数列例题(含答案)汇编

1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列
{c n}的前n项和R n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①
再由S4=4S2，得，即d=2a1②
联立①、②得a1=1，d=2．
所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．
所以b1=T1=λ﹣1，
当n≥2时，=．
所以，．
R n=c1+c2+…+c n=③
④
③﹣④得：=
所以；
所以数列{c n}的前n项和．
2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，
解得，
所以a n =3+（n ﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n =2
+n=2n
+n ，
所以b 1+b 2+b 3+…+b 10=（2+1）+（22
+2）+…+（210
+10）=（2+22
+…+210
）+（1+2+…+10）=
+
=2101．
3．已知数列{log 2（a n ﹣1）}（n ∈N *
）为等差数列，且a 1=3，a 3=9．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明
+
+…+
＜1．
【解答】（I ）解：设等差数列{log 2（a n ﹣1）}的公差为d ．
由a 1=3，a 3=9得2（log 22+d ）=log 22+log 28，即d=1．所以log 2（a n ﹣1）=1+（n ﹣1）×1=n ，即a n =2n
+1．（II ）证明：因为
=
=
，
所以++…+=+++…+==1﹣＜1，
即得证．
4．已知{a n }是正数组成的数列，a 1=1，且点（
，a n+1）
（n ∈N *
）在函数y=x 2
+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若列数{b n }满足b 1=1，b n+1=b n +2an
，求证：
b n ?b n+2＜b n+12
．
【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得
a n+1=a n +1、即a n+1﹣a n =1，又a 1=1，
所以数列{a n }是以1为首项，公差为
1的等差数列．
故a n =1+（n ﹣1）×1=n ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n =n 从而b n+1﹣b n =2n
．b n =（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 2﹣b 1）+b 1=2n ﹣1
+2
n ﹣2
+…+2+1
=
∵b n ?b n+2﹣b n+12=（2n ﹣1）（2n+2
﹣1）﹣（
2
n+1
﹣1）
2
=（2
2n+2﹣2n ﹣2
n+2+1）﹣（2
2n+2﹣2?2
n+1
+1）
=﹣2n
＜0 ∴b n ?b n+2＜b n+1
2解法二：
（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b 2=1
b n ?b n+2﹣b n+12=（b n+1﹣2n ）
（b n+1+2n+1
）﹣b n+1
2=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1=2n （b n+1﹣2n+1）=2n （b n +2n ﹣2n+1）=2n （b n ﹣2n ）
=…
=2n
（b 1﹣2）=﹣2n ＜0
∴b n ?b n+2＜b n+1
2
5．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10，a 4﹣a 3=2 （1）求{a n }的通项公式；
（2）设等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 3=a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ．∵a 4﹣a 3=2，所以d=2
∵a 1+a 2=10，所以2a 1+d=10 ∴a 1=4，
∴a n =4+2（n ﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II ）设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 2=a 3=8，b 3=a 7=16，∴
∴q=2，b 1=4 ∴=128，而128=2n+2
∴n=63
∴b 6与数列{a n }中的第63项相等
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5+a 13=34，S 3=9．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；
（2）设数列{b n }的通项公式为
，问：是否存在正整数
t ，使得b 1，b 2，b m （m ≥
3，m ∈N ）成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得
即解得．
故a n=2n﹣1，S n=n2
（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．
移项得：=﹣=，
整理得，
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．
当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．
故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．
7．设{a n}是等差数列，b n=（）an
．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴
b1b3=?==b22．
由b1b2b3=，得b23=，
解得b2=．
代入已知条件
整理得
解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2
∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．
所以，当a1=﹣1，d=2时
a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．
当a1=3，d=﹣2时
a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．
8．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x 2
﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前
n项的和为S n，且S n=1﹣
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．
【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差
∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．
又当n=1时，有b1=S1=1﹣
当
∴数列{b n}是等比数列，
∴
（2）由（Ⅰ）知，
∴
∴c n+1≤c n．
9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．
（Ⅰ）求a n及S n；
（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
因为S5=5a3=35，a5+a7=26，
所以，…（2分）
解得a1=3，d=2，…（4分）
所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；
S n=3n+×2=n 2
+2n．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，
所以b n==…（8分）
=，…（10分）
所以T n=．…（12分）
10．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4?a7=15，a3+a8=8．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=（n≥2），b1=，求数列{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4?a7=15，知：a4，a7是方程x2﹣8x+15=0的两根，且a4＜a7
解得a4=3，a7=5，设数列{a n}的公差为 d
由．
故等差数列{a n}的通项公式为：
（2）
=
又
∴=
11．设f（x）=x 3
，等差数列{a n}中a3=7，a1+a2+a3=12，记S n=，令b n=a n S n，
数列的前n项和为T n．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式和S n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．
解得a1=1，d=3∴a n=3n﹣2
∵f（x）=x3∴S n==a n+1=3n+1．
（Ⅱ）b n=a n S n=（3n﹣2）（3n+1）
∴∴
（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，T m，T n成等比数列．∴即
当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；
当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；
当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；
当m≥7时，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．
12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn 2
﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+．
（Ⅰ）求的q值；
（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，b n满足a n=2log2b n，求数列{b n}的前n和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2
∵{a n}是等差数列，a1符合n≥2时，a n的形式，
∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2，
∴q=0
（Ⅱ）∵，由题意得a3=18
又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4
∴a n=8n﹣6
由a n=2log2b n，得b n=24n﹣3．
∴，即{b n}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{b n}的前n项和．
13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2+a4=14，S7=70．
（Ⅰ）求数列a n的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，数列b n的最小项是第几项，并求出该项的值．
【解答】解：（I）设公差为d，则有…（2分）
解得以a n=3n﹣2．…（4分）
（II）…（6分）所以=﹣1…（10分）
当且仅当，即n=4时取等号，
故数列{b n}的最小项是第4项，该项的值为23．…（12分）
14．己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12
﹣a n+1a n﹣2a n2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的
等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）若b n=a n a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，
∵数列{a n}的各项均为正数，
∴a n+1+a n＞0，
∴a n+1﹣2a n=0，
即a n+1=2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，
∴2a1+8a1=8a1+4，
∴a1=2，
∴数列{a n}的通项公式a n=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n=得，b n=﹣n?2n，
∵S n=b1+b2++b n，
∴S n=﹣2﹣2?22﹣3?23﹣4?24﹣﹣n?2n①
∴2S n=﹣22﹣2?23﹣3?24﹣4?25﹣﹣（n﹣1）?2n﹣n?2n+1②
①﹣②得，S n=2+22
+2
3
+2
4
+2
5
++2
n
﹣n?2n+1
=，
要使S n+n?2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，
∴使S n+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），
两式相减得a n+1﹣a n=2a n，
a n+1=3a n（n≥2）．
又a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1．
故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以a n=3n﹣1．
由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．
则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则b n=1+（n﹣1）?2=2n﹣1
（Ⅱ）因为，所以．则，
两式相减得：．
所以=．。