插值法推导普朗克公式

插值法推导普朗克公式
1. 相图与绝热不变量的几何意义
承接上文，我们已经讲过了绝热不变原理的导出过程，虽然之前我一直都在用
的形式在计算，但是，实际在某些领域我们应用绝热不变原理的时候，还是以
用的比较多，原因当然是“我们大家都爱相空间”啦！
用广义动量p和广义坐标q来表示的话，我们就能更明显的看出绝热不变量的几何意义。

譬如这道题
我们画出它的相图如下
我们可以看出，环路积分
就是相图的面积（相体积）
而我们的绝热不变原理说的
也就是说，浸渐过程中，相空间中的相体积守恒，这个长方形随着时间的演变可以变成这样：
或者这样
但是无论你怎么变，这玩意的体积永远不变。

这就是绝热不变原理的几何意义。

如果你知道刘维尔定理的话，那么就好解释多了，这其实就是单粒子情况下的刘维尔定理——相空间任意区域在运动过程中体积不变。

对于单粒子当然也是成立的。

我们知道，对于一般的保守系统，能量守恒，相图是稳定的，不变的。

用最简单的一维谐振子模型来说明，它的相图是随时间不变的，如下：
如果是一般的耗散过程的话，相图的面积会变小，而且形状也会改变。

但是，我们的绝热不变过程恰好是处于两者之间的一种情况——形状随时间改变，但是面积却不改变。

之所以绝热不变过程会有这么好的性质，本质原因就在于它的“缓变”。

对于非保守系统来说，一般会有“相流”的产生，使得相体积减小。

但是对于绝热不变过程来说，由于相流大小与参数λ的变化率成正比，而
所以相流大小也趋于零，这就造成了绝热不变过程“变中有不变，不变中有变”的奇特现象。

从以上分析，我们也能发现为什么绝热（adiabatic）不变过程，被称作“绝热”不变过程。

它“绝”的不是“热（能量）”——它的能量确实是随时改变的，并不是保守系。

它“绝”的是“相（体积）”。

热学里的绝热过程指的是体系能量守恒，与外界没有热量传递（能流）。

而在绝热不变过程中，我们的体系相体积守恒，与外界没有相体积交换（相流）。

这么类比一下，我们就能理解当时埃伦菲斯特给他的得意之作起这个名字的原因了。

2. 之后的历史
绝热不变原理被发现之后很快就在维也纳物理学家的小圈子里被传开了，但是显然，在当时并不是学术中心的维也纳工作的的学者们，并没有多少学术影响力。

默默无闻的埃伦菲斯特在欧洲各个大学之间游历，宣传他的浸渐不变原理。

终于有一天，他在开往莱顿的火车上，进行了一次“命运的邂逅”。

他正巧与当时名望如日中天的物理泰斗——亨得里克·洛伦兹(Hendrik Lorentz)邻座。

就是在这两天一夜的路途中，埃伦菲斯特对洛伦兹讲述了自己的浸渐不变原理，并得到了洛伦兹的高度评价，并被邀至洛伦兹家中做客。

随后，在“洛伦兹的小聚会”（洛伦兹经常在自己家中举办物理学家的小聚会）上，他对当时的与会者阐述了自己的观点——这其中就包括那些后来闪闪发亮的名字——玻恩、索末菲、普朗克、以及当时还默默无闻的爱因斯坦。

这之后的事情大家就都很熟悉了，普朗克利用内插法建立了物理学史上第一个量子统计公式——黑体辐射公式，随后提出了能量子假说。

爱因斯坦扩展了能量子假说，建立了光量子公式，并且用它解释了光电效应，量子革命由此开始。

对于后世的我们来说，评价埃伦菲斯特的浸渐不变原理的重要性是很难的——我们又不知道当时，其他的物理大牛们到底受了它多少影响。

事实上，可能大牛们自己都不清楚，自己的思想里多少来自他人，多少来自自己。

但是呢。

who care？
讲这段历史最主要的目的，是想表达出一种信息——物理学家们研究问题的方式已经变了。

我们回想牛顿那段时代的历史，物理学的发展永远是靠那几个人类最聪明的大脑的灵光一闪，来取得突破性进展的。

整个学界屹立着牛顿和莱布尼兹两尊大神，其他所有人都不过是陪衬罢了。

他们之间互相从不交流——莱布尼
兹请教牛顿微积分时，牛顿一万个不愿意，最初假装自己手稿丢了，后来实在瞒不下去，竟然用密码写了封回信。

反过来，莱布尼兹也没有把自己那套优越的符号系统介绍给牛顿。

这其实是不利于科学的长远发展的。

而在20世纪，情况发生了变化，物理学的发展，现在是依靠一群智慧的头脑的集思广益。

“洛伦兹的小聚会”恰恰就是这种模式的先声。

无论是后来被称为“巅峰鏖战”的索尔维会议，还是锐意进取，用不到二十年就建立起量子力学大厦的“哥本哈根学派”，无一不是这种模式的获益者。

这种类似座谈会的交流，使得物理学家们的思想相互交织，相互影响，相互作用，最后迸发出丰富多彩的结果。

如此看来，我们就不应该只局限于埃伦菲斯特这个人来评价他的浸渐不变原理，而应该从更宏观的历史角度。

而在这个视角上，我可以很自信的做出评价——埃伦菲斯特的浸渐不变原理，确实的推进了旧量子论的发展进程，加速了旧量子论的诞生。