
2
2
2
22
()20,a b m y b my b a b +++-=
所以2222
1212222222
2,b m b a b y y y y a b m a b m -+=-=++
因为恒有2
2
2
OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角.
即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立. 又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立，
即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒成立,当m R ∈时，222m a b 最小值为0， 所以22220a b a b +-<， 2
2
2
4
(1)a b a b <-=, 因为2
20,0,1a b a b a >><=-∵∴，即210a a -->,
解得a >
或a <(舍去)，即a >,
综合（i ）(ii)，a 的取值范围为)+∞.
所以
135(21)
246(2)n n -＜＜1(n ∈N *),
则
113
135(21)
224
246(2)
n n -+++
＜。