广东省佛山市顺德华侨中学2020年高三数学文测试题含解析

广东省佛山市顺德华侨中学2020年高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若数列{a n}的前n项和为S n=kn2+n，且a10=39，则a100=（）
A．200 B．199 C．299 D．399
参考答案：
D
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】由S n=kn2+n，可得n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2kn﹣k+1，利用a10=39，解得k=2．即可得出．
【解答】解：∵S n=kn2+n，
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1，
∵a10=39，∴20k﹣k+1=39，解得k=2．
∴a n=4n﹣1
则a100=400﹣1=399．
故选：D
【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2. 设非空集合M、N满足：M={x|f（x）=0}，N={x|g（x）=0}，P={x|f（x）g（x）=0}，则集合P恒满足的关系为（）
A．P=M∪N B．P?（M∪N）C．P≠? D．P=?
参考答案：
B
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据集合的定义和集合间的并集定义，推出P集合的情况，求出M∪N，然后判断选项．【解答】解：∵P={x|f（x）g（x）=0}，
∴P有三种可能即：P={x|f（x）=0}，或P={x|g（x）=0}或P={x|f（x）=0或g（x）=0}，
∵M={x|f（x）=0}，N={x|g（x）=0}，
∵M∪N={x|f（x）=0或g（x）=0}，
∴P?（M∪N），
故选B．
3. 设{}是公比为正数的等比数列，若a3＝4，a5＝16，则数列{}的前5项和为
A．41 B．15 C．32 D．31 参考答案：
D
4. 已知且，函数在同一坐标系中的图象可能是
参考答案：
C
略
5. 若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
6. 不等式的解集为（）
A．B．C．D．
参考答案：
解：选A．．
7.
已知集合则为（）
A． B． C． D．
参考答案：
答案:
A
8. sin2040°=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】直接利用诱导公式化简表达式，利用特殊角的三角函数求出值即可．
【解答】解：sin2040°=sin（6×360°﹣120°）=sin（﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin60°=﹣
．
故选：B．
9. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角；④空间中，两向量的夹角，可能为钝角的有（）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：
B
略
10. 函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案：
【答案解析】D 要使函数有意义则故选D。

【思路点拨】先表示有意义的式子，再解出结果。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设实数x、y满足，则的最大值是_____________.
参考答案：
9由可行域知,当时,
12. 设直线系,对于
下列四个命题：
．中所有直线均经过一个定点
．存在定点不在中的任一条直线上
．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
参考答案：
B,C
13. 方程的解集是__________。

参考答案：
14. 已知集合集合，则
.
参考答案：
[-1,5]
15. 在（x﹣）6的二项式展开式中，常数项等于
．
参考答案：
﹣160
考点：二项式定理．
专题：二项式定理．
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．
解答：解：（x ﹣）6的二项式展开式的通项公式为T r+1=?（﹣2）r?x 6﹣2r ，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为?（﹣2）3=﹣160，
故答案为：﹣160．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
16. 在区间内随机取两个数a、b，则使得函数有零点的概率
为。

参考答案：
略
17. 已知函数, 则的值
为 .
参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的中心在原点，离心率，右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，在椭圆上是否存在点，使得向量与共线？若存在，求直线的方程；若不存在，简要说明理由．
参考答案：
解：（1）设椭圆的方程为，……1分
离心率，右焦点为，，，…… 3分
故椭圆的方程为．…… 4分
（2）假设椭圆上存在点（），使得向量与共线，……5分
，，（1）……6分
又点（）在椭圆上，（2）……8分
由（1）、（2）组成方程组解得：，或，……11分
当点的坐标为时，直线的方程为，
当点的坐标为时，直线的方程为，
故直线的方程为或．……14分
19. （本小题满分16分）
已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：
过A，F2两点．（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点P在一定圆上．
参考答案：
解：（1）圆与轴交点坐标为，，
故，所以，∴椭圆方程是：．
（2）设点P（x，y），因为（－，0），（，0），
设点P（x，y），则＝tanβ＝,＝tanα＝，
因为β－α＝，所以tan(β－α)＝－．
因为tan(β－α)＝＝，
所以＝－．化简得x2＋y2－2y＝3．
所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上．
20. （本小题满分12分）
如图，是直角梯形，又，
，直线与直线
所成的角为．
（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小；
参考答案：
解法一：
（Ⅰ）∵
∴，
又∵
∴…………5分
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵，∴，从而
作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，从而为二面角的平面角………8分
直线与直线所成的角为
∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小为…………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得…………8分
平面的法向量取为设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角大小为……12分
21. .已知为椭圆上两点，过点P且斜率为的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C.
（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；
（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．
参考答案：
（Ⅰ），离心率；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由题列a,b方程组，即可求解椭圆方程，再由a,b,c关系，求解离心率；（Ⅱ）设直线的方程为，与椭圆联立消去y,得x的方程，求点B坐标，同理求点C坐标，进而得再由，得k方程求解即可
【详解】（I）由题意得解得
所以椭圆的方程为.
又，
所以离心率.
（II）设直线的方程为，
由消去，整理得.
当时，设，
则，即.
将代入，整理得，所以.
所以.所以.
同理.
所以直线的斜率.
又直线的斜率，所以.
因为四边形为平行四边形，所以.
所以，解得或.
时，与重合，不符合题意，舍去.
所以四边形平行四边形时，.
【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理，设而要求的思想，准确求得B,C坐标且推得是本题关键，是中档题
22. 为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会调查了26个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了100 名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格．平均每天上网时间超过2个小时可视为“网瘾”患者，(I)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选3名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；
(Ⅱ)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选4名青少，记X为“网瘾”患者的人数，求X的分布列和数学期望．
参考答案：
解：由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者.
（Ⅰ）设表示“所挑选的3名青少年有个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件，
则.………………………（4分）
（Ⅱ）的可能取值为，
，，
，，
.……………………………………………………………（10分）
的分布列为
则.…………………………（12分）
略。