北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷(无答案)

人大附中2024-2025学年度第一学期期中初二年级数学练习
2024年11月6日
说明：本练习共三道大题，28道小题，共6页；满分100分，时间90分钟；请在密封线内填写个人信息，请将答案全部作答在答题纸相应的位置上。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1.若式子有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.2.下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.长方形
D.正五边形3.在下列运算中，正确的是（ ）
A. B.C. D.4.一个等腰三角形有一个角为30°，则它的底角的度数是（ ）
A.30°
B.75°
C.30°或75°
D.30°或65°5.如图，在中，，，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，且，则的度数是（ ）A.40°
B.70°
C.75°
D.80°6.已知，那么代数式值是（ ）
A.14
B.15
C.16
D.17
7.如图，点D 为的边AB 上一点，点A 关于直线CD 对称的点E 恰好在线段BC 上，连接DE ，若，，，则的周长是（
）
()0
4x +4x ≠-4x =-4x ≠4x =235x x x x
⋅⋅=23x x x +=()235x x =()2326
416xy x y -=ABC △90B ∠=︒50A ∠=︒CD CE =CED
∠230x x +-=()()2225x x x -+++ABC △10AB =4AC =9BC =BDE △
A.13
B.15
C.17
D.不能确定
8.如右图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形，将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的恒等式为（ ）
A. B.C. D.9.如图，AD 是的角平分线，且，，那么的度数是（ ）
A.26°
B.27°
C.28°
D.30°
10.已知实数a ，b
满足
，则的值是（ ）A.65 B.105 C.115 D.2025
二、填空题（每空2分，共18分）
11.在平面直角坐标系中，点关于x 轴对称的点的坐标为________.
12.已知等腰三角形有两条边的长度分别为5，8，则该三角形的周长为________.
13.计算：________.14.如图，BD 是的角平分线，点D 是边AC 一点，且满足，若，，
则________.()a b >()2222a b a ab b -=-+()222
2a b a ab b +=++()()22a b a b a b -=+-()
2a ab a a b +=+ABC △AB BD AC +=40BAC B ∠=∠+︒C ∠()()21222a b a b -+=-2234101220241a b a b ++-+()2,1A 20232024122⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭
ABC △BE ED =40A ∠=︒110C ∠=︒EDB ∠=
15.定义新运算：，则方程的解为_________.
16.如图，，点P 在的平分线上，于点C ，点D 在边OB 上，且.则线段OC 的长度为_________.
17.如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C 的坐标为________.
18.若，，则的值为________.
19.如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点A 为x 轴正半轴上一点，点B 位于第一象限内且在直线上，，，过点B 作直线a 垂直于x 轴，点C ，D 在直线a 上（点D 在点C 上方），且，若线段CD 关于直线对称的线段EF 与坐标轴有交点，则点C 的纵坐标m 的取值范围是
________.
*a b ab b =-()21*8x x +=60AOB ∠=︒AOB ∠PC OA ⊥8OD DP ==()1,1A -()2,2B ABC △90B ∠=︒7x y -=2y z +=-()2x yz x z y -+-l l 2OB =30AOB ∠=︒1CD =l
三、解答题（20-21题每小题4分，22-23题每题4分，24题5分，25题4分，26题5分，27-28题每题7分，共52分）
20.计算：（1）；（2）.
21.分解因式：（1）；（2）.22.先化简，再求值：，其中，.23.如图，在中，D 为BC 的中点，，，垂足分别为E ，F ，且，连接AD ，求证：AD 是的角平分线.
24.小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形.
下面是小兵设计的尺规作图过程.
作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交线段BC 于另一点D ；
②作线段CD 的垂直平分线，直线交线段AC 于点E ；
③连接AD ，DE ，则，，即为所求的等腰三角形.
根据小兵设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：由作图可知
，①
()()53212a a a a -+-÷()()()2332x y x y x y +-++22
363ax axy ay -+()()2244a x b x -+-()()()()22223x x x x x y x y y ⎡⎤+--+-+÷⎣⎦
3x =-2y =ABC △DE AB ⊥DF AC ⊥BE CF =ABC △ABC △3B C ∠=∠ABC △l l ABD △ADE △CDE △AB AD =
∴________.
∵，
∴.
∵直线为线段CD 的垂直平分线，
∴（__________）（填推理的依据）.②
∴.
∴∵，
∴.
∴.
∴（__________）（填推理的依据）.③
由①②③得：，，均为等腰三角形.
25.已知实数a 、b 满足，，
（1）求代数式值；
（2）求代数式的值.
26.如图，在中，直线MN 是边AB 的垂直平分线，点D 是直线MN 上一点，连接AD ，CD ，满足，求证：CD 为的外角的角平分线.
27.对于一个正整数n ，若存在正整数k ，使得n 能表示为k 和的平方差，那么称这个正整数n 为k 系平方差数.例如：，则20为6系平方差数.
（1）直接写出10系平方差数.
（2）已知为k 系平方差数，求M 的值.
（3）已知a ，b 为正整数，，且为k 系平方差数.
①直接写出a 与b 之间的数量关系；
②若是m 系平方差数，请判断是否为平方差数.若是请直接写出是_______系平方差数（用含m 的代数式来表示）；若不是请写出理由；
28.在中，，，D 点是边AB 上一点，E 为边AC 上一点，连接CD ，DE .
（1）如图1，，点D 为AB 中点，，，直接写出EC 的长，
（2）如图2，，，，连接BE 交CD 于点F ，延长FE 至P ，使
得B ∠=∠3B C ∠=∠3ADB C ∠=∠l CE DE =C CDE ∠=∠2AED C CDE C
∠=∠+∠=∠3ADB C CAD C ∠=∠+∠=∠2CAD ADB C C ∠=∠-∠=∠AED CAD ∠=∠AD DE =ABD △ADE △CDE △6a b +=4ab =22a b +()23a b a b ab -+ABC △2ACB ADM ∠=∠ABC △ACP ∠2k -222064=-()()()23234126M k k k k =+---+a b >()()
222336a b b ab +-+-11a b ++20242022a b -ABC △AB AC =BAC α∠=60α=︒8AB =DE AC ⊥60α=︒3AB BD =DE AC ⊥
，连接AP ，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AP ，BP ，CF 之间的数量关系，并证明，
（3）如图3，点E 为定点，，连接BE ，点M 为线段BE 上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）
.PF CF =CBE β∠=BM AD =AM CD +BDC ∠αβ。