2020届二轮(理科数学) 选修部分 专题卷(全国通用) (4)

1经过点M (2,7)且倾斜角为π
6的直线,以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A .{
x =2-√32t ,y =7+1
2t
(t 为参数)B.{x =2+
√3
2t ,y =7-1
2t
(t 为参数)
C .{x =2-√3
2t ,y =7-12t (t 为参数)D.{x =2+√3
2t ,
y =7+1
2t (t 为参数)
,得{
x =2+tcos π
6,y =7+tsin π
6
(t 为参数),
即{x =2+√3
2t ,y =7+1
2t (t 为参数).
2若直线的参数方程为{x =√3+1
2t ,
y =3-√3
2t (t 为参数),则该直线的斜率为( ) A .√3B.−√3 C .
√33D.−√33
为{x =√3+12t ,y =3-√3
2t ,化为标准形式{
x =√3+(-t )cos120°,
y =3+(-t )sin120°
(−t 为参数),
所以直线的倾斜角为120°,斜率为−√3. 答案B
3(2018·北京朝阳区一模)若直线l 的参数方程为{x =-√3t ,
y =1+3t
(t 为参数),
则l 的倾斜角大小为( ) A .π
6B.π
3 C .
2π3D.
5π6
l 的参数方程为{
x =-√3t ,
y =1+3t
(t 为参数),可知直线l 的普通方程为y=1−√3x,
所以直线l的斜率为−√3,即倾斜角为2π
3
.
4在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标可能是()
A.(1,π
2)B.(-1,π
2
)
C.(1,0)
D.(1,π)
x2+y2=-2y,即为x2+(y+1)2=1,圆心的直角坐标为(0,-1),
化为极坐标可以为(1,-π
2),也可以表示为(-1,π
2
).故选B.
5在极坐标系中,过点P(3,π
3
)且垂直于极轴的直线方程为()
A.ρcos θ=3
2
B.ρsin θ=3
2
C.ρ=3
2
cos θ
D.ρ=3
2
sin θ
A,
则|OA|=|OP|·co sπ
3=3
2
.
又设直线上任意一点M(ρ,θ)(除点P外),
则|OM|·cos θ=|OA|,即ρcos θ=3
2
.
因为点P(3,π
3
)适合上式,
所以所求的直线方程为ρcos θ=3
2
.
6在极坐标系中,与圆ρ=6cos θ相切的一条直线方程为() A.ρsin θ=6 B.ρcos θ=3
C.ρcos θ=6
D.ρcos θ=-6
(x-3)2+y2=9,四个选项所对应的直线方程分别为y=6,x=3,x=6,x=-6,易知x=6满足题意.故选C.
7圆心在点(-1,1)处,且过原点的圆的极坐标方程是()
A.ρ=2(sin θ-cos θ)
B.ρ=2(cos θ-sin θ)
C.ρ=2sin θ
D.ρ=2cos θ
,圆的半径为√(-1)2+12=√2,
所以圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2,
即x2+y2=-2(x-y).将其化为极坐标方程,
为ρ2=-2(ρcos θ-ρsin θ).
因为圆过极点,
所以方程可简化为ρ=2(sin θ-cos θ).
8(2018·天津模拟)在极坐标系中,点(√2,π
4
)到直线ρcos θ−ρsin θ−1=
0的距离等于________________________.
(√2,π
4
)的直角坐标为(1,1),直线ρcos θ-ρsin θ-1=0的直角坐标方程为x-y-1=0,点
√2=√2
2
.
9在极坐标系中,点P(-2,π
2
)到直线l:3ρcos θ−4ρsin θ=3的距离为.
,点P的坐标为(0,-2),直线l的方程为3x-4y-3=0,所以点P到直线l的距离d=
√32+(-4)
=1.
答案1
10在极坐标系中,曲线C1为ρ(√2cos θ+sin θ)=1,曲线C2为ρ=a(a>0).
若曲线C1与C2的一个交点在极轴上,则a=.
(√2cos θ+sin θ)=1,即√2ρcos θ+ρsin θ=1对应的直角坐标方程为√2x+y−1= 0,ρ=a(a>0)对应的直角坐标方程为x2+y2=a2.在√2x+y−1=0中,令y=0,得x=√2
2
,
将(√2
2,0)代入x2+y2=a2,得a=√2
2
.
11求过点A(2,π
4
)且平行于极轴的直线的极坐标方程.
,在直线l上任意取除点A外的一点M(ρ,θ),连接OA,OM,过点M作极轴的垂线交极轴于点H.
因为A(2,π
4),所以|MH|=2si nπ
4
=√2.
在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sin θ,
即ρsin θ=√2.易知点A(2,π
4)适合该方程.故过点A(2,π
4
)
且平行于极轴的直线方程为ρsin θ=√2.
12在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.
M(ρ,θ)(ρ≠0)是所求轨迹上的任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0=θ,ρ0=2ρ.
由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标方程,得ρ0=8cos θ0.
所以2ρ=8cos θ,即ρ=4cos θ.
故所求轨迹方程是ρ=4cos θ(ρ≠0).
它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆(不含极点).
能力提升
1极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0的直角坐标方程为()
A.x2+y2=0或y=1
B.x=1
C.x2+y2=0或x=1
D.y=1
ρ(ρcos θ-1)=0,
∴ρ=√x2+y2=0或ρcos θ=x=1.
2极坐标方程分别为ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是()
A.2
B.√2
C.1
D.√2
2
,两圆的圆心的极坐标分别是(1
2,0)和(1
2
,π
2
),这两点间的距离是√2
2
.
3在极坐标系中,曲线ρ=4si n(θ-π
3
)关于()
A.直线θ=π
3
轴对称
B.直线θ=5π
6
轴对称
C.点(2,π
3
)中心对称
D.极点中心对称
,得
(x+√3)2+(y−1)2=4,
圆心为(−√3,1),化为极坐标为(2,5π
6
),
故选B.
4(2018·北京朝阳区二模)在极坐标系中,直线l:ρcos θ+ρsin θ=2与圆C:ρ=2cos θ的位置关系为()
A.相交且过圆心
B.相交但不过圆心
C.相切
D.相离
l:ρcos θ+ρsin θ=2,
可知直线l 的直角坐标方程为x+y-2=0. 由圆C :ρ=2cos θ,
可知圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2x , 整理得(x-1)2+y 2=1.
所以圆心(1,0)到直线x+y-2=0的距离d =|1-2|√12+12
=
√22
<1=r,
因此直线与圆相交但不过圆心.
5已知曲线C 1:ρ=2√2和曲线C2:ρcos (θ+π4)=√2,则C1上到C2的距离等于√2的点的个数为 .
ρ=2√2与ρco s (θ+π
4)=√2化为直角坐标方程分别为x 2+y 2=(2√2)2与x-y-2=0,则C 1是圆心在坐标原点,半径为2√2的圆,C 2是直线.因为圆心到直线x-y-2=0的距离为2,故满足条件的点的个数为3.
6在极坐标系中,定点A (1,π2),点B 在直线l:ρcos θ+ρsin θ=0上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标是 .(ρ≥0,θ∈[0,2π))
ρcos θ+ρsin θ=0化为直角坐标方程为x+y=0,点A (1,π
2)化为直角坐标为A (0,1). 如图,过点A 作AB ⊥直线l 于点B ,
因为△AOB 为等腰直角三角形, 又因为|OA|=1,则|OB|=√2
2,∠BOx =3π4
, 故点B 的极坐标是(√22,3π4
).
7已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2(0≤θ<2π),曲线C 在点(2,π
4)处的切线为l,以极点为坐标原点,以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,则l 的直角坐标方程为 .
ρ=2可化为x 2+y 2=4,点(2,π
4)可化为(√2,√2).
因为点(√2,√2)在圆x 2+y 2=4上,故圆在点(√2,√2)处的切线方程为√2x +√2y =4,即x+y-2√2=0,故填x+y-2√2=0.
2√2=0
8圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆O 1、圆O 2的交点的直线的直角坐标方程.
,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.
根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得x 2+y 2-4x=0, 故圆O 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x=0.
同理可得圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2+4y=0. (2)由{x 2+y 2-4x =0,x 2+y 2+4y =0,
解得{x 1=0,y 1=0,{x 2=2,y 2=-2.
即圆O 1、圆O 2相交于点(0,0)和(2,-2),过两圆的交点的直线的直角坐标方程为y=-x. ★
9在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3,π
6),半径r =1,点Q 在圆C 上运动.
(1)求圆C 的极坐标方程;
(2)若点P 在直线OQ 上,且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹的极坐标方程.
将圆C 的圆心的极坐标化为直角坐标为(
3√32
,32),所以圆C 的直角坐标方程为(x -
3√3
2
)2
+(y -32)2
=1,
将其化为极坐标方程为ρ2-6ρco s (θ-π
6)+8=0.
(2)设点P 的坐标为(ρ,θ),点Q 的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可知{ρ0=2
5ρ,θ0=θ.
因为点Q 在圆C 上,
所以点Q 的坐标适合圆C 的方程,代入得(2
5ρ)2
−6×2
5ρcos (θ-π
6)+8=0,整理即得动点P 的轨迹的极坐标方程为ρ2-15ρco s (θ-π
6)+50=0.。