【新结构】云南省昆明市2024届高三三诊一模高考模拟考试数学试题+答案解析

【新结构】云南省昆明市2024届高三三诊一模高考模拟考试数学试题
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知集合
，
，则图中阴影部分所表示的集合为(
)
A. B.
C. D.
2.已知点在抛物线C ：
的图象上，F 为C 的焦点，则()
A. B.2 C.3
D.
3.已知中，
，，
，则的面积等于()
A.3
B.
C.5
D.
4.某学校邀请A ，B ，C ，D ，E 五个班的班干部座谈，其中A 班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A 班至少选到一位班干部的不同的选法种数为()
A.10
B.12
C.16
D.20
5.已知m ，n 是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法错误的是()
A.若，则“”是“”的必要条件
B.若，，则“”是“”的充分条件
C.若，则“”是“”的充要条件
D.若
，则“
”是“
”的既不充分也不必要条件
6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p ，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则
()
A.
B.
C.
D.
7.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD 是边长为的正方形，垂直于底座且长度
为6的四根吊挂线
，
，
，
一头连着底座端点，另一头都连在球O 的表面上底座厚度忽
略不计，若该艺术吊灯总高度为14，则球O的体积为()
A. B. C. D.
8.函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有且仅有一个交点，对任意x，R，
，，则下列说法正确的是()
A. B.为奇函数
C.在单调递减
D.若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足\(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}\)，
\(P(A\cupB)=\dfrac{5}{9}\)，A与C互斥，则下列说法正确的是\((\quad)\)
A. B.A与B相互独立
C. D.
10.已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是()
A. B.是偶函数
C.是函数的一个极值点
D.在单调递增
11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是左支上一点，且在x在上方，过作
角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，则下列说法正确的是()
A.若，则直线MN的斜率为
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z满足，则__________.
13.过点可以向曲线作n条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________.
14.以表示数集A中最大的数．已知，，，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分
甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93958172808292
乙：858277809486928485
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为
求甲乙两位同学测试成绩的方差；
为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差
为，个数据的方差为，且若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异．
若的临界值采用下表中的数据：
例如：对应的临界值为
请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异．
16.本小题15分
正项数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，求数列，的通项公式；
已知数列满足，求数列的前n项和
17.本小题15分
如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面ABC，设平面平面，点E，F分别在直线l和直线上，且满足，
证明：平面；
若直线EF和平面ABC所成角的正弦值为，求该三棱台的高．
18.本小题17分
已知函数；
当时，证明：对任意，；
若是函数的极值点，求实数a的值．
19.本小题17分
已知曲线C由半圆和半椭圆组成，点M在半椭圆上，，
求的值；
ⅰ求的取值范围；
ⅱ如图，点N在半圆上时，将y轴左侧半圆沿y轴折起，使点A到，使点N到，且满足，
求的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键．
根据Venn图，阴影部分对应的集合为，根据补集、交集的定义进行计算即可．
【解答】
解：阴影部分对应的集合为，
，，
可得，且，
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义，属于基础题.
求出p，利用焦半径公式即可求解.
【解答】
解：因为点在抛物线C：的图象上，
则，解得，
则
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用余弦定理可得，进而求出，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】
解：中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由余弦定理可得：，
，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了组合及计数问题，属于基础题．
根据题意求出从6名班干部中选3位的不同方法减去没选到A班的班干部的方法，即可求解.【解答】
解：由题意可得从6名班干部中选3位，则有种不同的方法，
若没选到A班的班干部，则有种不同的方法，
则A班至少选到一位班干部的不同的选法种数为种不同的方法．
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断和空间中的线、面位置关系，属于基础题.对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于
A、若，，则或，故必要性不成立，故A错误；
对于B、若，，，由线面平行的判定定理可知，故B正确；
对于
C、若，，则成立，
反之，若，，则也成立，故
C正确；
对于D、若，，则或，故充分性不成立，
反之，若，，则m与n平行或相交或异面，故必要性也不成立，故D正确. 6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全概率公式，属于中档题.
由全概率公式直接求解即可.
【解答】
解：设小明第一次投篮命中为事件A，小明第二次投篮命中为事件B，
由题意得，，，，
，，
，
解得
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查球体的结构特征以及球的体积计算，属于中档题.
设球的半径为
R，首先求出平面截球所得截面圆的半径，则球心O到平面的距离为，然后根据吊灯总高度为14，列方程可求出R，最后根据球的体积公式计算即可.
【解答】
解：由已知四根吊挂线下端是正方形的四个顶点，平面截球所得截面圆的半径
，
设球的半径为R，则球心O到平面的距离为，
因为吊灯总高度为14，即，所以，
因此，球O的体积，
故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，属于中档题.
由题意，利用赋值法，结合选项分析得出结论.
【解答】
解：由题意，因为，，
所以，
所以，A错误；
又，所以，所以不是奇函数，B错误；
因为，，所以在单调递减错误，C错误；
由于，所以，
因为，所以，
因为函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有且仅有一个交点，
所以若，则，D正确.
故选
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的性质，属于中档题.
根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的定义，即可依次判断.
【解答】
解：因为A与C互斥，所以，，故A正确；
因为，，所以A与B不互斥，
所以，所以A与B相互独立，故B正确；因为A与B相互独立，A与C互斥，所以，故C错误；因为A与B相互独立，所以A、B、C不是两两互斥事件，所以
，故D正确.
故选
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于中档题.
由题意求出的值，得出函数解析式，再对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：因为函数的最小正周期大于，
所以，即，
因为曲线关于点中心对称，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，故A正确；
是偶函数，故B正确；
因为，
所以是函数的一个极值点，故C正确；
当时，，
所以在上不单调，故D错误.
故选
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质与几何意义，属于中档题.
解焦点三角形可得A；结合向量投影可得B；根据双曲线的定义与性质，构造中位线可得C、
【解答】
解：对于A、B，设，，由双曲线定义，，焦半距，
当，，联立解得，，
即，在直角三角形中，，，
可得直线MN的倾斜角为，斜率，
因为，所以，故A正确、B错误；
对于C、D，如图，延长、相交于点Q，
由角平分线与高线重合得，，
所以，
因为ON为三角形的中位线，所以，故C正确、D错误.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算．
【解答】
解：由，得，
故答案为：
13.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究方程的根，考查数形结合思想及分类讨论思想，属于较难题.
设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点，得
，故方程根的个数即为n的值.构造，利用导数研究其单调性与极值，画出图象，分类讨论即可求解.
【解答】
解：，设切点坐标为，
则切线方程为，即
因为切线过点，
所以
设，
则
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
作出的图象如图所示：
当时，方程无解，即；
当或时，方程只有一个解，即；
当或时，方程有两个解，即；
当时，方程有三个解，即
故满足条件的一组有序实数对为
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查利用均值不等式和不等式的性质比较大小，须特别注意均值不等式取等的条件，属中档题.
分别由，根据均值不等式和不等式的性质确定M的范围，即可得解.
【解答】
解：由题意知，，，
，当且仅当时等号成立，
所以；
，当且仅当，时等号成立，
所以
综上，
M的最小值为
故答案为
15.【答案】解：依题意：，
，
所以，，
由于，则，，，，
则，
查表得对应的临界值为，则，
所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.
【解析】本题考查平均数、方差公式，独立性检验，属于中档题.
依据平均数和方差公式，结合题中数据计算即可;
由题意，结合所给步骤计算出，进而可得答案.
16.【答案】解：当时，，即，，
所以，同理
当时，，化简得：
，因为，所以，
即，故，又，所以
同理，或，
因为是等比数列，所以，即，所以
由知，
所以当n为奇数时，
，
，
同理当n为偶数时，
所以
【解析】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、裂项相消法求和，属于中档题；
当时，可求得、，当时，由，可求出，同理可求出由，得，结合分组求和裂项相消法求和求解即可；
17.【答案】证明：由三棱台知，平面ABC，
因为平面，且平面平面，所以，
又，，所以，又，，
BC，在平面内，
所以平面
以A为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h，
则，，，，
设平面的法向量为，则
可取平面的一个法向量，
易得平面ABC的一个法向量，
设EF与平面夹角为，由知，
所以由已知得，，
解得，所以三棱台的高为
【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于中档题.
依据线面垂直的判定定理求解即可；
建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面ABC的一个法向量，结合题意可得三棱台的高.
18.【答案】解：当时，，，
当时，，则
当时，，，故，所以在单调递增，
因为，所以，所以，
所以，所以，故
综上，对任意，
，，因为是的极值点，
所以，即
当时，，令，则，
由可知，对任意，，故在单调递增，又，
故当时，，即，当时，，即，
故在单调递减，在单调递增，满足是的极值点，
综上，实数a的值为
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，考查分类讨论思想，属于一般题.
时，，求导，利用导数研究函数的单调性即可证明；
先由题意解出，，令，利用导数研究函数的单调性和极值情况即可.
19.【答案】解：由题意知，A，B是椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义知：；
ⅰ由题意知，，，
当M为半椭圆右顶点时，，
当M不为半椭圆右顶点时，设直线OM方程为，
联立，解得，故，
①若点N在半圆上，则，
所以，
所以，所以，
②若点
N在半椭圆上，因为，
设直线ON的方程为，同理可得，
所以，令，
则，
因为，故，所以，所以
综上所述，所以
ⅱ过作垂直y轴，垂足为E，设，则，，
，所以，
即，
所以
令
当且仅当，
时，
取得最大值
综上所述
的最大值为
【解析】本题考查椭圆的定义，性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，属于难题.
根据椭圆的定义计算即可；
ⅰ根据已知联立讨论：①若点N 在半圆上，则，②若点N 在半椭圆上，因为
，求解；
ⅱ过
作
垂直y 轴，垂足为E ，设
，得到
，
，得到
进
而，令，求解即可.。