高考数学大二轮复习第二部分专题1三角函数与解三角形增分强化练(十二)理

增分强化练(十二)
一、选择题
1．(2019·葫芦岛质检)已知cos x ＝3
4，则cos 2x ＝( )
A ．－1
4
B.14 C ．－18
D.18
解析：由cos x ＝34得cos 2x ＝2cos 2
x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，故选D.
答案：D
2．(2019·桂林、崇左模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则sin 2θ＝( )
A.1
3 B.3
10
C.35
D.45
解析：由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，∴1＋tan θ1－tan θ＝2， ∴tan θ＝1
3
.
当θ在第一象限时，sin θ＝
1010，cos θ＝31010
， ∴sin 2θ＝2×
1010×31010＝35
. 当θ在第三象限时，sin θ＝－1010，cos θ＝－31010，∴sin 2θ＝2×－1010×－310
10
＝3
5.故选C. 答案：C
3．已知sin α＝－45，且α是第四象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.52
10 B.32
5 C.72
10
D.42
5
解析：由同角三角函数基本关系可得：cos α＝1－sin 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35
，
结合两角差的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210.故选C. 答案：C
4．(2019·新余模拟)若sin x ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2，则sin x cos(π＋x )＝( ) A.3
10 B ．－310
C.34
D ．－34
解析：∵sin x ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2，
∴sin x ＝－3cos x ，即tan x ＝－3，
又∵sin x ·cos(π＋x )＝sin x ·(－cos x )＝－sin x ·cos x ， ∴－sin x ·cos x ＝－sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x ＝－tan x tan 2x ＋1＝－(－3)(－3)2
＋1＝3
10，故选A. 答案：A
5．(2019·泰安模拟)函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2
x 的最小正周期为( ) A ．4π B ．3π C ．2π
D ．π
解析：函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2
x ＝12sin 2x ＋3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32，最
小正周期为2π
2＝π，故选D.
答案：D
6．(2019·淮南模拟)在△ABC 中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且a cos B ＋b cos
A ＝2cos C ，c ＝1，则角C ＝( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：因为c ＝1，故a cos B ＋b cos A ＝2cos C ＝2c cos C ， 由正弦定理可以得到sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 故sin C ＝2sin C cos C ，因C ∈(0，π)，所以sin C >0， 故cos C ＝12，因C ∈(0，π)，故C ＝π
3，故选B.
答案：B
7．(2019·汕头模拟)函数f (x )＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos(π－x )的单调增区间为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析：因为f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos(π－x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6，
由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π3＋2k π≤x ≤2π
3＋2k π，k ∈Z ，
即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z.
故选C. 答案：C
8．(2019·济宁模拟)将函数f (x )＝sin x cos x 的图象向右平移π
6个单位长度后得到函数g (x )
的图象，若对于任意x ∈R 都有g (θ＋x )＝g (θ－x )，则tan 2θ＝( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－
33
D.33
解析：由f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 的图象向右平移π
6个单位长度，
得g (x )＝12sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.
又因为g (θ＋x )＝g (θ－x )，所以g (x )的图象关于x ＝θ对称， 令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π
2，k ∈Z ，
所以θ＝5π12＋k π
2，k ∈Z ，
故tan 2θ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋k π2＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6＋k π＝tan 5π6＝－33.
故选C. 答案：C
9．已知f (x )＝4cos x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列说法中错误的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期为π
B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π12上单调递减
C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫7π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心
解析：f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2cos 2
x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以T ＝2π2＝π，
故A 正确；
当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π12时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因t ＝2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12为增函数，y ＝2cos t ＋1
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π12上为减函数，故B 正确；函数f (x )的图象可以由
函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到，而函数y
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的图象，故C 错误；令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，故⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，1为f (x )图象的一个对称中心，故D 正确；故选C. 答案：C
10．(2019·葫芦岛质检)△ABC 的周长为10＋27，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则△ABC 的面积为( ) A ．6 3 B ．47 C ．87
D ．12
解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 于是可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k (k ＞0)，
由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋7k 2－9k 22×2k ·7k ＝714
，∴sin B ＝1－cos 2
B ＝32114.
又2k ＋3k ＋7k ＝10＋27，∴k ＝2，即a ＝4，c ＝27，
由面积公式S △ABC ＝12ac sin B ，得12×4×27·321
14
＝63， △ABC 的面积为6 3.故选A.
答案：A
11．(2019·威海模拟)在△ABC 中，AC ＝3，向量AB →在AC →
上的投影的数量为－2，S △ABC ＝3，则
BC ＝( )
A ．5
B ．27 C.29
D ．4 2
解析：∵向量AB →在AC →
上的投影的数量为－2， ∴|AB →
|cos A ＝－2.① ∵S △ABC ＝3，
∴12|AB →||AC →|sin A ＝32|AB →
|sin A ＝3， ∴|AB →
|sin A ＝2.② 由①②得tan A ＝－1， ∵A 为△ABC 的内角， ∴A ＝3π4
，
∴|AB →|＝2sin
3π4
＝2 2.
在△ABC 中，由余弦定理得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2·AB ·AC ·cos 3π4
＝(22)2＋32
－2×22×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22＝29，∴BC ＝29.故选C. 答案：C
12．(2019·呼和浩特模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，把函数f (x )的图象向右平移
π
6个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g (x )的图
象，当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程g (x )－k ＝0恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )
A ．[1,3]
B ．[1,2)
C ．(－2,0)∪(0,2)
D ．[3,2)
解析：由题意，根据辅助角公式，可得函数
f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3
，
把函数f (x )的图象向右平移
π6个单位长度，得到f 1(x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6，
再把函数f 1(x )图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，
令π6≤2x ＋π6≤π2，解得0≤x ≤π6，即函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，
令π2≤2x ＋π6≤7π6，解得π6≤x ≤π2，即函数g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π2上单调递减，
且g (0)＝2sin π6＝1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，g (π2)＝2sin 7π6＝－1，要使得方程g (x )－k ＝0恰
好有两个不同的实数根，即y ＝g (x )与y ＝k 有两个不同的交点，结合图象，可得实数k 的取值范围是1≤k <2，即[1,2)． 答案：B 二、填空题
13．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.
解析：因为sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45，tan α＝－3
4，
因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝
1＋tan α1－tan α
＝1－
3
41＋34＝17.
答案：17
14．(2019·南昌模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝－34，则sin α＝________. 解析：将sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝－34化简，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤22·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22·⎝
⎛⎭⎪⎫cos α
2－sin α2＝－34， 即12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝－34，即⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α
2－cos α22＝32，
即sin
2
α2＋cos 2α
2－2·cos α2·sin α2＝32
， 利用二倍角公式可得，sin α＝－1
2
.
答案：－1
2
15．(2019·开封模拟)已知在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠ABC ＝2π
3
，则该三角形的面积是________．
解析：由题得49＝a 2
＋25－2·a ·5·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，
所以a ＝3，
所以三角形的面积为12×3×5·sin 2π3＝153
4.
答案：153
4
16．(2019·合肥模拟)在锐角△ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________．
解析：设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ＝2，对sin B ＋sin C ＝2sin A 运用正弦定理，得到b ＋c ＝
2a ＝4，解得c ＝4－b ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＋
c 2＝b 2＋(4－b )2
>4c 2
＋4＝(4－b )2＋4>b
2
b 2＋4>
c 2＝(4－b )2
，
解得32<b <5
2
，
故bc ＝b (4－b )＝－b 2
＋4b ，结合二次函数性质，得到154<bc ≤4，运用向量得到AD →＝12(AB →＋AC →)，
所以|AD →|＝
1
2AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →
·cos θ
＝12b 2
＋c 2
＋2bc ·b 2＋c 2－42bc ＝12
2b 2＋2c 2
－4
＝
1228－4bc ，结合bc 的范围，代入，得到|AD →|的范围为⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤3，132. 答案：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤3，132 三、解答题
17．(2019·兰州模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若cos 2
B －sin 2
A －sin A sin
B ＝cos 2
C . (1)求角C 的大小；
(2)若A ＝π
6，△ABC 的面积为3，M 为BC 的中点，求AM .
解析：(1)由cos 2
B －sin 2
A －sin A sin
B ＝cos 2
C ，
得sin 2A ＋sin A sin B ＝sin 2C －sin 2
B ，
由正弦定理，得c 2
－b 2
＝a 2
＋ab ，即a 2
＋b 2
－c 2
＝－ab ，
所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－1
2
.
又0<C <π，则C ＝2π
3.
(2)因为A ＝π6，所以B ＝π
6
.
所以△ABC 为等腰三角形，且顶角C ＝2π
3.
因为S △ABC ＝12ab sin C ＝3
4ab ＝3，
所以a ＝2.
在△MAC 中，AC ＝2，CM ＝1，C ＝2π
3
，
所以AM 2＝AC 2＋CM 2
－2AC ·CM ·cos C ＝4＋1＋2×2×1×12＝7，
解得AM ＝7.
18．(2019·泰安模拟)已知函数f (x )＝cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－14，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝1
2，c ＝2，且AB →·AC →＝32，求a
的值．
解析：(1)f (x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －1
4
＝
12()cos 2
x ＋3cos x sin x －14
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2＋32sin 2x －14 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6，
由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)f (A )＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1，
∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，136π，
∴2A ＋π6＝π2，
即A ＝π6
.
又AB →·AC →＝2b cos π6＝32，
∴b ＝
32
， ∴a 2
＝4＋34－2×2×32×32＝74，
∴a ＝72
.。