天津市2016-2017学年高一数学必修4：第三章 章末测试 Word版含解析

2
2
12．函数 f(x)＝sin3x＋cos3x 的图像相邻两条对称轴之间的距离是________． 3π
答案： 2
2
2
2π
T 3π
解析：∵f(x)＝sin3x＋cos3x＝ 2sin(3x＋4)，∴其相邻两条对称轴之间的距离是2＝ 2 .
13．如图，四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝2，AD＝1，延长 BA 至 E，使 AE＝2，连接 EC、ED，则 tan∠CED＝________.
A. 1－m2 B．－ 1－m2
C. m2－1 D．－ m2－1
3
2
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β 为第三象
限角，∴cosβ＝－ 1－m2.
2
π1
π
8．已知 tan(α＋β)＝5，tan(β－4)＝4，则 tan(α＋4)等于( ) 1 13
解析：∵α∈(2，π)，由同角基本关系易知 cosα＝－5. sinα 3
tanα＝cosα＝－4.
4
π
2．若 cosα＝－5，α 是第三象限的角，则 sin(α＋4)的值为( ) 72 72
A．－ 10 B. 10
2
2
C．－10 D.10
答案：A
4
3
解析：由题知，cosα＝－5，α 是第三象限的角，所以 sinα＝－5，由两角和的正弦公
11 1－ · tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝ 2 3＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，
∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根据对称性有∠AO4B＝135°.
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分．把答案填入题中横线上．
2
答案：9
1
1
解析：由题意可知，tan∠DEB＝2，tan∠CEB＝4， tan∠DEB－tan∠CEB 2
∴tan∠CED＝tan(∠DEB－∠CEB)＝1＋tan∠DEB·tan∠CEB＝9. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 48 分，其中第 14 小题 8 分，第 15～18 小题各 10
＝ cos17° ＝sin30°＝2. π
1
1
15．已知 α∈(0，4)，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝2，tanβ＝－7，求 2α－β.
3
2
11 － 27
1
11
1－ × －
解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ 2
7 ＝3，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝
11 ＋ 32
π
2
sin(2θ＋4)＝－ 2 . π
π 9π
π 5π
π 7π
又由 0＜θ＜π 知，4＜2θ＋4＜ 4 ，所以 2θ＋4＝ 4 或 2θ＋4＝ 4 .
π
3π
因此 θ＝2或 θ＝ 4 .
π
1
18．已知函数 f(x)＝cos2(x＋12)，g(x)＝1＋2sin2x.
(1)设 x＝x0 是函数 y＝f(x)图像的一条对称轴，求 g(x0)的值；
tan 2
ππ
x
1－tan2
6．当 x∈[－6，3]时，y＝
2的最小值为( )
3
3
A．－ 3 B．－ 6
23
3
C．－ 3 答案：B
D．－ 2 x
tan 2
x1
π
3
1－tan2
解析：∵y＝
2＝2tanx，∴当 x＝－6时，ymin＝－ 6 .
7．若 sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且 β 为第三象限角，则 cosβ 的值为( )
当 k 为偶数时，g(x0)＝1＋2sin(－6)＝4； 1 π5
当 k 为奇数时，g(x0)＝1＋2sin6＝4.
1
π
1
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝2[1＋cos(2x＋6)]＋1＋2sin2x
1
π
3
＝2[cos(2x＋6)＋sin2x]＋2
13
1
31
π3
＝2( 2 cos2x＋2sin2x)＋2＝2sin(2x＋3)＋2.
(2)求函数 h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
1
π
解：(1)由题设知 f(x)＝2[1＋cos(2x＋6)]． π
因为 x＝x0 是函数 y＝f(x)图像的一条对称轴，所以 2x0＋6＝kπ(k∈Z)， π
即 2x0＝kπ－6(k∈Z)．
1
1
π
所以 g(x0)＝1＋2sin2x0＝1＋2sin(kπ－6)． 1 π3
π
4
1
5．设 α，β∈(0，2)，tanα＝3，tanβ＝7，则 α－β 等于( ) ππ
A.3 B.4 ππ
C.6 D.8 答案：B
41 － 37
tanα－tanβ
41
1＋ ×
解析：∵tan(α－β)＝1＋tanαtanβ＝ 3 7＝1，
π
π
π
α，β∈(0，2)，∴－2＜α－β＜2， π
∴α－β＝4. x
π
π
π 3 2 4 2 72
式可得 sin(α＋4)＝sinαcos4＋cosαsin4＝(－5)× 2 ＋(－5)× 2 ＝－ 10 ，故选 A. θ
1－tan 2
4
θ
1＋tan
3．若 cosθ＝－5，θ 是第三象限的角，则
2＝( )
1
1
A.2 B．－2 3
C.5 D．－2 答案：D
θ θθ
θ θθ θ
3
1
＝ 2 cosα＋2sinα π
＝sin(α＋3)．
π π 4π
∵α∈[0，π)，∴α＋3∈[3， 3 )，
3
π
－ 2 <sin(α＋3)≤1.
3
2
3
∴f(α)的值域是(－ 2 ，1]． 17．已知向量 a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若 a∥b，求 tanθ 的值；
π
(1)若 Q(5，5)，求 cos(α－6)的值；
(2)设函数 f(α)＝O→P·O→Q，求 f(α)的值域．
3
4
解：(1)由已知可得 cosα＝5，sinα＝5.
π
π
π
∴cos(α－6)＝cosαcos6＋sinαsin6 3 341
＝5× 2 ＋5×2 3 3＋4
＝ 10 .
(2)f(α)＝O→P·O→Q＝(cosπ6，sinπ6)·(cosα，sinα)
3
3π
π
11．已知 cosα＝5，且 α∈( 2 ，2π)，则 cos(α－3)＝________. 3－4 3
答案： 10
3
3
3 1－ 2
4
解析：∵cosα＝5，α∈(2π，2π)，∴sinα＝－ 1－cos2α＝－
5 ＝－5，
π
π
π 3 1 4 3 3－4 3
∴cos(α－3)＝cosαcos3＋sinαsin3＝5×2－5× 2 ＝ 10 .
11 1－ ×
3 2＝1.
1π
π
又∵β∈(0，π)，tanβ＝－7，∴2＜β＜π，又 α∈(0，4)， 3π
∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－ 4 . 16．如图，
设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点，P、Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点， π
∠AOP＝6，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
34
1－tan cos －sin cos －sin cos ＋sin
2 22
2 22 2
θ θθ
1＋tan cos ＋sin
解析：由已知得
2＝ 2 2＝
θθ cos ＋sin 2
22
cosθ ＝1＋sinθ，
θ4 1－tan －
25
4
3
θ3
1＋tan 1－
因为 cosθ＝－5，且 θ 是第三象限的角，故 sinθ＝－5，故
π
A．向左平移3个单位 π
B．向右平移3个单位 π
C．向左平移6个单位 π
D．向右平移6个单位 答案：D
解析：y＝sin2x＋ 3cos2x
1
3
＝2(2sin2x＋ 2 cos2x) π
＝2sin(2x＋3)
ππ
而 y＝2sin2x＝2sin[2(x－6)＋3] π
∴只需将图像向右平移6，故选 D. 10．如图，在 5 个并排的正方形图案中作出一个∠AOnB＝135°(n＝1,2,3,4,5,6)，则
π
ππLeabharlann 5ππ当 2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2，即 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)时，
1
π3
函数 h(x)＝2sin(2x＋3)＋2是递增的．
5π
π
故函数 h(x)的单调递增区间是[kπ－12，kπ＋12](k∈Z)．
3
2 3
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． sin47°－sin17°cos30°
14．化简求值：
sin73°
.
sin30°＋17°－sin17°cos30° sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°
解：原式＝
cos17°
＝
sin30°cos17°
1
cos17°
2＝ 5＝－2.
3
2
1
3
4．已知 cosθ＝3，θ∈(0，π)，则 cos(2π＋2θ)的值为( )
42
7
A．－ 9 B．－9
42
7
C. 9
D.9
答案：C
1
解析：∵cosθ＝3，θ∈(0，π) 22
∴sinθ＝ 3 3π
22 1 42
cos( 2 ＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2× 3 ×3＝ 9 .
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求 θ 的值． 1
解：(1)因为 a∥b，所以 2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是 4sinθ＝cosθ，故 tanθ＝4. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以
1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即 sin2θ＋cos2θ＝－1，于是
2
第三章章末测试 时间：90 分钟 分值：100 分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在下列各题的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．
3
π
1．已知 sinα＝5且 α∈(2，π)，则 tanα 的值为( )
4
3
A．－5 B.4
3
4
C．－ 4
D.3
答案：C
π
4
A.6 B.22 3 13
C.22 D.18 答案：C
π tanα＋β－tanβ－
4
π
π
π3
1＋tanα＋βtanβ－
解析：tan(α＋4)＝tan[(α＋β)－(β－4)]＝
4 ＝22.
9．要得到 y＝2sin2x 的图像，只需将函数 y＝sin2x＋ 3cos2x 的图像( )
n＝( )
A．1,6 B．2,5 C．3,4 D．2,3,4,5 答案：C 解析：若 n＝1 或 n＝6，显然∠AOnB<90°，若 n＝2，则有∠AO2O1＝45°，∠BO2O6<45°， ∴∠AOnB>135°，根据对称性可知，若 n＝5，∠AOnB>135°，若 n＝3，则有
3
2
11 ＋ 23