人教A版选修1-2第二章2.2.1综合法和分析法(2)达标过关训练

2.2.1 综合法和分析法(2)
一、选择题
1．(2019·湖南邵东月考)要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
C ．(a ＋b )2
2－1－a 2b 2≤0 D ．a 2＋b 2－1－a 4＋b
42≤0
答案：B
2．下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B ．a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C ．a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D ．2＋10>2 6
解析：(2＋10)2－(26)2＝2＋220＋10－24＝45－12<0， ∴2＋10<26，故选D ． 答案：D
3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤1
2 B ．ab ≥1
2 C ．a 2＋b 2≥2
D ．a 2＋b 2≤3 解析：∵a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝2，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
＝1， ∴(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝4，∴a 2＋b 2＝4－2ab ≥2. 答案：C
4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝Q
C ．P <Q
D ．由a 的取值确定
解析：∵P >0，Q >0， ∴要比较P 、Q 的大小关系，
只需比较P2、Q2的大小关系，
∵P2＝a＋a＋7＋2a·a＋7＝2a＋7＋2a2＋7a，
Q2＝a＋3＋a＋4＋2a＋3·a＋4＝2a＋7＋2 a2＋7a＋12，
又a2＋7a＋12>a2＋7a，
∴P2<Q2，P<Q.
答案：C
5．(2019·辽宁沈阳期末)设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x(x<0)，则a与b的大小关系为()
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a≤b
解析：a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
b＝e x(x<0)<1，
∴a>b，故选A．
答案：A
二、填空题
6．(2019·江西宜春月考)函数f(x)＝x＋4－x的最大值为________．
解析：f(x)＝x＋4－x的定义域为[0,4]，
先求[f(x)]2的值域，
[f(x)]2＝x＋4－x＋2x(4－x)＝4＋24x－x2∈[4,8]，
∴f(x)的最大值为2 2.
答案：2 2
7．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (或底面为菱形)
8．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名学生中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”，事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．
解析：若甲得了优秀，则甲、乙、丙说的都是假话，不合题意．若乙得了优秀，则甲、乙、丙说的都是真话，也不合题意．故丙得了优秀．
答案：丙 三、解答题
9．若a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4
a －c .
证明：∵a >b >c ，
∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， 要证
1a －b ＋1b －c ≥4a －c
， 只需证⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
a －
b ＋1b －
c (a －c )≥4，
即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a －
b ＋1b －
c (a －b ＋b －c )≥4，
∵
1a －b ＋1b －c
≥21a －b ·1b －c
， a －b ＋b －c ≥2(a －b )(b －c )， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a －
b ＋1b －
c (a －b ＋b －c )≥4， ∴
1a －b ＋1b －c ≥4
a －c
. 10．已知sin(2α＋β)＋2sin β＝0. 求证：tan α＝3tan(α＋β)． 证明：要证tan α＝3tan(α＋β)， 只需证sin αcos α＝3sin (α＋β)
cos (α＋β)
，
只需证3sin(α＋β)cos α＝sin αcos(α＋β)，
只需证sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝2cos(α＋β)·sin α－2sin(α＋β)cos α， 只需证sin[(α＋β)＋α]＝2sin[α－(α＋β)]， 即sin(2α＋β)＝－2sin β， 只需证sin(2α＋β)＋2sin β＝0. 因为sin(2α＋β)＋2sin β＝0成立， 故等式tan α＝3tan(α＋β)成立．。