江苏省姜堰市蒋垛中学2013-2014年高三数学综合练习10

江苏省姜堰市蒋垛中学2013-2014年高三数学综合练习10
一：填空题
1、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 。

2、双曲线42052
2
=-x y 的焦点坐标为 。

3、若直线l 1：062=++y ax 与直线l 2：01)1(2
=-+-+a y a x 垂直，则=a 。

4、下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个
最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 .
5、将复数3
i 321++i 表示为),,(为虚数单位i R b a bi a ∈+的形式为____。

6、已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：
①若,//n m n αβ=，则//,//m m αβ；②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；
③若//,m m n α⊥，则n α⊥；④若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥ 其中所有真命题的序号是 ．
7、设命题P ：2
a a <，命题Q ：对任何x ∈R ，都有2
410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则整数a 的值为 。

8、在平面直角坐标系x O y 中，平面区域D ：⎩⎨⎧+-≤--≥3
||21
||x y x y ，则能覆盖平面区域D 的最小的圆的方程
为 。

9、若方程cos2x ＋
3sin2x ＝a ＋1在]2
,0[π
上有两个不同的实数解x ，则实数a 的取值范围
是 。

10、已知关于x 的方程1+=ax x 有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是 。

11、抛掷一颗骰子的点数为a ，得到函数π
()sin 3
a f x x =，则“ )(x f y =在[0，4]上至少有5个零点”的概率是 。

12、已知25()2x f x x
-=，2
(32sin )32f m m θ+<+-对一切R θ∈恒成立， 则实数m 的取值范围
为 .
13、已知抛物线y 2
=4x 的准线与双曲线12
22=-y a
x 交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，
若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 _____________． 14、在△ABC 中，已知向量4
1
||||0|
|||(==⋅AC AC
AB AB BC AC AC
AB AB
AC AB 满足与，
若△ABC
的面积是则BC 边的长是 ． 二：解答题
15、在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()
sin ,12
A -.
（1）求m ·n 取得最大值时的角A 的大小；
7 8 99
4 4 6 4 7
3
（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值.
16、如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC =2a ，60A ∠=，E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△PDE ，使PC =2a ， F 为线段PC 的中点． （1）求证：BF ∥平面PDE ；
（2）求证：平面PDE ⊥平面ABCD ．
17、已知以点P 为圆心的圆过点A （－1,0）和B （3,4）,线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 、D,且
|CD|=, (1) 求直线CD 的方程；（2）求圆P 的方程。

A
E
B
C
F
P
D
18、如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST ）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩
形ABCD 为长方体的下底面，两全等矩形EFNM 、HGNM 拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB 为x ． （Ⅰ）若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm 、50cm 、40cm 、则硬纸板PQST 的长、宽应为多大？ （Ⅱ）若硬纸板PQST 的长PT =240cm ，宽TS =150cm ，按此设计，当纸箱的长AB 为何值时，纸箱体积最大？并计算最大体积．
19、一个公差不为0的等差数列{}
n a ，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列
{}
n b 的第1、3、5
项. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记数列
{}
n a 与
{}
n b 的前n 项和分别为
n
S 与
n
T ,试求正整数m ，使得
12
m S T ；
（3）求证：数列
{}
n b 中任意三项都不能构成等差数列.
20、已知函数f （x ）=ln x +2x ，g （x ）=a (x 2
+x )．
（1）若a =1
2
，求F （x ）= f （x ）－g （x ）的单调区间；
（2）若f （x ）≤g （x ）恒成立，求a 的取值范围．
C A B D
E H M 1
N 1 Q T
S H 1 E 1 G 1 G
F F 1
P M N
E D
G H A B M N F
2013-2014年高三数学综合练习10参考答案
一：填空题
1、2
2、 （0，-1），（0，1）
3、2
3 4、 85，1.6 5、i 10
7101+ 6、②④ 7、 0 8、
25)2(22=++y x 9、0≤a ＜1 10、a ≥1 11、2
3
12、（-∞，-4）∪（1，+∞） 13、3 14、二：解答题
15、解:（1）m ·n ＝2sin
2
A
－()
22cos 12sin cos()22B C A B C +-=-+. ……………3分
因为 A ＋B ＋C π=，所以B ＋C π=－A ，
于是m ·n ＝2sin 2A ＋cos A ＝－22sin 2sin 122A A ++＝－2213
(sin )222
A -+.………5分
因为()
π0,22A ∈，所以当且仅当sin 2A ＝1
2
，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值32.
故m ·n 取得最大值时的角A ＝π3
. ……………………7分
（2）设角、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理，得 b 2＋c 2－a 2
＝2bc cos A …9分
即bc ＋4＝b 2＋c 2
≥2bc ， 所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号. … 12分
又S △ABC ＝1
2
bc sin A bc
当且仅当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 分 16、(Ⅰ) 取PD 的中点G ，连结GF ，GE ，由条件易知：
FG ∥CD ，FG =
12CD ，BE ∥CD ，BE =1
2
CD ． …………………3分 ∴FG ∥BE ，FG =BE ．∴四边形BEGF 为平行四边形, ∴BF ∥EG ， ……………5分
又BF ⊄平面PDE 内，∴BF ∥平面PDE ． …………………………………6分 （Ⅱ)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC =2a ，AE =EB =EP =AD = DP =a ．
取DE 中点H ，连结AH 、CH ，则H 为DE 中点，∴AH ⊥DE ，PH ⊥DE ，……8分
∵∠A ＝∠P =60°，∴AH = PH =
32a ，DH =a 2
． 在△CHD 中, CH 2
=DH 2
+DC 2
－2 DH ×DC cos60°
=(a 2)2+(2a)2－2×a 2×2a ×12=134
a 2 ， ……………9分 在△CHP 中，∵CH 2+ PH 2
= 134a 2 +(32
a )2=4a 2=P C 2，
∴PH ⊥HC ， ……………………………11分
又∵HC ∩DE =H ，∴PH ⊥面ABCD ． ……………………………12分 又∵PH ⊂面ADE ，∵面ADE ⊥面ABCD ． ……………………………………14分 17、解：（1）∵1AB k =,AB 的中点坐标为（1,2） ∴直线CD 的方程为：2(1)y x -=--即30x y +-= 。

（2）设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-=-----------------①
又直径
|CD|=
22
(1)40a b ++=--------------------------------------②
①代入②消去a 得24120b b --=，解得6b =或2b =-
当6b =时3a =-，当2b =-时5a =，∴圆心P (-3,6)或P （5,－2） ∴圆P 的方程为：22(3)(6)40x y ++-=或22
(5)(2)40x y -++=。

18、（Ⅰ）由题意：PQ =AB +2H 1A =80+2×40=160（cm ）， PT =AD +2AH +2HM =2AD +2AH =2×50+2×40=180（cm ）． ……………4分 （Ⅱ）∵PT =240，PQ =150，AB 为x （0＜x ＜150）， ∴AH =AH 1=12（TS －AB ）=1
2
（150－x ）． ∵AD = M 1H +EM ，AH =DE ，
∴AD =12（MM 1－2AH ）=12（PT －2AH ）=12[240－（150－x ）]=45+1
2x ， ……………7分
∴纸箱体积V （x ）=12 x （150－x ）（45+12x ）=－14 x 3+15 x 2
+3375x ． ……………8分
V ′(x )=－34
x 2
+30 x +3375．
令V ′(x )=0，x 2
－40x －4500=0，解得：x 1=90，x 2=－50（不合题意，舍去）．……10分
当x ∈（0，90）时，V ′(x )＞0，V （x ）是增函数；
当x ∈（90，150）时，V ′(x )＜0，V （x ）是减函数，
∴当x =90时，V （x ）取到极大值V （90）=243000． ………12分 ∵V （x ）在（0，150）上只有一个极值，所以它是最大值．
∴当纸箱的长AB =90时，纸箱体积最大，最大体积为243000（cm 3
）．…………14分 19、解：（1）设{}n a 的公差为d, ∴411613,15a a d a a d =+=+
又
1134516,,,
b a b a b a ===∴
2315
b b b =
∴()()
2
1
11315a d a a d +=+,∴
2199a d d =.∵
10,d a d
≠=.…………………2分
∴
1,n d a n
==. ………………………………………………………4分
又{}n b 的公比为q, ∴
234
11
4b a q b a =
==,而
n b >，∴0q >，∴2q =，
∴
1
2n n b -=. …………………………………………………………………………6分
(2) ∵
()
01211,222...2212n n m n m m S T -+=
=++++=-
由12m S T =，∴()12
1212m m +=-，∴281900m m +-=.
∴90,91m m ==-(舍)，∴90m =. ……………………………………10分 (3)反证法：假设{}n b 中存在三项,,i j k b b b ()i j k <<组成等差数列，∴2j i k b b b =+
∴1
1
1
22
22
j i k ---⨯=+，（※）∵i j k <<，,j i N k i N **
-∈-∈
∴1
2
21j i k i -+-=+.∵12j i -+是偶数，21k i -+是奇数，∴等式（※）不成立. ∴反设不真. ∴
{}n b 中不存在三项构成等差数列. ………………………………………………16分
20、（Ⅰ）211
()ln 222
F x x x x x =+--，其定义域是(0,)+∞， 11(21)(2)
'()222x x F x x x x
+-=+--=-
． ……………………………2分 令'()0F x =，得2x =，1
2
x =-（舍去）． …………………………………3分
当02x <<时，'()0F x >，函数单调递增； 当2x >时，'()0F x <，函数单调递减；
即函数()F x 的单调区间为(0,2)，(2,)+∞． ……………………………………6分
（Ⅱ）设()()()F x f x g x =-，则(21)(1)
'()2x ax F x x
+-=-， …………………8分
当0a ≤时，'()0F x ≥，()F x 单调递增，()0F x ≤不可能恒成立， ………………10分
当0a >时，令'()0F x =，得1x a =，1
2
x =-（舍去）．
当1
0x a <<时，'()0F x >，函数单调递增；
当1
x a
>时，'()0F x <，函数单调递减， ………………………………………………13分
故()F x 在(0,)+∞上的最大值是1()F a ，依题意1
()0F a
≤恒成立， ………………14分
即11
ln 10a a
+-≤，
又11
()ln 1g a a a =+-单调递减，且(1)0g =，
故11
ln 10a a
+-≤成立的充要条件是1a ≥，
所以a 的取值范围是[1,)+∞． …………………………………………………16分。