山东艺术生高考数学辅导讲义之集合

第一节 集合
【热点聚焦】
集合是高中数学中的基本概念之一，也是历届高考的必考点。

考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练.
【基础知识】
1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
2. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.
[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R
}二、四象限的点集.
③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩
⎨
⎧=-=+1323
y x y x 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）
4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有
2n －2个.
【试题精析】
高考试题中的集合问题主要集中在以下五种常见的类型： 一．基本型
这类题型主要考查集合的基本概念和基本运算，常用的解法有定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等；
【例1】( 2006年重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5}, 则(u A )∪(u B )= ( )
(A){1,6} (B){4,5} (C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} 【例2】(2006年山东卷）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 （ ）
（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18 二．综合型
这类题型主要将集合与不等式、三角函数、解析几何等知识结合，形成多个知识点的综合问题。

解决这类题目的关键在于灵活运用相关的知识。

【例3】（2006年上海卷）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 【例4】（2006年全国卷II ）已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ ( )
（A ）∅ （B ）｛x |0＜x ＜3｝ （C ）｛x |1＜x ＜3｝ （D ）｛x |2＜x ＜3｝ 三．计数型
这类题型是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等。

常用的方法有公式 法、图表法等。

【例5】（2006年辽宁卷）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。

【例6】（2002北京，1）满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1 四．逆向型
逆向型是指已知集合的运算结果，写出集合运算的可能表达式，这类题型往往具有一定的开放性。

【例7】（2003京春理，11）若不等式|ax +2|<6的解集为（－1，2），则实数a 等于（ ）
A.8
B.2
C.－4
D.－8
【评述】本题主要考查绝对值不等式的解法，方程的根与不等式解集的关系，考查了分类讨论的数学思想方法及逻辑思维能力，此题也可以利用选项的值代入原不等式，去寻找满足题设条件的a 的值. 【例8】（2003上海春，5）已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是_____.
【评述】本题主要考查集合的概念和集合的关系.
五．运用型
这种题型是指从表面上来看不一定是考查集合知识，但若灵活运用集合的有关知识，则能突破解题的难点，优化解题思路，甚至避免分类讨论。

【例9】（2006年全国卷I ）设集合{
}
2
0M x x x =-<，{}
2N x x =<，则
A ．M N =∅
B ．M N M =
C ．M N M =
D ．M N R =
【例10】（2006年辽宁卷）设○
+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○
+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
以上的这五种类型是最近几年高考考查的型式，对于艺术生的备考而言，好好地理解并掌握这五种类型，是在高考中立于不败之地的关键。

【针对练习】
1．（2006年福建卷）已知全集,U R =且{}{
}
2
|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则
()U C A B 等于( ) （A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-
2．（2000北京春，2）设全集I ={a ，b ，c ，d ，e }，集合M ={a ，b ，c }，N ={b ，d ，e }，那么I M
∩
I N
是（ ）
A.∅
B.{d }
C.{a ，c }
D.{b ，e } 3．（1999全国，1）如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M ∩P ）∩S
B.（M ∩P ）∪S
C.（M ∩P ）∩
I S
D.（M ∩P ）∪
I S
4．（1994上海，15）设I 是全集，集合P 、Q 满足P Q ，则下面的结论中错误 的是（ ）
A.P ∪
I Q =
∅
B.I P ∪Q =I
C.P ∩I Q =
∅
D.I P ∩I Q =I P
5．（2002上海春，3）若全集I =R ，f （x ）、g （x ）均为x 的二次函数，P ={x |f （x ）＜0}，Q ={x |g
（x ）≥0}，则不等式组⎩⎨⎧<<0
)(0
)(x g x f 的解集可用P 、Q 表示为
6．（2006年上海卷）已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2
m }．若B ⊆A ，则
实数m ＝ ．
7．（2000上海春12）设I 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q I .若含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是 （只要写出一个表达式）. 8．（2000上海春17）已知R 为全集，A ={x |lo g 2
1（3－x ）≥－2}，B ={x |
2
5
+x ≥1}，求
R A ∩B .
9．（1999上海17）设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |2
1
2+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围.
10．※（2006年湖北卷）有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：
①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ； ②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ； ③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ；
④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .
其中真命题的序号是 （ ）
A. ③、④
B. ①、②
C. ①、④
D. ②、③
【第一节参考答案】
例1．D 例2．D 例3．A 例4．D 例5．【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合
{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。

故选择答案C 。

例6．【解析】M ={2，3}或M ={1，2，3}，因为M ⊆{1，2，3}，因此M 必为集合{1，2，3}的子集，同时含元素2，3.故选C 例7．【解析】∵|ax +2|<6，∴－6<ax +2<6，－8<ax <4 当a >0时，有a
x a 4
8<<-
，而已知原不等式的解集为（－1，2）， 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=1824
a
a
.此方程无解（舍去）.
当a <0时，有a x a 48<<-，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-1
428
a
a
解得a =－4，当a =0时，原不等式的解集为R ，与题设不符（舍去），故a =－4.
故选C 例8．【解析】∵A ={x |－2≤x ≤2}，B ={x |x ≥a }，又A ⊆B ，利用数轴上覆盖关系：如图
因此有a ≤－2. 例9．【解析】集合M 写成区间形式为（0，1），集合N 写成区间形式为（-2，2），M 是N 的真子集。

故B 成立。

评述：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性
题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法. 例10．【解析】A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D
2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

针对练习
1．C 2．A 3．C 4．D 5．.U P C Q 6．1
7．答案：P ∩
I Q
解析：阴影部分为I Q （如图所示）显然，所求表达式为I Q ∩P =
∅，
或
I Q ∩（Q ∩P ）或I Q ∩（Q ∪P ）=
∅.
评述：本题考查集合的关系及运算.
8．解：由已知lo g 2
1（3－x ）≥lo g 2
14，因为y =lo g 2
1x 为减函数，所以3－x ≤4.
由⎩
⎨⎧>-≤-034
3x x ，解得－1≤x <3.所以A ={x |－1≤x <3}.
由
2
5+x ≥1可化为
22302)2(5≥+-⇒≥++-x x
x x ⎩
⎨
⎧≠+≤+-020
)2)(3(x x x 解得－2<x ≤3，所以B ={x |－2<x ≤3}. 于是
R A ={x |x <－1
或x ≥3}.故R A ∩B ={x |－2<x <1或x =3}
评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能力. 9．解：由|x －a |<2，得a －2<x <a +2，所以A ={x |a －2<x <a +2}.
由
212+-x x <1，得2
3
+-x x <0，即－2<x <3，所以B ={x |－2<x <3}. 因为A ⊆B ，所以⎩⎨
⎧≤+-≥-3
22
2a a ，于是0≤a ≤1.
10．解：选B 。

选由card ()B A = card ()A + card ()B + card ()A B 知card ()B A = card ()A +
card ()B ⇔card ()A B =0⇔φ=B A 。

由B A ⊆的定义知card ()≤A card ()B。