苏科八年级苏科初二下册数学月考试卷及答案

苏科八年级苏科初二下册数学月考试卷及答案
一、选择题
1．下面的图形中，是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC 的度数为（ ）
A ．35°
B ．40°
C ．45°
D ．60°
3．如图，将△ABC 沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A ’，若∠C ＝120°，∠A ＝26°，则∠A ′DB 的度数是（ ）
A ．120°
B ．112°
C ．110°
D ．100°
4．下列式子为最简二次根式的是（ ） A ．22a b + B ．2a
C ．12a
D ．
12
5．如果a ＝32
+，b ＝3﹣2，那么a 与b 的关系是（ ） A ．a +b ＝0
B ．a ＝b
C ．a ＝
1b
D ．a ＞b
6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE=BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是( )
A ．BC=AC
B ．CF ⊥BF
C ．BD=DF
D ．AC=BF
7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，BC ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若10DAC ∠=︒，66ACB ∠=︒，则FEO ∠等于（ ）
A ．76°
B ．56°
C ．38°
D ．28°
8．下列调查中，适合普查方式的是（ ） A ．调查某市初中生的睡眠情况 B ．调查某班级学生的身高情况 C ．调查南京秦淮河的水质情况 D ．调查某品牌钢笔的使用寿命
9．某种商品原价200元，连续两次降价a%后，售价为148元．下列所列方程正确的是
（ ）
A ．200(1+ a%)2=148
B ．200(1- a%)2=148
C ．200(1- 2a%)=148
D ．200(1-a 2%)=148
10．如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为S （S 为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S 的代数式表示为（ ）（S ≥2且S 是正整数）
A ．
2018
4S B ．
2019
4S C ．
2020
4S D ．
2021
4S
二、填空题
11．如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠BA′C=________度．
12．326_____．
13．当a ＜0时，化简2a 2a |结果是_____．
14．如图，在菱形ABCD 中，8AB =，60B ∠=︒，点G 是边CD 的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF ED +的最小值是_________.
15．若点A （﹣4，y 1），B （﹣2，y 2）都在反比例函数1
y x
=-的图象上，则y 1，y 2的大小关系是y 1_____y 2． 16．如图，反比例函数y ＝
x
k
（x ＞0）的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，若矩形OABC 的面积为8，则k ＝_____．
17．若正方形的对角线长为2，则该正方形的边长为_____．
18．如图，△ABC 中，∠BAC ＝20°，△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，连接对应点C 、D ，AE 垂直平分CD 于点F ，则旋转角度是_____°．
19．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过顶点D 、B 作DE ⊥a 于点E 、BF ⊥a 于点F ，若DE ＝4，BF ＝3，则EF 的长为_______．
20．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为 ．
三、解答题
21．某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组．学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你过计算估计选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．
22．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
23．一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：
试验次数20406080100120140160“帅”字面朝上频数a18384752667888
相应频率0.70.450.630.590.520.550.56b
＝；＝；
（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
24．已知23x =+，23y =-。

求22
x xy y ++的值。

25．某中学八年级共有10个班，每班40名学生，学校对该年级学生数学学科某次学情调研测试成绩进行了抽样分析，请按要求回答下列问题：
（1）若要从全年级学生中抽取40人进行调查，你认为以下抽样方法中最合理的是 ． ①随机抽取一个班级的40名学生的成绩； ②在八年级学生中随机抽取40名女学生的成绩； ③在八年级10个班中每班各随机抽取4名学生的成绩．
（2）将抽取的40名学生的成绩进行分组，绘制如下成绩频数分布表： ①m ＝ ，n ＝ ；
②根据表格中的数据，请用扇形统计图表示学生成绩分布情况．
26．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BC ，AC ＝2，BC ＝3．点E 是BC 延长线上一点，且CE ＝3，连结DE ． （1）求证：四边形ACED 为矩形． （2）连结OE ，求OE 的长．
27．解方程（1）2
2(1)1x x +=+ （2）22310x x ++=（配方法）
28．如图，点P 为ABC ∆的BC 边的中点，分别以AB 、AC 为斜边作Rt ABD ∆和
∠=．
∆，且BAD CAEα
Rt ACE
∠=∠=，DPEβ
=．
（1）求证：PD PE
（2）探究：α与β的数量关系，并证明你的结论．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．
【详解】
解：A、B、C只是轴对称图形，D既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选D.
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．C
解析：C
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=1
2
（180°-∠BAC）=
1
2
（180°-45°）=67.5°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵EF=1
2
BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴BF=EF=CF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．
故选：C．
【点睛】
此题考查等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE＝∠B，又根据∠C＝120°，∠A＝26°可求出∠B的值，继而求出答案．
【详解】
解：由题意得：DE∥BC，
∴∠A'DE＝∠B＝180°﹣120°﹣26°＝34°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B＝146°，
故∠A'DB＝∠BDE﹣∠A'DE＝146°﹣34°＝112°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟知三角形的中位线平行于第
三边．
4．A
解析：A
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
A
B|a|，可以化简，故不是最简二次根式；
C=
D=，可以化简，故不是最简二次根式；
故选：A．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5．A
解析：A
【分析】
先利用分母有理化得到a2），从而得到a与b的关系．
【详解】
2），
∵a
而b2，
∴a＝﹣b，即a+b=0．
故选：A．
【点睛】
﹣2是解答本题的关键．
6．D
解析：D
【详解】
解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF；
∵CF=BE，∴BE=EC=CF=BF；
∴四边形BECF是菱形．
当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠EBC=45°；
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．∴菱形BECF 是正方形． 故选项A 不符合题意．
当CF ⊥BF 时，利用正方形的判定得出，菱形BECF 是正方形，故选项B 不符合题意． 当BD=DF 时，利用正方形的判定得出，菱形BECF 是正方形，故选项C 不符合题意． 当AC=BD 时，无法得出菱形BECF 是正方形，故选项D 符合题意． 故选D ．
7．D
解析：D 【分析】
利用EG 、FG 分别是ABC ∆和ADC ∆两个三角形的中位线，求出EG FG =，从而得出FGC ∠和EGC ∠，再根据EG FG =，利用三角形内角和定理即可求出FEG ∠的度数．
【详解】
解：∵E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点， ∴EG 、FG 分别是ABC ∆和ADC ∆两个三角形的中位线， ∴//EG BC ，//FG AD ，且22
AD BC
EG FG ==
=， ∴10FGC DAC ∠=∠=︒，180114EGC ACB ∠=︒-∠=︒， ∴124EGF FGC EGC ∠=∠+∠=︒， 又∵EG FG =，
∴()()11
1801801242822
FEG EGF ∠=
-∠=-︒=︒︒︒． 故本题答案为：D ． 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形中位线定理，通过等腰三角形的性质找到相等的角．
8．B
解析：B 【分析】
根据抽样调查和普查的特点作出判断即可． 【详解】
A 、调查某市初中生的睡眠情况，调查的对象很多，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，故本项错误；
B 、调查某班级学生的身高情况，调查对象较少，适宜采取普查，故本项正确；
C 、调查南京秦淮河的水质，调查范围较广，不适宜采取普查，故本项错误；
D 、调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，普查，破坏性较强，应采用抽样调查，此选项错误； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了普查和抽样调查的判断，掌握普查和抽样调查的特点是解题关键．
9．B
解析：B 【分析】
根据题意可得出两次降价后的售价为200(1- a%)2，列方程即可． 【详解】
解：根据题意可得出两次降价后的售价为200(1- a%)2， ∴200(1- a%)2=148 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查增长率问题，找准题目中的等量关系是解此题的关键．
10．B
解析：B 【分析】
观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为S 4
，第3个阴影部分的面积为16S
，依此类
推，得到第n 个图形的阴影部分的面积即可． 【详解】
解：观察图形发现：
第2个图形中的阴影部分的面积为S
4
， 第3个图形中的阴影部分的面积为16
S ， …
第n 个图形中的阴影部分的面积为
1
4n S ，
故第2020个图中阴影部分的面积可以用含S 的代数式表示为2019
4S ．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形，找到规律用通项公式表示出来．
二、填空题 11．5． 【分析】
由四边形ABCD 是正方形，可得AB=BC ，∠CBD=45°，又由折叠的性质可得：A′B=AB ，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BA′C 的度数．
解：因为四边形A
解析：5．
【分析】
由四边形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠CBD=45°，又由折叠的性质可得：A′B=AB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BA′C的度数．
【详解】
解：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=BC，∠CBD=45°，
根据折叠的性质可得：A′B=AB，
所以A′B=BC，
所以∠BA′C=∠BCA′=18018045
22
CBD
-∠-
==67.5°．
故答案为：67.5．
【点睛】
此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
12．【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
＝2
＝2×3
＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
解析：
【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
＝
＝
＝．
故答案为：．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
13．﹣3a
【分析】
首先利用a的取值范围化简，进而去绝对值求出答案．
【详解】
∵a＜0，
∴|﹣2a|
＝|﹣a﹣2a|
＝|﹣3a|
＝﹣3a．
故答案为：﹣3a．
【点睛】
此题主要考查了二次根
解析：﹣3a
【分析】
首先利用a的取值范围化简，进而去绝对值求出答案．
【详解】
∵a＜0，
∴2a|
＝|﹣a﹣2a|
＝|﹣3a|
＝﹣3a．
故答案为：﹣3a．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
14．【分析】
由题意，点D与点C关于AG对称，连接EC，FC，再利用垂线段最短求值即可【详解】
解：连接，，如图
在菱形中，，
∴是边长为8的等边三角形
∵是的中点
∴
∴是的垂直平分线
∴
∵， 解析：43
【分析】
由题意，点D 与点C 关于AG 对称，连接EC ，FC ，再利用垂线段最短求值即可
【详解】
解：连接EC ，FC ，如图
在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，8AB =
∴ACD ∆是边长为8的等边三角形
∵G 是CD 的中点
∴AG CD ⊥
∴AG 是CD 的垂直平分线
∴EC ED =
∵EF EC FC +≥，CF AD ⊥时，CF 最小
∴EF ED +的最小值是等边ACD ∆3843=故答案为：3
【点睛】
本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型． 15．＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数中，k ＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大，
∵点A （﹣4，y1），B （﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，
解析：＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数1y x
=-
中，k ＝﹣1＜0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵点A （﹣4，y 1），B （﹣2，y 2）都在反比例函数1y x
=-
的图象上，且﹣2＞﹣4， ∴y 1＜y 2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键． 16．4
【分析】
设D 的坐标是，则B 的坐标是，根据D 在反比例函数图象上，即可求得ab 的值，从而求得k 的值．
【详解】
设D 的坐标是，则B 的坐标是，
∵
∴，
∵D 在上，
∴．
故答案是：4．
【点睛】
解析：4
【分析】
设D 的坐标是()a b ，，则B 的坐标是()2a b ，
，根据D 在反比例函数图象上，即可求得ab 的值，从而求得k 的值．
【详解】
设D 的坐标是()a b ，，则B 的坐标是()2a b ，
， ∵OABC 8S =矩形
∴28ab =，
∵D 在k y x
=上， ∴1842k ab ==
⨯=． 故答案是：4．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的
关键．
17．【分析】
利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠D＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°
设AD＝CD＝x，在Rt
解析：【分析】
利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠D＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°
设AD＝CD＝x，在Rt△ADC中，
∵AD2+CD2＝AC2
即x2+x2＝（2）2
解得：x＝1，（x＝﹣1舍去）
所以该正方形的边长为1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键．
18．40
【分析】
根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度数即可．
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC
解析：40
【分析】
根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出
∠DAC的度数即可．
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°，
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，
∵AE垂直平分CD于点F，
∴∠DAE＝∠CAE＝20°，
∴∠DAC＝20°+20°＝40°，
即旋转角度数是40°，
故答案为：40．
【点睛】
本题主要考查了图像旋转的性质以及垂直平分线的性质，从而得到边相等与角相等的条件．
19．7
【解析】
【详解】
因为ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BFA=∠BAD=90°，则有∠ABF=∠DAE，又因为DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△DEA，所以AF=DE=4，BF
解析：7
【解析】
【详解】
因为ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BFA=∠BAD=90°，则有∠ABF=∠DAE，又因为
DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△DEA，所以AF=DE=4，BF=AE=3，则
EF=AF+AE=4+3=7．
20．【分析】
根据折叠的性质结合菱形的性质可得∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果.
【详解】
解：∵AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO
解析：
【分析】
根据折叠的性质结合菱形的性质可得∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果.
【详解】
解：∵AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
由折叠的性质可知，
∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，
又EC=AE，AB=AE+EB=3，
∴EB=1，EC=2，
∴223
BC EC EB
=-=
【点睛】
解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．
三、解答题
21．（1）150人；（2）见解析；（3）192人
【分析】
（1）根据书法小组的人数及其对应百分比可得总人数；
（2）根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可．
【详解】
（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150（人）；
（2）航模的人数为150﹣(30+54+24)=42（人），补全条形统计图如下：
（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有：1200×
24
150
×100%=192（人）．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．见解析
【分析】
先根据平行四边形的性质，得出ED∥BF，再结合已知条件∠ABE＝∠CDF推断出EB∥DF，
即可证明．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠DFC，ED∥BF，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABC－∠ABE＝∠ADC－∠CDF，即∠EBC＝∠ADF，
∴∠EBC＝∠DFC，
∴EB∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题关键．23．（1）14，0.55；（2）图见解析；（3）0.55．
【分析】
（1）根据图中给出的数据和频数、频率与总数之间的关系分别求出a、b的值；
（2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．
（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．
【详解】
（1）a＝20×0.7＝14；
b＝
88
160
＝0.55；
故答案为：14，0.55；
（2）根据图表给出的数据画折线统计图如下：
（3）随着试验次数的增加“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，得P（“帅”字朝上）＝0.55．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．作图时应先描点，再连线．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率=所求情况数与总情况数之比．
24．15
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式对代数式22x xy y ++进行变形可得:()2
x y xy +-, 再根据23x =+,23y =-可分别计算出4x y +=,
1xy =,代入变形后的代数式即可. 【详解】
因为23x =+,23y =-,
所以4x y +=,
1xy =, 所以()22224115x xy y x y xy ++=+-=-=.
【点睛】
本题主要考查代数式化简求值,二次根式加法和乘法计算,解决本题的关键是要熟练根据完全平方公式对代数式进行变形和二次根式加法乘法法则.
25．（1）③；（2）①16，0.2；②见解析
【分析】
（1）若要从全年级学生中抽取一个40人的样本，在全年级10个班中各随机抽取4名学生比较合理，所以可得出答案；
（2）①用40减去A 类，C 类和D 类的频数，即可得到m 值，用C 类的频数除以40即可得到n 值；
②根据频数分布表画出扇形统计图即可．
【详解】
（1）若要从全年级学生中抽取一个40人的样本，在全年级10个班中各随机抽取4名学生比较合理，
故答案为：③；
（2）①m=40-12-8-4=16，
n=840
=0.2； ②扇形统计图如下：
．
【点睛】
本题考查了数据的整理和应用，由图表获取数据是解题关键．
26．（1）见解析（2）10 【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ＝3，AD ∥BC ，得到AD ＝CE ，推出四边形ACED 是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE ＝90°，于是得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理得到OC ＝
12DE ＝12
AC ＝1，由勾股定理即可得到结论． 【详解】 （1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝3，AD ∥BC ，
∵CE ＝3，
∴AD ＝CE ，
∴四边形ACED 是平行四边形，
∵AC ⊥BC ，
∴∠ACE ＝90°，
∴四边形ACED 为矩形；
（2）解：连接OE ，如图，
∵BO ＝DO ，BC ＝CE ，
∴OC ＝12DE ＝12
AC ＝1， ∵∠ACE ＝90°，
∴OE 22221310OC CE +=+=
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理和勾股定理进行求解．
27．（1）11x =-，212x =-
；（2）11x =-，212
x =- 【分析】
（1）移项，提取公因式1x +，利用因式分解法求解即可；
（2）移项，方程左右两边同时除以2后，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
（1）22(1)1x x +=+， 移项得：22(1)10()x x -++=，
提取公因式1x +得：121)()(0x x ++=，
可得：10x +=或210x +=， 解得：12112
x x =-=-，； （2）22310x x ++=， 原方程化为：23122
x x +=-， 配方得：22233132424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即231()416x +=， 开方得：3144
x +=±， 解得：1211
2x x =-=-，． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
28．（1）详见解析；（2）2180αβ+=︒，证明见解析．
【分析】
（1）如图，分别取AB 、AC 的中点M 、N ，连接DM 、PM 、PN 、NE ，根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质可得PM NE =，DM PN =，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质和已知条件可得BMD CNE ∠=∠，根据平行线的性质可得BMP BAC ∠=∠=CNP ∠，进而可得DMP PNE ∠=∠，于是可根据SAS 证明MDP NPE ∆≅∆，从而可得结论；
（2）根据平行线的性质可得BMP MPN ∠=∠，根据全等三角形的性质可得
EPN MDP ∠=∠，然后在DMP ∆中利用三角形的内角和定理和等量代换即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图，分别取AB 、AC 的中点M 、N ，连接DM 、PM 、PN 、NE ． 点P 为ABC ∆的边BC 的中点， ∴12
PM AC =， NE 为Rt AEC ∆斜边上的中线， ∴12
NE AN AC ==， PM NE ∴=，
同理可得：DM PN =，
12
DM AM AB ==， ADM BAD ∴∠=∠，
2BMD BAD ∴∠=∠，
同理，2CNE CAE ∠=∠，
又BAD CAE α∠=∠=，
BMD CNE ∴∠=∠，
又PM 、PN 都是ABC ∆的中位线，
//PM AC ∴，//PN AB ，
BMP BAC ∴∠=∠，CNP BAC ∠=∠，
BMP CNP ∴∠=∠，
∴DMP PNE ∠=∠，
MDP NPE ∴∆≅∆(SAS)，
PD PE ∴=；
（2）解：α与β的数量关系是：2180αβ+=︒；
证明：
//PN AB ，
BMP MPN ∴∠=∠，
∵MDP NPE ∆≅∆，
EPN MDP ∴∠=∠，
在DMP ∆中，∵180MDP DPM DMP ∠+∠+∠=︒，
∴180MDP DPM DMB PMB ∠+∠+∠+∠=︒，
而22DMB BAD α∠=∠=，
2180EPN DPM MPN α∴∠+∠++∠=︒，
DPE DPM MPN EPN β∠=∠+∠+∠=， 2180αβ∴+=︒．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．。