内蒙古北京八中乌兰察布分校2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题

乌兰察布分校 2016-2017学年第二学期期中考试
高二年级文科数学试题
（命题人：贾宽 审核人：贾宽 分值：150 时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后将答题卡交回
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的，请在答题卡上用2B 铅笔将正确选项的代号涂黑.
1.已知集合{}|15P x N x =∈≤≤，集合{}
2|60Q x R x x =∈--<，则Q P ⋂等于( ) A. {}1,2,3 B.{}1,2 C.[]1,2 D.[)1,3
2．命题“2
,210x R x x ∀∈+-≤”的否定为( )
A ．2,210x R x x ∀∈+-≥
B ．2
000,210x R x x ∃∈+->
C ．2210x R x x ∀∈+-≠，
D ．2000210x R x x ∃∈+-≤，
3．已知x 与y 之间的一组数据：
x
0 1 2 3 y
1
3
5
7
则y 与x 的线性回归方程a x b y
ˆˆ+=过点( ) A ．()2,2 B ．()1.5,0 C ．()1,2 D ．()1.5,4
4．“12x -<”是“3x <”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．若函数⎩⎨
⎧>-≤+=0
,420
,22)(x x x x f x
，则))1((f f 的值为（） A ．10- B ．10C ．2- D ．2
7．已知向量)1,2(-=a ，)7,1(=b ，则下列结论正确的是（）
A ．b a ⊥
B ．b a //
C ．)(b a a +⊥
D ．)(b a a -⊥ 8．正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（）． A ．
π34B ．π3
8
C ．π332
D ．π34
9.设焦点在x 轴上的双曲线虚轴长为2，焦距为 ( )
A ．y =
B ．2y x =±
C ．2y x =±
D ．12
y x =± 10．已知3
21(2)33
y x bx b x =
++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( ) A ．1b <-或2b > B ．1b ≤-或2b ≥ C ．12b -<< D ．12b -≤≤ 11．曲线x
y e =在点2
(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A ．22e
B ．22e
C ．2
e D ．294
e
12.已知函数()()
()2
ln f x x x x x a a R =+-∈，若存在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,21x ，使得 ()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是( )
A. 9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B. 3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C. )
+∞ D.()3,+∞
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上) 13．设i 是虚数单位，则复数11i
i
-+=.
14．圆sin )ρθθ=
+的圆心的极坐标是. [)()πθρ2,0,0∈>
15. 已知点()3cos ,sin P θθ在直线31x y +=上，则sin 2θ=.
16．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为0
45的直线交抛物线于A 、B 两
点，若线段AB 的长为8，则p =
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
17．（本小题满分10分）
已知{}n a 是等差数列，满足31=a ,124=a ,数列{}n b 满足41=b ,204=b ， 且{}n n a b -为等比数列．
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．
18.（本小题满分12分）
已知()3
2
f x ax bx cx =++在区间[0,1]上是增函数，在区间(,0),(1,)-∞+∞上是
减函数，又1
3()22
f =
. （1）求()f x 的解析式；
（2）若在区间[0,](0)m m >上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围.
19． (本小题满分12分)
某校数学老师这学期分别用A 、B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为60人，入学时数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样)．现随机收取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，得到茎叶图：
(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高？
(Ⅱ)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的 同学至少有一个被抽中的概率；
(Ⅲ)学校规定：成绩不低于85分的为优秀，性填写下面的2×2列联表，并判断“能 否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
(参考公式：K 2
＝n （ad －bc ）
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）
20.（本小题满分12分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e =，过点(0,)A b -和(,0)B a 的直线与原
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点(1,0)E -，若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，问：是否存
在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由.
21.（本题满分12分） 设函数()()()1
ln ,30.a f x x g x ax a x
-=+
=-> （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间；
（2）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.
22．(本小题满分12分)
已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y α
α=⎧⎨=+⎩（α为参数），直线l 的参数方程为
1cos 45sin 45x t y t =+︒
⎧⎨=︒
⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）求直线l 截曲线C 所得的弦长．
17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得
d ＝a 4－a 13
＝12－33
＝3.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ∈N *
)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得
q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3
＝8，解得q ＝2.
所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1
＝2
n －1
.
从而b n ＝3n ＋2
n －1
(n ∈N *
)．
(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1
(n ∈N *
)．
数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n
1－2＝2n
－1.
所以数列{b n }的前n 项和为32
n (n ＋1)＋2n
－1.
18.解：（1）2
()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，
即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032
c b a
=⎧⎪⎨=-⎪⎩，
，∴2()33f x ax ax '=-， ∴1333
24
22a a f ⎛⎫'=
-=
⎪⎝⎭，∴2a =-，∴32()23f x x x =-+． （2）令()f x x ≤，即3
2
230x x x -+-≤，∴(21)(1)0x x x --≥， ∴102x ≤≤
或1x ≥．又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，∴102
m <≤． 20 解析：（1）直线AB 方程为：bx-ay-ab ＝0．
依题意⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧=
+=233622b
a a
b a
c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程是1322=+y x ．
（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=0
3322
2y x kx y ，得)31(2k +09122
=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(2
2
>+-=∆k k ①
设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
+-=+⋅2212
213193112k x x k k x x ， ②
而4)(2)2)(2(21212
2121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．
要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则
11
12211
-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ③
将②式代入③整理解得67=k ．经验证，6
7
=k ，使①成立． 综上可知，存在6
7
=
k ，使得以CD 为直径的圆过点E ． 22．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为22(1)4x y +-= （*） 令cos ,sin x y ρθρθ==代入（*）式
化简得曲线C 的极坐标方程为：22sin 30ρρθ--=．………………………6分 （Ⅱ）将 1cos 45sin 45x t y t =+︒
⎧⎨
=︒
⎩代入（*）式化简得22t =
，12t t ∴==，
所以所求弦长为21t t -=．………………………………………………12分
19．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)甲班数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于80～100分之间，所以乙班的平均分更高．………………………………………3分
(Ⅱ)记成绩为86分的同学为A ，B ，其他不低于80分的同学为C ，D ，E ，F ，
“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件
有：
(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)共15个．
“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：
(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)共9个．
故P ＝915＝3
5. ………………………………………8分
(Ⅲ)由茎叶图可得2×2列联表如下：
所以K 2
＝4013×27×20×20
≈5.584＞5.024，
因此在犯错的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．……………………12分。