浙江省绍兴市重点中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

浙江省绍兴市重点中学2025届高三下学期一模考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，圆锥底面半径为2，体积为223
π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）
A ．12
B ．1
C ．104
D 5 2．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3．设复数z ＝213i i -+，则|z |＝（ ） A ．13 B ．23 C ．12 D ．22
4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===30.866≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．2π
D ．23
π 5．直线20(0)ax by ab ab +=>与圆221x y +=的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交或相切
6．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）
A ．43i +
B ．43i -
C ．43i -+
D ．43i --
7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.
若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．3⎛ ⎝⎭
C ．5⎛ ⎝⎭
D ．6⎛ ⎝⎭
8．已知函数()32,0log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则
3=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A 2 B ．12
C ．3log 2-
D ．3log 2 9．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ）
A 2
B ．98
C ．1
D ．78
10．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥
C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥
11．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x
⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >- B ．{}22x x -<< C ．{}22x x -≤< D ．{}
2x x <
12．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x x
x
a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3
π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）
A ．85[,)52
B ．75
[,)42 C ．57
[,)34 D ．7
(,2]4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在
ABC 中，B 、C
的坐标分别为()-，()，且满足sin sin B C A -=
，O 为坐标原点，若点P 的坐标为()4,0，则AO AP ⋅的取值范围为__________. 14．若满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数2z y x =-的最大值为______.
15．已知F 为双曲线22
22:1x y C a b
-=
(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，且||||FD OF =（O 为坐标原点），则C 的离心率为________. 16．某学习小组有4名男生和3名女生.若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为___________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知点P 是抛物线21:34
C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1
D 是否在直线AB 上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.
18．（12分）已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q .
（1）求证：PF QF ⊥.
（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k .
附：多项式因式分解公式：()()
622424351141t t t t t t ---=+--
19．（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[)[)[)[)[]9101011111212131314
，，，，，，，，五个小组（所调查的芯片得分均在[]914，内），得到如图所示的频率分布
直方图，其中018a b -=．．
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。

若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
20．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=．
（1）求B ；
（2）若4b =，求ABC 的面积的最大值．
21．（12分）在平面直角坐标系
中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点． （I ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II ）设，若，，成等比数列，求的值．
22．（10分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤
器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1：一级滤芯更换频数分布表 一级滤芯更换的个数
8 9 频数 60 40
图2：二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望；
（3）记,m n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若19m n +=，且{}8,9m ∈，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定,m n 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离.
【详解】
将抛物线放入坐标系，如图所示，
∵2PO =，1OE =，2OC OD == ∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点，
可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，
12EF =，1PE =，∴5PF =故选：D
【点睛】
本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.
2、D
【解析】
X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.
3、D
【解析】
先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长.
【详解】
解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710
i --＝﹣110﹣710i , 则|z |22171010⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50100122. 故选：D .
【点睛】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
4、A
【解析】
由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667
θ=
=．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】
解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=．
则 5.196sin 0.8667θ==≈． 3π
θ∴=，223
πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．
则2αθπ+=，
3π
α∴=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5、D
【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．
【详解】
解：由题意，圆22
1x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，
∵圆心到直线的距离为d =
222a b ab +≥，
1d ∴≤，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
6、A
【解析】
利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解.
【详解】
由34zi i =+，则3434431
i i z i i +-=
==--， 所以z =43i +.
故选：A
【点睛】
本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.
7、B
【解析】
由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.
【详解】
()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，
(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，
又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，
()f x ∴为周期为2的偶函数，
当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，
当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，
当2
[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，
作出(),()f x g x 图像，如下图所示：
函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，
则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， ()0f x ≤，若1a >，
()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，
所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，
则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，
221133,,01,033
a a a a ∴><<<∴<<. 故选:B.
【点睛】
本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 8、A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得33f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
的值，再求得
33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】
依题意1233331log log 3332f -⎛===- ⎝⎭，123122322f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
9、B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
求出sin sin A C +的最大值； 【详解】
解：因为cos sin a A b A =，
所以sin cos sin sin A A B A =
因为sin 0A ≠
所以cos sin A B = 2B π>
2A B π∴=-
02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝
⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos 2B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭
sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
cos cos2B B =--
22cos cos 1B B =--+
2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭ 1cos 4B ⎛⎫∴=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时()max 9sin sin 8A C += 故选：B
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
10、C
【解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】
对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；
对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误； 对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.
故选：C .
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
11、C
【解析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.
【详解】 解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
12、B
【解析】 先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=+
+ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+
=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】
解： ()22cos
cos 12x f x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=+
+ 令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω
=
+∈，(0)2f =， 又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542
ω≤<． 故选：B ．
【点睛】
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据
自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、()12,+∞
【解析】
由正弦定理可得点A 在曲线22
1,244
x y x -=<-上，设(),A x y ，则224AO AP x x y ⋅=-+，将224y x =-代入可得()2216AO x AP ⋅-=-，利用二次函数的性质可得范围.
【详解】
解：由正弦定理得422
AC AB BC -==⨯=<， 则点A 在曲线22
1,244
x y x -=<-上， 设(),A x y ，则22
1,244
x y x -=<-， ()()224.4,AO AP x y x y y x x --⋅=⋅--=-+，
又22
4y x =-， ()22
242641AO x AP x x x ∴⋅=--=--+，
因为2x <-，则()2221612AO AP ⋅>⨯---=，
即AO AP ⋅的取值范围为()12,+∞.
故答案为：()12,+∞.
【点睛】
本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.
14、-1
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
作出可行域如图，
化目标函数2z y x =-为2y x z =+，
由图可得，当直线2y x z =+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，
由2x y x y +=⎧⎨=⎩得11
x y =⎧⎨=⎩即()11B ，，则z 有最大值121z =-=-， 故答案为1-．
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15、2
【解析】
求出焦点到渐近线的距离就可得到,,a b c 的等式，从而可求得离心率．
【详解】
由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为b y x a =
，即0bx ay -=， ∴ 22bc FD b b a =
=+，由3|||FD OF =得3b =， ∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2c e a
==． 故答案为：2.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于,,a b c 的等式．
16、47
【解析】
从7人中选出2人则总数有27C ，符合条件数有11
43C C ⋅，后者除以前者即得结果
【详解】
从7人中随机选出2人的总数有2721C =，则记选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为事件A ， ∴114327124()217C C P A C ⋅=== 故答案为：
47
【点睛】 组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）不在，证明见详解；（2
）
18 【解析】
（1）假设直线方程y kx b =+，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算4PA PB ⋅=-，可得1b =-，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段,PA PB 中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M 的轨迹方程22y x =，然后可得焦点F ，结合抛物线定义可得18MN d NF -≤+
，计算可得结果. 【详解】
（1）设直线方程y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y
根据题意可知直线斜率一定存在，()0,3P - 则()224430134y kx b x kx b y x =+⎧⎪⇒--+=⎨=-⎪⎩
()121243,4x x b x x k =-++=
()2
41648k b ∆=-++ ()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+
则()()121233PA PB x x y y ⋅=+++
()12121239PA PB x x y y y y ⋅=++++
()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++
()1212122y y kx b kx b k x x b +=+++=++
()()()2212121369PA PB k x x k kb x x b b ⋅=+++++++
由4PA PB ⋅=-
所以()
()()22121213694k x x k kb x x b b +++++++=- 将()121243,4x x b x x k =-++=代入上式
化简可得2210b b ++=，所以1b =-
则直线方程为1y kx =-，
所以直线过定点()0,1-，()2
416480k b ∆=-++> 所以可知点()0,1D 不在直线上.
（2）设(),M M M x y
线段PA 的中点为113,22x y E -⎛⎫ ⎪⎝⎭
线段PB 的中点为223,2
2x y G -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则直线PA 的斜率为113PA y k x +=
， 直线PB 的斜率为22
3PB y k x += 可知线段PA 的中垂线的方程为11113232y x x y x y -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭
由211134
y x =-，所以上式化简为2121418x y x x =-+- 即线段PA 的中垂线的方程为2121418
x y x x =-+- 同理可得：
线段PB 的中垂线的方程为2222418
x y x x =-+- 则()2212122222211212214183248
1832M M x x x x x y x x x x x x x x y x y x ⎧⎧+=-+-⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨++-⎪⎪=-+-=⎪⎪⎩⎩
由（1）可知：()12124,438x x k x x b +==-+=-
所以()12122221212322832M M M
M x x x x x x k y k x x x x y ⎧+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=++-⎩⎪=⎪⎩
即()2,2M k k ，所以点M 轨迹方程为22y x
= 焦点为10,8F ⎛
⎫
⎪⎝
⎭， 所以1188
MN d MN MF MN MF ⎛⎫-=--=-+
⎪⎝⎭ 当,,M N F 三点共线时，MN d -有最大
所以111888
MN d MN MF NF -=-+
≤+= 【点睛】 本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b ，第（2）问中关键在于得到点M 的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
18、（1）证明见解析（2
）【解析】
（1）由2
212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()222214220k x ktx t +++-=令0∆=可得2221t k =+，进而得到21,k P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理(2,2)Q k t +，利用数量积坐标计算FP FQ ⋅即可；
（2）31222PQF t S k t
∆=
+-，分0k ≥，k 0<两种情况讨论即可. 【详解】 （1）证明：点F 的坐标为(1
0)，. 联立方程2
212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-=
有()()222216421220k t k t ∆=-+-=，可得2221t k =+，2222221kt kt k x k t t
=-=-=-+，222212121k t t y t k k t
=-+==++. 可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，
21211,,k k t FP t t t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2)FQ k t =+. 有220k t k t FP FQ t t
++⋅=-+=, 故有PF QF ⊥.
（2）若点P 在x 轴上方，因为2221t k =+，所以有1t ≥，
由（1）知2222222(2)1(2)1(2)1||||(2)k t k t k t FP FQ k t +++++=+===+；222221(2)1441(22)41||||2222PQF k t k kt t t kt t S FP FQ t t t
∆+++++-+++=⋅=== 2341312222t kt t k t t
+-==+-
①因为0k ≥时.由（1
）知k =
3122PQF t S t ∆=
由函数31()(1)22t f t t t
=-≥单调递增，可得此时(1)1PQF S f ∆≥=. ②当k 0<时，由（1
）知3122PQF t k S t
∆==- 令
222313131()(1),()22222t t g t t g t t t t '+=-≥=+=-
由()()()()()22
2222262262222444423131183123512414141t t t t t t t t t t t t t t t t ++--⎛⎫+----=-== ⎪---⎝⎭ ()(
)(
)()
44222224221(2(21414(1)41t t t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+---+--⎣⎦⎣⎦==--
，故当t > '()0g t >，此时函数()g t
单调递增：当1t ≤<()0g t '＜，此时函数g()t 单
调递减，又由(1)1g =，故函数()g t
的最小值1g <，函数()g t
取最小值时
2212k +=+
k =由①②知，若点P 在x 轴上方，当PQF ∆的面积最小时，直线m
的斜率为【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.
19、（1）1157．（2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析
【解析】
（1）先求出025007a b ==．，．，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求
出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.
【详解】
（1）依题意，()00503502811a b ++++⨯=．．．，故032a b +=．．
又因为018a b -=．．所以025007a b ==．，
．， 所求平均数为95005105025115035125028135007⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．．．．．．．．．．
04752625 4.0253509451157=++++=．．．．．（万分）
（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率002800707P =+=．．．．．
设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 的可能取值为600，900，1200，1500，
()()232600030099000707030307030469P X P X =====+⨯+⨯⨯=．．，．．．．．．．，
()()121233120003070301323150003070703087P X C P X C ==⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=．．．．，．．.．，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
()6000099000469120001323150003087109791E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．（元），
因为100109791100000⨯>．，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、（1）23B π=
（2 【解析】
(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得1cos 2B =-
,即可求得B ; (2)由余弦定理借助基本不等式可求得163ac ≤
,即可求出ABC 的面积的最大值. 【详解】
（1）(2)cos cos 0a c B b A ++=，(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ∴++=，
所以(sin cos sin cos )2sin cos 0A B B A C B ++=，
所以sin()2cos sin 0A B B C ++=，
sin()sin A B C +=，1cos 2
B ∴=-， 0B π<<，23
B ∴=π． （2）由余弦定理得222122b a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭
.22163a c ac ac ++=≥， 16
3ac ∴≤，当且仅当a c ==时取等，
1116sin 223ABC
S ac B ∴=≤⨯=
所以ABC的面积的最大值为43 3
.
【点睛】
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积的最值问题,难度较易.
21、（I），；（II）.
【解析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得即
可得
即
解得
【点睛】
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
22、（1）0.024；（2）分布列见解析，
52
5
EX=；（3）8,11
m n
==
【解析】
（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条
形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；
（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而X 的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到X 的分布列及数学期望；
（3）由19m n +=，且{}8,9m ∈，可知若8m =，则11n =，或若9m =，则10n =，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.
【详解】
（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A ，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以
()0.60.20.20.024P A =⨯⨯=.
（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意X 的可能取值为8，9，10，11，12，
从而(8)0.20.20.04,(9)20.20.40.16P X P X ==⨯===⨯⨯=，
(10)20.20.40.40.40.32,(11)20.40.40.32P X P X ==⨯⨯+⨯===⨯⨯=，
(12)0.40.40.16P X ==⨯=.
所以X 的分布列为
80.0490.16100.32110.32120.1610.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）.
或用分数表示也可以为
8910111225252525255
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）. （3）解法一：记Y 表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）
因为19m n +=，且{}8,9m ∈，
1°若8m =，则11n =，
116084000.480112000.162352EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；
2°若9m =，则10n =，
2160980102000.324000.162368EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.
因为12EY EY <，故选择方案：8,11m n ==.
解法二：记,ηξ分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元） 1°若8m =，则11n =，
,ηξ的分布列为
该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为
1112800.616800.48800.8410800.162352E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；
2°若9m =，则10n =，
2ξ的分布列为
2216098000.5210000.3212000.162368E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.
因为1122E E E E ηξηξ+<+
所以选择方案：8,11m n ==.
【点睛】
此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.。