知识点18 二次函数代数方面的应用2019

知识点18 二次函数代数方面的应用2019
第一批
一、选择题
1. （2019·潍坊）抛物线y =x 2＋bx +3的对称轴为直线x =1．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．2≤t ＜11 B ．t ≥2 C ．6＜t ＜11 D ．2≤t ＜6 【答案】A
【解析】由题意得：12
b
-
=，b =－2，抛物线解析式为y =x 2－2x +3，当－1＜x ＜4时，其图象如图所示：
从图象可以看出当2≤t ＜11时，抛物线y =x 2－2x +3与直线y =t 有交点，故关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是2≤t ＜11，故选择A ．
方法二：把y =x 2－2x +3－t （－1＜x ＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x 轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t ＜11，故选择A ．
2. （2019·淄博）将二次函数
2
4y x x a =-+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y ＝2有两个交点，则a 的取值范围是 （ ） A.3a ＞
B.3a ＜
C.5a ＞
D.5a ＜
【答案】D.【解析】∵2
2
4(2)(4)y x x a x a =-+=-+-，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析
式为
2(1)(3)y x a =-+-，令22(1)(3)x a =-+-，即2240x x a -+-=，
由⊿44(4)0a =--＞，得5a ＜. 3. （2019·湖州）已知a ，b 是非零实数，a b
>，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx 与一次函
数y2＝ax ＋b 的大致图象不可能是（ ）
O
y
x
y x
O
O x
y
y
O
x
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D ．
【解析】由2
y ax b y ax bx =+⎧⎨=+⎩，解得111x y a b =⎧⎨=+⎩，220
b x a y ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，a ＋b )和 (－
b
a
，0)．对于D 选项，从直线过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0．∵a b >，∴a ＋b ＜0．从而(1，a ＋b )在第四象限，因此D 选项不正确，故选D ．
二、填空题 14．（2019·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y=x ﹣a+1和y=x 2﹣2a x 的图像相交于P ，Q 两点，若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞1或a ＜－1
【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x 在某个范围内，两个函数的值都小于0，即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x 轴上，则x －a ＋1＝0，x ＝a －1，代入二次函数的表达式中，得：(a －1)2－2a(a －1)＝0，解得：a ＝1或a ＝－1.
当a ＞1 时，随着a 的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限；当a ＜－1时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a 的取值范围为a ＞1或a ＜－1.
1. （2019·潍坊）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2－4x ＋5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点．当△PAB 的周长最小时，S △PAB= ．
【答案】
12
5【解析】解方程组2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩，得：1112x y =⎧⎨=⎩，224
5
x y =⎧⎨
=⎩． ∴A （1，2）, B （4，5）,
作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 交y 轴于点P ．
x
y
－1O
则A ′（－1， 2）.
设直线A ′B 解析式为y =kx +b ，
则245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：3,5
135k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线A ′B ：31355
y x =
+． ∴当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为（0，13
5
）． 设直线AB 与y 轴的交点为C ，则C （0，1） ∴S △P AB =S △PCB －S △PCA =113113(1)4(1)12525⨯-⨯-⨯-⨯ =125.
2. （2019·乐山） 如图，点P 是双曲线C ：
x y 4
=
（0>x ）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：
221
-=
x y 于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值
是 .
【答案】3
【解析】∵点P 是双曲线C ：x
y 4=
（0>x ）上的一点，∴可设点P 坐标为（m ，4
m ），∵P Q ⊥x 轴，Q 在
22
1-=
x y 图像上，∴Q 坐标为（m ，122m -），PQ =4m -(1
22m -)，∴△POQ 面积
=12×m ×[4m -(122
m -]=()2
1234m --+，当m =2时，△POQ 面积的最大值为3.
三、解答题
22. （2019浙江省杭州市，22，12分）(本题满分12分) 设二次函数y=(x-x 1)(x-x 2)( x 1,x 2是实数)
（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=
12时，y=-1
2
.若甲求得的结果都正确·你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.
(2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含x 1,x 2的代数式表示). (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m ，n 是实数)，当0＜x 1＜x 2＜1时. 求证: 0＜mn ＜
116
. 【解题过程】（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x 1=0，x 2=1，∴y=x （x-1）=x 2
-x ， 当x=时，y=-，∴乙说点的不对；
（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点，∴m=x 1x 2，n=1-x 1-x 2+x 1x 2， ∴mn=[-][-] ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴0≤-≤，0≤-≤
14
， ∴0＜mn ＜
116
． 26．（2019·淮安）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5，0)，点D 的坐标为(1，3).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED=EF ，求点E 的坐标； (3)试问在该二次函数图像上是否存在点G ，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的5
3
？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.
第26题图 第26题备用图
【解题过程】解：（1）∵二次函数的顶点D 的坐标为(1，3)，且函数图象过点B(5，0)， ∴设函数解析式为3)1(2
+-=x a y ，则03)15(2
=+-a ，∴16
3-
=a ，
∴该二次的数的解析式为3)1(1632+--=x y ，即16
25831632++-=x x y . （2）如图所示，
第26题答图 1
∵DC ⊥x 轴，EF ⊥x 轴， ∴△BEF ∽△BDC ， ∴
DC
EF
BD BE =
， 设EF=ED=m ，则3
55m
m =-， ∴m=
8
15
， ∴BF=2581534=⨯，25255=-=OF ，
∴E （2
525，）
（3）根据题意知A 、B 两点直线DG 的距离之比为5:3，分两种情形： ①A 、B 两点在直线DG 的同旁，如图2，则有
5
3
=BM AN ，
第26题答图 2
由△HAN ∽△HBN 得
BM
AN
BH AH =， ∴AH=12，∴H(-15，0)， 又∵D 的坐标为(1，3).
设DH 的解析式为：y=kx+b ，
则⎩⎨⎧=+=+-3015b k b x ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==164516
3b k ，
∴DH 的解析式为16
45
163+
=
x y . ∵点G 为直线DH 与抛物线16
25
831632++-
=x x y 的另个交一个交点， ∴由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++-=+=16258316316451632x x y x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==16450y x 或⎩⎨
⎧==31y x ， ∴G(0，
16
45). ②A 、B 两点在直线DG 的两旁，如图3，则有
5
3
=BM AN ，
第26题答图3
∵
5
3
=OB OA ， ∴直线DG 经过点O ，其解析为y=3x.
∴由⎪⎩
⎪
⎨⎧++-==16258316332x x y x
y 得⎩⎨
⎧-=-=4515y x 或⎩⎨⎧==31y x ， ∴G(-15，-45).
综上所述，存在符合条件的点G ，其坐标为(0，
16
45
)或(-15,-45). 26．(2019·泰州) 已知一次函数y 1＝kx ＋n (n ＜0)和反比例函数y 2＝m
x (m ＞0,x ＞0)．
(1)如图1,若n ＝－2,且函数y 1、y 2的图像都经过点A(3,4)． ①求m 、k 的值;
②直接写出当y 1＞y 2时x 的范围;
(2)如图2,过点P(1,0)作y 轴的平行线l 与函数y 2的图像相交于点B,与反比例函数y 3＝n
x (x ＞0)的图像相交于点C ．
①若k ＝2,直线l 与函数y 1的图像相交于点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时,求m －n 的值
;
②过点B 作x 轴的平行线与函数y 1的图像相交于点E ．当m －n 的值取不大于1的任意实数时,点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值．
第26题图
【解题过程】
(1)∵y 2＝m x (m>0,x>0),过点A(3,4),∴4＝3m ,∴m ＝12,∴反比例函数表达式为y 2＝12
x
.又∵点A(3,4)y 1＝kx+n 的图象上,且n ＝－2,∴4＝3k －2,∴k ＝2,所以一次函数表达式为y 1＝2x －2. ②由图像可知,两个函数图象交点A 的坐标为(3,4),所以当x>3时,y 1>y 2.
(2)①因为k ＝2,所以一次函数表达式为y ＝2x+n,∵直线l 过点P(1,0),∴D(1,2+ n),B(1,m),C(1, n),又∵点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等,∴BD ＝BC 或BD ＝DC 或BC ＝CD,∴2+ n ﹣m ＝m ﹣n;或m ﹣(2+ n)＝2+ n ﹣n,或m －n ＝n －(2+n),∴可得m ﹣n ＝1或m ﹣n ＝4或m －n ＝－2; ②由题意可知,B(1,m),C(1, n),当y 1＝m 时,kx+n ＝m,∴x ＝
k n m -即点E 的横坐标为k
n
m -∴d ＝BC+BE ＝k n m n m --+-1＝1)11)((+--k n m ,∵m －n 的值取不大于1的任意实数时, d 始终是一个定值,∴01
1=-k
,
∴k ＝1,从而d ＝1.
26．（2019·株洲）已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++>．
（1）若a ＝l ，b ＝﹣2，c ＝﹣1．①求该二次函数图像的顶点坐标；②定义：对于二次函数
2(0)y px qx r p =++≠，满足方程y x =的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数2y ax bx c =++有两个不同的“不动点”．
（2）设b ＝
3
12
c ，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴分别相交于不同的两点A(1x ，0)，B(2x ，0)，其中1x ＜0，2x >0，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴
的正半轴上，且OC ＝OD ，又点E 的坐标为(1，0)，过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，
满足∠AFC ＝∠ABC ．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P ，若PC PA =
表达式．
【解题过程】解：（1）①∵a＝l，b＝﹣2，c＝﹣1
∴y=x2-2x-1=（x-1)2-2
∴顶点坐标为（1，-2）；
②当y=x时，x=x2-2x-1,
∴x2-3x-1=0，
∴△=9+4=13>0
∴有两个不相同的实数根，即有两个“不动点”。

（2）
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AE EF CE EB
=
，
∵DF∥OE，OC=OD,
∴OE为△CDF的中位线，∵E(1,0)， C(0，c);
∴CE=
2
1C
+=EF
∵A(x1,0),B(x2，0), ∴AE=1-x1，BE=x2-1，
∴
2
1
2
2
+1
1 1
c
x
c
=
-+
，∴1+c2=(1-x1)(x2-1)=x1+x2-x1x2-1，
∴
22
b c b c
c
a a a
+
+=--=-
，
∵b＝
3
1
2
c
，∴
3
2
2
1
(2)
2
2
2
c c c c
c
a a
++
+=-=-
∴c=-2a.
∵∠AFC ＝∠ABC ，∠P=∠P
∴△PFC ∽△PBA ，∴
PC CF
PA AB =
∵
PC PA =，CF=2CE,AB=x 2-x 1,
∴
21x x =
-
∵21x x a -=，b ＝3
12c
，c=-2a.，
∴a 2
=1,
∵a>0,∴a=1.∴b=-4，c=-2，∴二次函数的表达式为y=x 2
-4x-2
22．（2019安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点.
（1）求k ，a ，c 的值；
（2）过点A （0，m ）(0﹤m ﹤4)且垂直于y 轴的与二次函数y=ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W=OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值. 【解题过程】解：（1）因为点（1，2）在一次函数y=kx+4的图像上，所以2=k+4，因为一 次函数y=kx+4与二次函数y=ax 2+c 图像的另一个交点是该二次函数图像的顶点，则（0，c ） 在一次函数y=kx+4的图像上，即c=4，又点（1，2）也在二次函数y=ax 2+c 的图像上，所 以2=a+c ，从而a=﹣2； ………………6分
（2）方法一：因为点A 的坐标为（0，m ）(0﹤m ﹤4)，过点A 且垂直于y 轴的直线与二次函数y=﹣2x 2+4的图像交于点B ，C ，所以可设点B 的坐标为（x 0，m ），由对称性得点C 的坐标为（﹣x 0，m ），故BC=2| x 0 |，又点B 在二次函数y=﹣2x 2+4的图像上， 所以﹣2x 02+4=m ，即x 02=2﹣
2
m
，从而BC 2=4 x 02=8﹣2m ，又OA=m ， 从而W=OA 2+BC 2=m 2﹣2m+8=(m ﹣1)2+7(0﹤m ﹤4)，所以m=1时，
W 有最小值7. ………………12分 1. (2019·台州)已知函数y ＝x2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(－2,4). (1)求b,c 满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b 的值变化时,求n 关于m 的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当－5≤x ≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b 的值.
解：(1)将点(－2,4)代入y ＝x 2+bx+c,得4＝(－2)2－2b+c,∴c ＝2b,∴b,c 满足的关系式是c ＝2b. (2) 把c ＝2b 代入y ＝x 2+bx+c,得y ＝x 2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),n ＝m 2+bm+2b,且m ＝－
2
b
,即b ＝－2m,∴n ＝ (3) －m 2－4m.∴n 关于m 的函数解析式为n ＝－m 2－4m.
(4) 由(2)的结论,画出函数y ＝x 2+bx+c 和函数y ＝－x 2－4x 的图象.∵函数y ＝x 2+bx+c 的图象不经过第三象限, (5) ∴－4≤－
2b ≤0.①当－4≤－2b ≤－2,即4≤b ≤8时,如图1所示,x ＝1时,函数取到最大值y ＝1+3b,x ＝－2
b 时,函数取到最小值y ＝284b b -,∴(1+3b)－2
84b b -＝16,即b 2+4b －60＝0,∴b 1＝6,b 2＝－10(舍去);②当－2<－2
b ≤0,
即＝≤b<4时,如图2所示,x ＝－5时,函数取到最大值y ＝25－3b,x ＝－2
b 时,函数取到最小值y ＝2
84b b -,∴(25－
3b)－2
84
b b -＝16,即b 2－20b+36＝0,∴b 1＝2,b 2＝18(舍去);综上所述,b 的值为2或6.
2. （2019·湖州）已知抛物线y ＝2x2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点． （1）求c 的取值范围；
（2）若抛物线y ＝2x2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 和n 的大小，并说明理由． 解：（1）∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点，
∴方程2x 2－4x ＋c ＝0有两个不相等的实数根． ∴△＝(－4)2－4×2×c ＞0． ∴c ＜2即为所求．
（2）∵抛物线的对称轴为x ＝4
22
--
⨯＝1，而a ＝2＞0， ∴在抛物线对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大． ∵2＜3，∴m ＜n ．
3. （2019·凉山）已知二次函数y=x2+x+a 的图象与x 轴交于A （x1，0）、B （x2，0）两点，且2
2
121
1x x +
=1，
求a 的值．
解：对于抛物线y =x 2+x +a ，令y =0，∴x 2
+x +a =0,∵抛物线与x 轴交于点A （x 1，0），（x 2，0），
∴x 1+x 2=-1，x 1x 2=a ，∵222111x x +=22
212
221x x x x +=1，∴x 12+x 22=x 12x 22，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2==x 12x 22
，代入x 1+x 2=-1，x 1x 2=a ，
有：1-2a =a 2
，解得a =-1 2±
，∵方程有两个实数根，则△=1-4a ＞0，解得a ＜
4
1
，∴a =-1-2. 4. (2019·巴中) 如图,一次函数y1＝k1x+b(k1,b 为常数,k1≠0)的图象与反比例函数y2＝2
k x (k2≠0,x>0)的图象交
于点A(m,8)与点B(4,2).
①求一次函数与反比例函数的解析式
;
②根据图像说明,当x 为何值时,k1x+b －2
k x <0.
解：①因为点B(4,2)在反比例函数图象上,2＝
24k ,所以k2＝8,所以反比例函数解析式为y 2＝8
x
(x>0),当y ＝8时,8＝
8x ,所以x ＝1,所以点A 坐标为(1,8),将A(1,8),B(4,2)代入y 1＝k 1x+b,可得11
8=24k b k b ì+ïí=+ïî,所以1=2
10k b ì-ïí=ïî,一次函数解析
式为y 1＝－2x+10;
②k 1x+b －
2k x <0,即k 1x+b<2k
x
,即y 1<y 2,因为A(1,8),B(4,2),由图象可知x 的取值范围为:0<x<1,或x>4. 25．（2019·长沙）（10分）已知抛物线y=-2x 2+(b-2)x+(c-2020)(b ，c 为常数)．
（1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n( m ＜n)，当m ≤x ≤n 时，恰好有21m m +≤12y +≤21
n n +，求m ，
n 的值．
【解题过程】(1)由题可设：y=﹣2(x －1)2＋1，去括号得：y=﹣2x 2＋4x －1 ∴⎩⎨
⎧-=-=-1202042c b ，解得⎩⎨⎧==2019
6
c b
(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x 0，y 0)，(﹣x 0，﹣y 0)，
代入解析式可得：()()()()
⎩⎨⎧-+---=--+-+-=20202220202202
000200c x b x y c x b x y ， ∴两式相加可得：﹣4x 02＋2(c －2020)=0， ∴c=2x 02＋2020，∴c ≥2020
(3) 由(1)可知抛物线y=﹣2x 2＋4x －1=﹣2(x －1)2＋1，∴y ≤1， ∵0＜m ＜n ，当m ≤x ≤n 时，恰好有
122112+≤+≤+n n y m m ，∴m
y n 1
1≤≤，
∴
11
≤m
即m ≥1，∴1≤m ≤n ， ∵抛物线对称轴x=1，开口向下，∴当m ≤x ≤n 时，y 随x 增大而减小，
∴当x=m 时，y max =﹣2m 2＋4m －1，当x=n 时，y max =﹣2n 2＋4n －1，
又∵m y n 11≤≤∴⎪⎩
⎪⎨⎧=-+-=-+-②
①m m m n n n 1142114222
，
将①整理得：2n 3－4n 2＋n ＋1=0，
∴变形得：(2n 3－2n 2)－(2n 2－n －1)=0，即2n 2(n －1)－(2n ＋1)(n －1)=0， ∴(n －1)(2n 2－2n －1)=0， ∵n ＞1，∴2n 2－2n －1=0，∴n 1=
231-(舍去)，n 2=2
3
1+， 同理整理②得：(m －1)(2m 2－2m －1)=0， ∵1≤m ＜n ，∴m 1=1，m 2=
231-(舍去)，m 3=2
31+(舍去)， ∴综上所述：m=1，n=
2
31+． 第三批
一、选择题 二、填空题 三、解答题
24．（2019·仙桃）在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y =ax 2
+2x －1(a ≠0)和直线l ：y =kx +b ，点A (－3，－3)，B (1，－1)均在直线l 上．
(1)若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；
(2)当a =-1，二次函数y =ax 2
+2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值为－4， 求m 的值； (3)若抛物线C 与线段．．AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围． 解析：本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系．（1）先求出直线的解析式，然后将二次函数解析式与一次函数解析式组成方程组，利用根的判别式△≥0，求出a 的取值范围；（2）对自变量的取值范围在对称轴的左、右两侧进行分类，结合增减性求出m 的值；（3）由于抛物线经过（0，-1）这一定点，将抛物线分开口向上和开口向下两种情况求出a 的取值范围.
答案：解：(1)将A (－3，－3)，B (1，－1)代入y =kx +b 中得：
{
331
k b k b -+=-+=-，解得12
32
k b ==-⎧⎪⎨⎪⎩∴直线l 的解析式为：1322y x =-. ∵抛物线C 与直线l 有交点,∴ax 2
+2x －1=
13
22
x -有实数根， ∴2ax 2
+3x+1=0, ∴△=9-8a ≥0, ∴98a ≤
∴a 的取值范围是9
8
a ≤且a ≠0. (2)当a =-1时，抛物线为：y=-x 2
+2x-1=-(x-1)2
,对称轴为x=1,
当m ≤x ≤m +2在对称轴的左侧时，即m+2<1时，m<-1,y 随x 的增大而增大， 当x=m+2时，函数y 的最大值为-4，
∴m=-3;
当m ≤x ≤m +2在对称轴的左侧时,即m>1时，y 随x 的增大而减小， 当x=m 时，函数y 的最大值为-4，∴m=3. (3)当a<0时，对称轴x=1
0a
-
f ,将B (1，－1)代入y =ax 2+2x －1得，a=-2,
∴当a ≤-2时，抛物线C 与线段．．AB 有两个不同的交点； 当a>0时，对称轴1
0x a
=-
p ，将A (－3，－3) 代入y =ax 2+2x －1得，4
9
a =
∴当
49
98
a ≤≤时，抛物线C 与线段．．AB 有两个不同的交点。

综上所述：抛物线C 与线段．．AB 有两个不同的交点时，49
98
a ≤≤或a ≤-2. 26．（2019 · 北京）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
1y ax bx a
=+-
与y
轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．
（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点11
(,)2P a
-，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．
【解题过程】（1）∵当x=0时，抛物线2
11
y ax bx a a
=+-
=-； ∴抛物线与y 轴交点A 点的坐标为10,a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
∴由点A 向右平移2个单位长度得点B 的坐标为12,a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭；即1(2,)B a -.
（2）∵由A 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B 12,a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭两点的纵坐标相同，得A 、B 为对称点.∴抛物线对称轴方程为0212x +=
=；即直线1x =.
（3）①当0a >时，1
0a
-<. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可
能同时经过点B 和点Q ，所以线段PQ 和抛物线没有交点.
②当0a <时，1
0a ->. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q
在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点，此时12a -≤，即1
2
a ≤-.
综上所述：当
1
2
a≤-时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.
23.（2019·本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.
（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，y=40；
当20＜x≤60且x为整数时，y=-1
2
x+50；
当x＞60且x为整数时，y=20；（2）设所获利润w（元），
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，∴w=(40-16)×20=480元，
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴当20＜x≤60且x为整数时，y=-1
2
x+50，
∴w=(y-16)x=(-1
2
x+50-16)x，
∴w=-1
2
x2+34x，∴w=-
1
2
（x-34）2+578，
∵-1
2
＜0，∴当x=34时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．【知识点】二次函数的应用．。