高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例学案(含解析)

2．5 平面向量应用举例
[导入新知］
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
(3）把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
（3)动量mv是向量的数乘运算．
（4)功是力F与位移s的数量积．
［化解疑难]
向量法在平面几何中的应用
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向:
（1）几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
平面几何中的垂直问题
[例1］如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点,PE
⊥AB,PF⊥BC，垂足分别为E,F，连接DP,EF，求证：DP⊥EF.
［证明］设正方形ABCD的边长为1，AE＝a（0〈a〈1），
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝错误!a，
∴DP·EF＝(DA＋AP)·（EP＋PF）
＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋错误!a×a×cos 45°＋错误!a×(1－a）
×cos 45°＝－a ＋a 2
＋a （1－a )＝0.
∴DP ⊥EF ，即DP ⊥EF 。

［类题通法]
利用向量解决垂直问题
对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用,可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式．
［活学活用］
如图，在正方形ABCD 中，E ,F 分别为AB ,
BC 的中点．求证：AF ⊥DE （利用向量证明）．
证明：设AB ＝a ，AD ＝b , 则AF ＝a ＋1
2b ,ED ＝b －错误!a ，
∴AF ·ED ＝错误!·错误! ＝错误!b 2
－错误!a 2
＋错误!a ·b .
又∵AB ⊥AD ，且｜AB ｜＝｜AD ｜, ∴a 2
＝b 2,a ·b ＝0，
∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ，即AF ⊥DE .
平面几何中的长度问题
[例2] 已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1）若D 为斜边AB 的中点,求证：CD ＝错误!AB ；
（2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度（用m ，n 表示)． [解] （1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为
x 轴,y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m ),B (n ，0）．
∵D 为AB 的中点， ∴D 错误!，
∴|CD |＝错误!错误!，|AB |＝错误!， ∴|CD ｜＝错误!｜AB ｜，即CD ＝错误!AB 。

(2）∵E 为CD 的中点，∴E 错误!,
设F (x,0），则AE ＝错误!，AF ＝(x ，－m )．
∵A，E，F三点共线,
∴AF＝λAE。

即(x，－m)＝λ错误!.
则错误!故λ＝错误!，即x＝错误!,
∴F错误!。

∴|AF｜＝错误!错误!，即AF＝错误!错误!.
[类题通法]
利用向量法解决长度问题
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化,用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式:若a＝(x，y），则｜a|＝错误!.
[活学活用］
如图,平行四边形ABCD中,已知AD＝1，AB＝2,
对角线BD＝2,求对角线AC的长．
答案：错误!
向量在物理中的应用
［例3］在水流速度为4 3 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶,求这艘船的航行速度的大小与方向．
[解］如图所示，设AB表示水流速度，AC表示船垂直于对岸行驶
的速度，以AB为一边，AC为一对角线作▱ABCD,则AD就是船的航行速
度．
∵|AB|＝4错误!,|AC|＝12，
∴|AD|＝｜BC|＝8错误!，
∴tan∠ACB＝错误!＝错误!，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°。

即船的航行速度为8错误! km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
[类题通法]
利用向量法解决物理问题的步骤
（1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题;
（2）建立以向量为主体的数学模型；
(3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型;
（4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
[活学活用］
已知力F(斜向上）与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0。

02 的水平面上运动了20 m．求力F和摩擦力f所做的功分别为多少．（g取10 m/s2)
答案：F和f所做的功分别为500错误! J和－22 J
，，8。

平面向量中的三角形“四心"问题
[典例］已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC)，λ∈（0,＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
［解析] 由原等式得OP－OA＝λ(AB＋AC）,根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．[答案] 重
［多维探究]
探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即可．上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题，另外与三角形的内心、外心、垂心有关的问题也是各类考试常涉及的问题．
［活学活用］
1．若动点P满足OP＝OA＋λ错误!，λ∈(0,＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案：内
2．若动点P满足OP＝OA＋λ错误!，λ∈(0,＋∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC 的________心．
答案：垂
3．若动点P满足OP＝错误!＋λ错误!，λ∈(0，＋∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案:外
［随堂即时演练]
1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为（ ） A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2
C ．|v 1|－|v 2|
D 。

错误! 答案：B
2。

如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB ＝2,AC ＝3，则AO ·BC 等于（ )
A 。

错误! B.错误! C ．2 D ．3 答案：B
3．若菱形ABCD 的边长为2，则｜AB －CB ＋CD |＝________. 答案：2
4．某物体做斜抛运动，初速度｜v 0｜＝10 m/s ，与水平方向成60°角，不计空气阻力,则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
答案：5
5．已知平行四边形ABCD 中,E ，F 是对角线AC 上的两点,且AE ＝FC ＝错误!AC ，试用向量方法证明四边形DEBF 也是平行四边形．
证明：设AD ＝a ，AB ＝b ，
则DE ＝AE －AD ＝错误!AC －a ＝错误!b －错误!a ，
FB ＝AB －AF ＝b －错误!AC ＝错误!b －错误!a ，
所以DE ＝FB ,且D ，E ,F ,B 四点不共线，所以四边形DEBF 是平行四边形．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若向量1OF ＝（1,1），2OF ＝(－3，－2）分别表示两个力F 1,F 2,则|F 1＋F 2｜为( ） A 。

10 B ．2错误!
C. 5
D.错误! 答案：C
2．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且a 与b 不共线，a ⊥c ，｜
a|＝|c｜，则｜b·c｜的值一定等于( )
A．以a,b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
答案：A
3．两个大小相等的共点力F1,F2，当它们夹角为90°时,合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 2 N
C．20错误! N D．10错误! N
答案:B
4．已知△ABC满足AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是( ）A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案：C
5．△ABC中,D，E,F分别为BC，CA，AB的中点，则AD＋BE＋CF＝（)
A．0 B．0
C．AB D．AC
答案:B
二、填空题
6．平面上有三个点A（－2，y)，B错误!，C(x，y),若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．
答案:y2＝8x
7．已知A，B是圆心为C,半径为5的圆上的两点，且｜AB｜＝错误!，则AC·CB＝________。

答案：－错误!
8．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.
答案：10
三、解答题
9．如图所示，若D是△ABC内的一点,且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证:AD⊥BC。

证明：设AB＝a，AC＝b,AD＝e,
DB＝c，DC＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d）2＝c2＋2e·c－2e·d－d2。

由已知可得a2－b2＝c2－d2,
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·（c－d)＝0。

因为BC＝BD＋DC＝d－c,
所以AD·BC＝e·(d－c）＝0，
所以AD⊥BC，即AD⊥BC.
10．如图，用两根分别长5错误!米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解:如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．
设A处所受力为F a,B处所受力为F b,物体的重力为G,∠EGC＝60°,∠EGD＝45°，
则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G｜＝100，①
且|F a｜sin 45°＝｜F b｜sin 60°。

②
由①②解得|F a｜＝150错误!－50错误!，
∴A处所受力的大小为（150错误!－50错误!） N。

11.如图,平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点,G为BE
与DF的交点．若AB＝a，AD＝b.
（1)试以a，b为基底表示BE，DF；
(2)求证:A，G,C三点共线．
解：(1)BE ＝AE －AB ＝错误!b －a ，
DF ＝AF －AD ＝错误!a －b .
(2)证明：D ，G ，F 三点共线, 则DG ＝λDF ，
AG ＝AD ＋λDF ＝错误!λa ＋(1－λ)b 。

B ，G ，E 三点共线，则BG ＝μBE ，
AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋错误!μb ，
由平面向量基本定理知错误! 解得λ＝μ＝错误!，
∴AG ＝1
3
（a ＋b ）＝错误!AC ，
所以A ，G ，C 三点共线．
攀上山峰，见识险峰,你的人生中,也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。