九年级数学上册 第2章 对称图形圆总结提升导学课件 级上册数学课件

∠BDC＝∠BFC＝90°， 在△BCD 和△BCF 中，∵∠DCB＝∠FCB，
BC＝BC， ∴△BCD≌△BCF，∴BD＝BF.
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(2)∵AB＝10，AB＝AC，∴AC＝10. ∵CD＝4，∴AD＝10－4＝6.
在 Rt△ADB 中，由勾股定理，得 BD＝ 102－62＝8.在 Rt△BDC
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解：设从点 A 翻滚到 A1 位置的路径为 L1，L1 是以点 B 为旋转中心， BA 长为半径旋转 90°形成的．∵长方形的长为 4 cm，宽为 3 cm，∴BA 的长为 5 cm.
90π×5 ∴路径长 L1＝ 180 ＝2.5π(cm)． 设从点 A1 翻滚到 A2 位置的路径为 L2，L2 是以点 C 为旋转中心，3 cm
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解：(1)如图①，以 P 为圆心，OP 长为半径在⊙O 上依 次截取两条弧，第二条弧与⊙O 的交点为 B，连接 PB，则 PB 即为所求．
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(2)如图①，作直径 PH，过圆心 O 作直径 PH 的垂线与B︵P交于点 A，则 PA 即为所求．
中，由勾股定理，得 BC＝ 82＋42＝4 5.
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【归纳总结】圆的切线的性质： (1)与圆只有一个(yī ɡè)公共点；
(2)圆心到这条直线的距离等于圆的半径；
(3)垂直于经过切点的半径．
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第2章 圆
对称 图形—— (duìchèn)
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第2章 对称(duìchèn)图形——圆
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知识框架 整合提升
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知识框架圆的对称性圆的基本(jīběn)性质 弧、弦、圆心角之间的关系(guān xì)
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例 6 如图 2－T－6，P 是⊙O 上的一点． (1)在⊙O 上求作一点 B，使 PB 是⊙O 的内接正三角形的
一边；
(2)在B︵P上求作一点 A，使 PA 是⊙O 的内接正方形的一边； (3)求作⊙O 的内接正十二边形．
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图 2－T－6
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圆的切线．
①若已知直线与圆有公共点，则证明经过这点与圆心的半径垂直于这条直
线；
②若未明确指出直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证
明垂线段的长度等于半径．
(2)定义：直线与圆有唯一公共点，则直线是圆的切线．
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问题(wèntí)3 正多边形与圆
正多边形和圆有什么关系(guān xì)？你能用直尺和圆规作出一个三角形的 外接圆和内切圆吗？
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例 5 2016·秦淮区月考 如图 2－T－5，⊙O 是正方形 ABCD 与 正六边形 AEFCGH 的外接圆．
(1)正方形 ABCD 与正六边形 AEFCGH 的边长之比为________． (2)连接 BE，BE 是否为⊙O 的内接正 n 边形的一边？如果是， 求出 n 的值；如果不是，请说明理由．
问题(wèntí)1 圆的基本性质
垂直于弦的直径有什么性质(xìngzhì)？在同圆或等圆中，两个圆心角以 及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？ 同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？圆的内接四边形有 什么性质(xìngzhì)？
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图2－T－2
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[解析]①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD. ②∠AOC≠∠AEC. ③∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC 平分∠ABD. ④∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD.∵OC∥BD，∴∠AFO＝90°. ∵点 O 为圆心，∴AF＝DF.
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⑤由④，有 AF＝DF.∵O 为 AB 的中点， ∴OF 是△ABD 的中位线，∴BD＝2OF. ⑥∵△CEF 和△BED 中没有相等的边， ∴不能判定△CEF 与△BED 全等． 故答案为①③④⑤.
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解：(1)证明：如图，连接 OB. ∵OP⊥OA，∴∠OAP＋∠OPA＝90°. ∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP. 又∵∠OPA＝∠CPB， ∴∠OPA＝∠CBP.∵OA＝OB，∴∠OAP＝∠OBP， ∴∠OBP＋∠CBP＝90°，即∠OBC＝90°， ∴OB⊥BC. 又∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．
分点即可． 360°
(2)用量角器等分圆：先用量角器画一个等于 n 的圆心角，
这个角所对的弧就是圆周长的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等 弧，就得到圆的 n 等分点，从而作出正 n 边形．
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(3)尺规作图法等分圆：对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规 和直尺作出图形(túxíng)．如正方形、正八边形、正六边形、正三角形、 正十二边形等．
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图2－T－5
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解：(1)设此圆的半径为 R， 则它的内接正方形的边长为 2R，内接正六边形的边长为 R， ∴内接正方形和内接正六边形的边长比为 2R∶R＝ 2∶1.故答 案为 2∶1.
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图2－T－3
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解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA＝90°，
∴BD⊥AC，∠BDC＝90°.
∵BF 切⊙O 于点 B，∴AB⊥BF.
∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC.
又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠FCB.
(2)BE 是⊙O 的内接正十二边形的一边． 理由：如图，连接 OA，OB，OE.在正方形 ABCD 中，∠AOB ＝90°，在正六边形 AEFCGH 中，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝30°.∵n＝33600°°＝12， ∴BE 是⊙O 的内接正十二边形的一边．
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圆的切线有哪些(nǎxiē)性质？如何判定一条直线是圆的切线？
例 3 2017·河南 如图 2－T－3，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为 直径的⊙O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CF∥AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD.
(1)求证：BD＝BF； (2)若 AB＝10，CD＝4，求 BC 的长．
(3)如图②，以 P 为圆心，OP 长为半径在⊙O 上依次截取 6 条弧 得 6 个点，则这 6 个点是圆的六等分点，作各弧的中点，顺次连接 12 个点，得到⊙O 的内接正十二边形．
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【归纳总结】正多边形的画法：
(1)要作正 n 边形，只要把一个圆 n 等分，然后顺次连接各等
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【归纳总结】圆中的性质：圆的对称性；圆心角、弧、弦之间的关系； 垂径定理(dìnglǐ)；圆内接四边形的性质等．在利用圆的性质解题时，经 常会涉及直角三角形、勾股定理(dìnglǐ)、等腰三角形等知识．
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问题(wèntí)2 切线的性质与判定
例 8 如图 2－T－8，有一长为 4 cm、宽为 3 cm 的长方 形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶
点 A 的位置变化为 A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一 小木块挡住，使木板边沿 A2C 与桌面成 30°角，求点 A 翻滚 到 A2 位置走过的路径长．
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例 4 如图 2－T－4，AB 是⊙O 的弦，OP⊥OA 交 AB 于点 P， 过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CP＝CB.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 5，OP＝1，求 BC 的长．
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图2－T－4
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同弧上的圆周角和圆心角的关系
三角形的外接圆
与圆有关的位
圆
置关系
正多边形与圆
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
正多边形的对称性
正多边形的画法
圆内接四边形
切线的性质 三角形的
与判定
内切圆
弧长和扇形 面积
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弧长 扇形面积
圆锥的侧面积
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整合提升
长为半径旋转 60°形成的，
∴路径长 L2＝60π18×0 3＝π(cm)，∴总路径长＝L1＋L2＝3.5π(cm)．
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问题5 圆中的数形结合(jiéhé)思想
点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？你能举出这些位置关系的一些(yīxiē) 实例吗？你能用哪些方法刻画这些位置关系？
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图2－T－8
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[解析] 将点 A 翻滚到 A2 位置的路径长分成两部分：第一部分是 以点 B 为旋转中心，BA 长为半径旋转 90°，第二部分是以点 C 为旋
转中心，3 cm 长为半径旋转 60°，根据弧长的公式计算即可．
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π A. 3 2021/12/8
B.π6
图 2－T－7
C.53π 第二十八页，共四十页。
D.56π
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[解析]
（360－60）π×12 （360－120）π×12 π
360
－
360
＝ 6 ，故选
B.
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(2)设 CP＝CB＝x，在 Rt△OBC 中，( 5)2＋x2＝(x＋1)2，
∴x＝2，∴BC＝2.
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【归纳总结】圆的切线的判定方法有：
(1)切线的判定定理：经过(jīngguò)半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
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例 2 如图 2－T－2，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点， 且 OC∥BD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC 平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD ＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是①__③_④__⑤___(填序号)．
例 1 2017·西宁 如图 2－T－1，四边形 ABCD 内 接于⊙O，点 E 在 BC 的延长线上，若∠BOD＝120°，则 ∠DCE＝____6_0___°．
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图 2－T－1
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[解析] ∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°.又∵∠BAD＋∠BCD ＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠BAD＝60°.
例 9 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点 C 为圆心，2.5 cm 为半径画圆，则⊙C 与直线 AB 的位置关系是( A )
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问题(wèntí)4 与扇形的弧长和面积有关的计算
怎样由圆的周长和面积公式得到(dé dào)弧长公式和扇形面积公式？
例 7 如图 2－T－7，阴影部分是两个半径为 1 的扇形．若 α＝
120°，β＝60°，则大扇形与小扇形的面积之差为( B )