北京市海淀区八一学校2020-2021学年九年级上学期数学10月月考试卷

北京市海淀区八一学校2020-2021学年九年级上学期数学10月月考试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）
A. m≠1
B. m＝1
C. m≥1
D. m≠0
2.抛物线的顶点坐标为（）
A. （-1，2）
B. （1，2）
C. （1，-2）
D. （2，1）
3.已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（）
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 0或﹣1
4.关于的一元二次方程有实数根，则（）
A. ＜0
B. ＞0
C. ≥0
D. ≤0
5.将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）
A. y＝2x2+3
B. y＝2x2﹣3
C. y＝2（x﹣3）2
D. y＝2（x+3）2
6.将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（）
A. B. C. D.
7.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）
A. y=60（300+20x）
B. y=（60﹣x）（300+20x）
C. y=300（60﹣20x）
D. y=（60﹣x）（300﹣20x）
8.下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+mx+n与x轴交于A，B两点．若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点
A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）
A. ﹣1
B. ﹣3
C. ﹣5
D. ﹣7
二、填空题（共6题；共6分）
11.抛物线经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为________．
12.以﹣1为一根的一元二次方程可为________（写一个即可）．
13.已知代数式的值是7，则代数式的值是________．
14.若二次函数的图象上有两点, 则________ .（填“>”，“=”或“<”）
15.正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为________ ．
16.如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若抛物线y＝（x ﹣h）2与正方形OBCD的边共有2个公共点，则h的取值范围是________．
三、解答题（共8题；共77分）
17.解方程：
（1）x2＝4x﹣3；
（2）3x2﹣5x+1＝0．
18.已知抛物线的对称轴为，是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．
19.已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
20.二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当y＞0时，x的取值范围是________．
21.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是▲（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是▲，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
22.探究函数的图象与性质．
小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补
充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -8 -3 0 m n 1 3 …
请直接写出：m=________，n=________；
（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程有三个不同的解，记为x1, x2, x3，且x1< x2<x3.
请直接写出x1+ x2+x3的取值范围.
23.在平面直角坐标系．xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＜4，都有y1＞y2，求t的取值范围．
24.已知：四边形ABCD中，，，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，且BD平分∠ABC，过点A作，垂足为H.
（1）求证：；
（2）判断线段BH，DH，BC之间的数量关系；并证明.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】直线x=1
12.【答案】x2+x＝0（答案不唯一）
13.【答案】4
14.【答案】<
15.【答案】y=x2+6x
16.【答案】﹣1＜h≤0或1≤h＜2
三、解答题
17.【答案】（1）解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝1，x2＝3；
（2）解：∵△＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13，
∴x＝＝，
所以x1＝，x2＝．
18.【答案】解：因为的对称轴为，
所以．解得．
又因为是抛物线上一点，
所以．
解得．
所以抛物线的解析式为．
19.【答案】（1）解：∵关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，且a≠0，
即22﹣4a•（﹣3）＞0，且a≠0，
∴a＞﹣且a≠0；
（2）解：将x＝1代入方程ax2+2x﹣3＝0，
解得：a＝1，
把a＝1代入ax2+2x﹣3＝0，得x2+2x﹣3＝0，
解方程得，x1＝1，x2＝﹣3，
∴a的值为1，方程的另一个实数根为﹣3．
20.【答案】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，-3）代入y＝a（x+1）2﹣4得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）解：如图所示：
（3）x＜﹣3或x＞1
21.【答案】（1）方案1；B（5，0）解：设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
方案2;B（10，0）；解：设抛物线的解析式为：．
由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：
；
方案3;B（5，）；解：由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．
设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5，），代入解析式可得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：方案1：由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的
高度为3.2m．
方案2：由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案3：由题意：把代入解得：= ，∴水面上涨的高度为
3.2m．
22.【答案】（1）1；0
（2）解：如图：
（3）解：∵y=a与函数图象的交点横坐标即是x1、x2、x3的值，
且x1< x2<x3.
由图观察可得0<x1<1, 1<x2<2, 2<x3<1+ ,
∴
23.【答案】（1）解：由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）解：①当x2≤t时，恒成立．
②当t≤x1＜x2时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，
∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＜4，都有y1＞y2，
当x1+x2＝4，且y1＝y2时，对称轴x＝2，
∴满足条件的值为：t≥2．
24.【答案】（1）证明：∵，∴是等边三角形. ，
.∵，BD平分，.
，∵，，
（2）结论：；证明:在HD上截取，如下图，
∵，，∵，∴，，
，，∵，，∴，，∵，.。