2015-2016年山东省日照市莒县第三协作区九年级(上)期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年山东省日照市莒县第三协作区九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（1-8题每题3分，9-12题每题4分，共计40分）
1．（3分）下列成语中描述的事件必然发生的是（）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．拔苗助长
2．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．B．C．D．
3．（3分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k 的值是（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
4．（3分）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，下列结论中错误的是（）
A．CE=DE B．C．∠BAC=∠BAD D．AC=ED
5．（3分）有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）
A．B．4 C．D．2
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）
A．15°B．20°C．30°D．70°
7．（3分）如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm2，那么扇形的半径为（）
A．48cm B．24cm C．12cm D．6cm
8．（3分）如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）
A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1=S2＞S3D．S1=S2＜S3
9．（4分）△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是（）
A．2，5 B．1，5 C．4，5 D．4，10
10．（4分）如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）
A．1 B．πC．D．π
11．（4分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣1或0＜x＜2
12．（4分）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）
A．3 B．C．D．不能确定
二、填空题（每空4分，共16分）
13．（4分）反比例函数y=的图象如图所示，则实数k的取值范围是．
14．（4分）如图，AB为⊙O直径，∠BAC的平分线交⊙O于D点，∠BAC=40°，∠ABD=．
15．（4分）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是．
16．（4分）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动．当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为．
三、解答题
17．（10分）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD ∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）
19．（12分）如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．
20．（10分）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标是（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标．
21．（10分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前与爆炸后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
22．（12分）已知：如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO 与⊙O相交于点A、B．
（1）试探求∠BCP与∠P的数量关系；
（2）若∠A=30°，则PB与PA有什么数量关系？
2015-2016学年山东省日照市莒县第三协作区九年级
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1-8题每题3分，9-12题每题4分，共计40分）
1．（3分）下列成语中描述的事件必然发生的是（）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．拔苗助长
【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，故本选项错误；
B、瓮中捉鳖是一定能发生的事件，属必然事件，故本选项正确；
C、守株待兔是可能发生也可能不发生的事件，是随机事件，故本选项错误；
D、拔苗助长是一定不会发生的事件，是不可能事件，故本选项错误．
故选：B．
2．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；
∴出现两个正面朝上的概率是：．
故选：D．
3．（3分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k 的值是（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：因为图象在第二象限，
所以k＜0，
根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2×2=4，
所以k=﹣4．
故选：D．
4．（3分）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，下列结论中错误的是（）
A．CE=DE B．C．∠BAC=∠BAD D．AC=ED
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，=，=，
∴∠BAC=∠BAD，AC=AD．
故选：D．
5．（3分）有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）
A．B．4 C．D．2
【解答】解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，
则∠B=60度，∠O=30度，
在直角△OBC中，根据三角函数得到OB=4．
故选：B．
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）
A．15°B．20°C．30°D．70°
【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA=20°．
故选：B．
7．（3分）如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm2，那么扇形的半径为（）
A．48cm B．24cm C．12cm D．6cm
【解答】解：设扇形的半径为r，
∵扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，
∴=240π，
解得r=24．
故选：B．
8．（3分）如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）
A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1=S2＞S3D．S1=S2＜S3
【解答】解：如右图，
∵点A在y=上，
=k，
∴S
△AOC
∵点P在双曲线的上方，
＞k，
∴S
△POE
∵点B在y=上，
∴S
=k，
△BOD
∴S1=S2＜S3．
故选：D．
9．（4分）△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是（）
A．2，5 B．1，5 C．4，5 D．4，10
【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径==2，
△ABC的外接圆的半径==5．
故选：A．
10．（4分）如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）
A．1 B．πC．D．π
【解答】解：如图，连结DB、DB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=45°，BD=AB=2，
∵正方形ABCD按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，点B运动到点B′，
∴∠CDB′=45°，BD=DB′=2，
∴∠BDB′=90°，
∴点B运动到点B′所经过的路线长==π．
故选：D．
11．（4分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣1或0＜x＜2
【解答】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是：x＜﹣1，或0＜x ＜2．
故选：D．
12．（4分）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）
A．3 B．C．D．不能确定
【解答】解：把x=t分别代入，得y=，y=﹣，
所以B（t，）、C（t，﹣），
所以BC=﹣（﹣）=．
∵A为y轴上的任意一点，
∴点A到直线BC的距离为t，
∴△ABC的面积=××t=．
故选：C．
二、填空题（每空4分，共16分）
13．（4分）反比例函数y=的图象如图所示，则实数k的取值范围是k＞3．
【解答】解：∵反比例函数图象经过第一、第三象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3．
故答案为k＞3．
14．（4分）如图，AB为⊙O直径，∠BAC的平分线交⊙O于D点，∠BAC=40°，∠ABD=70°．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×40°=20°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=70°．
故答案为70°．
15．（4分）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是15．
【解答】解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15个．
故答案为15．
16．（4分）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动．当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为．
【解答】解：如图．
连接OD．
∵AC与⊙O相切于点D，
∴∠ADO=90°．
∵△ABC为正三角形，
∴∠A=60°．
∴sin∠A=，
∴
∴OA=．
三、解答题
17．（10分）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
【解答】解：列表得：
（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）
（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）
（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
∴一共有16种情况，两次摸出的数字之和为“8”的有一种，数字之和为“6”的有3种情况，数字之和为其它数字的有12种情况， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为
，抽中三等奖的概率为．
18．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠DAB=45°，BC ∥AD ，CD ∥AB ．
（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）
【解答】解：（1）直线CD 与⊙O 相切．理由如下： 如图，连接OD
∵OA=OD ，∠DAB=45°， ∴∠ODA=45° ∴∠AOD=90° ∵CD ∥AB
∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD ⊥CD
又∵点D 在⊙O 上，∴直线CD 与⊙O 相切；
（2）∵⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的直径， ∴AB=2，
∵BC ∥AD ，CD ∥AB
∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD=AB=2 ∴S 梯形OBCD =
=
=；
∴图中阴影部分的面积等于S 梯形OBCD ﹣S 扇形OBD =﹣×π×12=﹣
．
19．（12分）如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数y1=的图象过点A（﹣2，1），即1=；
∴m=﹣2，即y1=﹣，
又∵点B（a，﹣2）在y1=﹣上，
∴a=1，∴B（1，﹣2）．
又∵一次函数y2=kx+b过A、B两点，
即．
解之得．
∴y2=﹣x﹣1．
（2）∵x=0，∴y2=﹣x﹣1=﹣1，
即y2=﹣x﹣1与y轴交点C（0，﹣1）．
设点A的横坐标为x A，
∴△AOC的面积S
==×1×2=1．
△OAC
（3）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方．
∴﹣2＜x＜0，或x＞1．
20．（10分）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标是（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标．
【解答】解：（1）连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径，
由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，
得∠BAO=60°，
又AO=4，故cos∠BAO=，AB==8，
从而⊙C的半径为4．
（2）由（1）得，BO==4，
过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
则EC=OF=BO==2，CF=OE=OA=2．
故C点坐标为（﹣，2）．
21．（10分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前与爆炸后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
【解答】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b，
由图象知y=k1x+b，
过点（0，4）与（7，46），
则，解得，
所以y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7．
因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为y=．
由图象知y=．
过点（7，46），则=46．
解得k2=322，
所以y=，此时自变量x的取值范围是x＞7．
（2）当y=4时，由y=得，x=80.5，80.5﹣7=73.5（小时）．
故矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
22．（12分）已知：如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO 与⊙O相交于点A、B．
（1）试探求∠BCP与∠P的数量关系；
（2）若∠A=30°，则PB与PA有什么数量关系？
【解答】解：（1）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，
∴∠BCP=∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，2∠BCP=180°﹣∠P，
∴∠BCP=（90°﹣∠P）；
（2）若∠A=30°，则∠BCP=∠A=30°，
∴∠P=30°，
∴PB=BC，BC=AB，
∴PB=PA或PA=3PB．。

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