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椭圆双曲线抛物线(PPT文档)
X 椭圆综合复习
一、基础知识
1.椭圆的定义和标准方程
定义
图形
方程 焦点
a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
ox
F1
y2 a2
x2 b2c)
c2=a2-b2
. 地心为椭圆的一个焦点。求卫星轨迹
椭圆的标准方程。
A1
分析：远地点A1C1+c1F2=a+c
近地点A2C2+F2C2=a-c
地球半径=c1F2=F2C2
LOGO
Y
. . . . C1 OO
F2
C2 A2
X
LOGO
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200 371＋5 100
3.长轴长等于20，离心率等于 3/5
x2 y2 1 36 32
x2 y2 1 或 x2 y2 1
100 64
64 100
4.长轴是短轴的2倍，且椭圆经过点（-2，x2-4）y2 1 或
x2 y2 1
68 17
8 32
5.过点P（5，2）、焦点为（－6，0）（6，0） x2 y2 1 45 9
四个顶点坐标是
焦点坐标分别是
F1(3,0), F2 (3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
例2 中国第一颗探月卫星——“嫦娥
一号”发射后，首先进入一个椭圆形
椭圆与双曲线
04
椭圆与双曲线在生活 中的应用
建筑学：拱形结构设计与优化
椭圆型拱门
椭圆型拱门在建筑设计中常用来 增加空间感和美观度，其优雅的 曲线形状能够分散压力，提高结
构的稳定性。
椭圆型穹顶
大型公共建筑中，椭圆型穹顶不 仅具有视觉冲击力，还能有效地 分散重力，提高建筑的承重能力
。
双曲线型结构
双曲线在建筑设计中可用于创造 独特的空间效果，如双曲线型楼 梯、走廊等，增加建筑的动感和
几何意义
离心率反映了焦点到椭圆中心的距离与长轴半径的比例关系，也决定了椭圆形 状的变化。
椭圆上任意一点性质
到两焦点的距离之和
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之 和等于长轴的长度，即 (2a)。
中点性质
任意弦的中点轨迹是以椭圆中心为中 心、以短轴为直径的圆。
切线性质
过椭圆上任意一点的切线与通过该点 且与长轴平行的直线交于一点，该点 位于与焦点连线上的中垂线上。
THANKS
感谢观看
综合运用各种技巧
在解题过程中，可以综合运用代数、几何、三角等多种数学知识和 技巧，提高解题效率。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
椭圆的定义与性质
双曲线的定义与性质
椭圆是平面上所有满足到两个定点（焦点 ）距离之和为常数的点的集合；其性质包 括对称性、离心率、长轴和短轴等。
双曲线是平面上所有满足到两个定点（焦 点）距离之差为常数的点的集合；其性质 包括对称性、离心率、实轴和虚轴等。
椭圆与双曲线在现实生活中的应用
介绍椭圆和双曲线在物理学、工程学、经济学等领域的应用，以及其 在解决实际问题中的重要作用。
著名数学家的贡献
介绍对椭圆和双曲线研究做出重要贡献的数学家，如阿波罗尼乌斯、 开普勒等，以及他们的主要成就和思想方法。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3） 焦点在y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 心实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越准线 渐近线 焦半径公式|PF 1|= |PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的下上两焦点，P 为椭圆上的一点)4. 等轴双曲线22(0)x y λλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5. 共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x y a b+=的共轭双曲线是 6.双曲线系（1） 共焦点的双曲线的方程为2221x y k k c+=-(0<k<c 2,c 为半焦距) （2） 共渐近线的双曲线的方程为2222(0)x y a bλλ-=≠。
高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结
高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结椭圆与双曲线是高中数学中的重要知识点，它们在几何和代数中有广泛的应用。
掌握了椭圆与双曲线的基本概念、性质和公式，不仅可以解决各种数学问题，还能帮助我们更好地理解数学的本质和应用。
本文将对高中数学中的椭圆与双曲线知识点进行总结。
一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个定点称为椭圆的焦点，而常数称为椭圆的焦距。
椭圆还有一个重要的参数称为长轴，它是椭圆的两个焦点之间的距离。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且越接近0，椭圆越扁平；2. 椭圆的长轴与短轴之间的比值称为椭圆的离心率，离心率等于1的椭圆称为圆；3. 椭圆的对称轴与长短轴相交的点称为椭圆的顶点；4. 椭圆的周长公式为C = 4aE(e)，其中a为长轴的一半，E(e)为离心率e的椭圆的第一类椭圆积分；5. 椭圆的面积公式为S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这两个定点称为双曲线的焦点，常数称为双曲线的差距。
双曲线还有一个重要的参数称为长轴，它是双曲线的两个焦点之间的距离。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线越扁平；2. 双曲线的离心率等于1的时候，双曲线为抛物线；3. 双曲线的对称轴与长轴、短轴相交的点称为双曲线的顶点；4. 双曲线的渐近线是与双曲线无交点的直线，斜率大小由离心率决定；5. 双曲线的面积公式为S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
三、椭圆与双曲线的方程与图像1. 椭圆的方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心；2. 双曲线的方程形式为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1（双曲线的开口朝向x 轴）或者(x-h)²/b² - (y-k)²/a² = 1（双曲线的开口朝向y轴），其中(h,k)为双曲线的中心。
椭圆与双曲线
椭圆与双曲线椭圆与双曲线是数学中的重要曲线，它们在几何学、物理学和工程学中起着重要的作用。
本文将对椭圆与双曲线进行详细介绍，并讨论它们的性质和应用。
一、椭圆的定义和性质椭圆可以通过以下定义得到：给定一个固定点F（焦点）和一条不经过焦点F的定长线段2a，所有与焦点F的距离之和等于定长线段2a 的点P的轨迹，就构成一个椭圆。
椭圆的性质如下：1. 焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于定长线段2a；2. 如果椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，且a>b，则椭圆的离心率e的计算公式为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离；3. 椭圆的离心率e满足0<e<1，当e=0时，椭圆是一个圆；4. 椭圆的焦点、长轴、短轴都是对称的。
二、椭圆的应用椭圆在现实生活和科学研究中有广泛的应用。
以下是一些椭圆的应用：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨道是椭圆；2. 高速公路设计：高速公路的水平曲线通常采用椭圆形状，以保证驾驶员的安全视距；3. 弦乐器：弦乐器中的琴弦振动生成椭圆形的波形；4. 通信：卫星轨道常采用椭圆形状。
三、双曲线的定义和性质双曲线可以通过以下定义得到：给定一个固定点F（焦点）和一条且不经过焦点F的定长线段2a，所有与焦点F的距离之差等于定长线段2a的点P的轨迹，就构成一个双曲线。
双曲线的性质如下：1. 焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于定长线段2a；2. 双曲线的离心率e的计算公式为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离；3. 双曲线的离心率e满足e>1，当e=1时，双曲线是一个抛物线；4. 双曲线的对称轴、焦点、顶点等都有特定的性质。
四、双曲线的应用双曲线在不同领域有广泛的应用。
以下是一些双曲线的应用：1. 物理学：双曲线是物理学中许多运动的轨迹，如陀螺、行星运动等；2. 工程学：双曲线广泛应用于工程设计，如天桥、隧道和大坝的拱形结构等；3. 电磁学：电场和磁场分布呈现出双曲线形状，双曲线方程用于描述电磁波的传播；4. 统计学：双曲线函数可用于描述分布函数。
椭圆与双曲线的性质与应用
双曲线旋转对称性：绕中心点旋转 180度后与原图重合，因此也具有 旋转对称性
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椭圆旋转对称性：绕中心点旋转任 意角度后与原图重合，因此具有旋 转对称性
应用：在几何学、天文学等领域有 广泛应用
椭圆与双曲线的镜面对称性
定义：椭圆与双曲线在平面直角坐标系中的对称性质 对称轴：椭圆有两条对称轴，双曲线也有两条对称轴 对称中心：椭圆有一个对称中心，双曲线也有一个对称中心 对称性质的应用：在几何、代数和物理学等领域中都有广泛的应用
椭圆与双曲线的 参数方程
椭圆与双曲线的参数方程的定义
参数方程：表示椭圆或双曲线上的 点与参数值之间的关系
参数方程的应用：用于解决几何、 物理等领域的实际问题
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参数方程的建立：通过坐标变换和 参数化方法得到
参数方程的优缺点：方便计算和推 导，但不易直观理解
椭圆与双曲线的参数方程的几何意义
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透镜：双曲线透镜能够将平行光线 聚焦到一点，常用于制造相机、眼 镜等光学仪器中的镜头
光束整形：双曲线光学元件可以用来 改变光束的形状和大小，例如在激光 加工和照明系统中，可以利用双曲线 光学元件对光束进行整形和校准
椭圆在行星轨道计算中的应用
椭圆轨道的稳定 性
行星轨道计算中 的椭圆参数
未来发展：随着信号处理技术的不 断进步，双曲线在信号处理中的应 用将更加广泛和深入。
椭圆与双曲线的 对称性
椭圆与双曲线的中心对称性
定义：椭圆和双曲线都是关于中心对称的几何图形 性质：椭圆关于两个焦点对称，双曲线关于两个顶点对称 应用：在几何学、天文学等领域有广泛应用 举例：以地球和月球的运动为例，解释椭圆和双曲线的中心对称性
椭圆与双曲线的比较
双曲线的性质在许多领域中都有应用。例如，在声学中，声音的传播路径可以用 双曲线来描述。在光学中，双曲线用于描述光的折射和反射。此外，双曲线还用 于描述电子的运动轨迹以及某些化学反应的动力学。
图像与性质应用的比较
相同点
椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的性质。例如，它们都具有两个焦点，且都满足特定的数学方程。
双曲线的焦点与离心率
焦点
双曲线有两个焦点，位于双曲线 的两侧，与双曲线相切。
离心率
双曲线的离心率是衡量双曲线开 口程度的指标，其值大于1。离心 率越大，双曲线的开口程度越大 。
焦点与离心率比较
焦点数量
焦点位置
离心率范围
几何特性
椭圆和双曲线都有两个焦点。
椭圆的焦点位于椭圆中心两侧 ，而双曲线的焦点位于双曲线 的两侧。
椭圆的参数 $a$、$b$ 和 $c$ 之间满足 $a^2 = b^2 + c^2$。
双曲线的标准方程与几何特性
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是双曲线的半实轴和半虚轴。
焦点位置
双曲线的两个焦点位于副轴上，距离 原点的距离分别为 $c$ 和 $-c$，其 中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
02
标准方程与几何特性
椭圆的标准方程与几何特性
标准方程
几何特性
椭圆的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是 椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆是一个封闭的曲线，它有两个焦点， 并且有一个主轴和一条副轴。
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
高中数学课件-拓展视野13 椭圆、双曲线中的二级结论
(2)双曲线ax22－by22＝1(a，b>0)的焦半径公式
|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，F1，F2 分别为双曲线的左右焦点，P(x0，
y0)为双曲线上任意一点.
3
3.双曲线的渐近线的相关结论 (1)若双曲线的渐近线方程为 y＝±bax(a＞0，b＞0)，即ax±by＝0，则双曲 线的方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0). (2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长 b. (3)双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线 y＝±bax 的斜率 k 与离心率 e 的关系：e＝ 1＋（ba）2＝ 1＋k2.
5
(2)若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲 线的左、右焦点，则 S△PF1F2＝ b2θ，其中 θ 为∠F1PF2.
tan2
6
典例 (1)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±2x，则该双
曲线的离心率为( D )
35
A.5
B. 5
5 C. 2
13
尝试训练 2 已知双曲线1x62 －y92＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若在 双曲线的右支上有一个点 P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点 P 的横坐标为 ________.
设点 P 的横坐标为 x0，由双曲线焦半径公式有 |PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a， 结合条件|PF1|＝3|PF2|， 则 ex0＋a＝3(ex0－a)， 又 a＝4，c＝5，可得 e＝54，所以 x0＝352. 答案：352
的双曲线方程是( D ) A1x82 －1y22 ＝1
B.1x22 －1y82 ＝1
C.1y82 －1x22 ＝1
椭圆与双曲线的重要性质归纳总结
1.椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
椭圆双曲线知识点总结
椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。
其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。
注：定义中的定点不在定直线上。
如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是： 焦点放在Y 轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (3)在椭圆标准方程图形性质范围对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)， A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c 离心率 e=c a∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
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则SPF 1F2 __3 __.__
分析：2mm1
0 0
,
m1时双曲线焦x轴 点上 在 .
⑵表示焦点在x轴上的椭圆 ，求m的范围.
分析：2 mm10 0 , 2 m m 1
3m1时椭圆焦 x轴点上 . 在 2
判断焦点位置
共同点：化为标准方程，x观2, 察 y2的系数 . 差异：椭圆看大小，双曲线看符号.
焦点三角形
设F1,F2为 椭 圆 或 双 曲 焦线 点P的 是 ，两 椭个 圆
a225,b29, 即 c2a2b216
焦点4 坐 ， 0， 标 4， 0.为
24x29y23 60
分析：将原方准程方变 y程 2为 x2标 1 49
a24,b29,即 c2a2b213
焦点 0 ， 1 坐 ， 3 0 ， 1 标 .3 为
探索：已知方 x2 程y2 1
2m m1
⑴表示焦点在x轴上的双曲线，求m的范围.
y
y
.
0
Am
.F.
P
dx
.A
P. F
o
B
n
B
. x
共同点： 利用第二定义解题.
差异： 椭圆 0e1, 双曲 e1 .线
三、小结提高
椭圆、双 曲线的方 程、性质
焦点
焦点位置 焦点三角形
访谈核心
知识•方法•思想
焦点弦
四、作业
1、课本复习参考题八的8、9、10.
2、试给出访谈二中，与焦点三角形有关问题的 一个探索.
椭圆、双曲线的方程(各取一种情况）、性质的对比.
椭圆
双曲线
几何条件 标准方程 顶点坐标
对称轴 焦点坐标
与两个定点的距离的和 等于常数.xFra biblioteky2 1ab0
a2 b2
与两个定点的距离的差 的绝对值等于常数.
x2y2 1a0,b0
a2 b2
a,0 ,0, b a,0
x轴 ，长 轴 长2a y轴 ，短 轴 长2b
A
. .
F.
0P
x
AB 1k2x1x2 B
1 k 2x 1 x 2 2 4 x 1 x 2
42 3
思考：以线段AB为直径的圆，与椭圆相应准线是何位置关系？
相离
探索：以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，和该
焦点相应准线是何位置关系？ 相离
类比：以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和
该焦点相应准线是何位置关系？ 相交
分析：由探索1可知 PF 1 PF 2 12cb2os12co6s640
256 3
S F 1P2F 1 2P1F P2F si n F 1P2F 12
25 3
6
3 2
64 3
3
.
类比：已 知 F 1， F 2是 双 曲 线 x 921 y6 21的 两 个 焦 点 ，
P是 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 若 PF 1PF2 634， 则
的两个焦 P是点 双， 曲线(上 实 一 轴点 端点 ), 除外
. . 2b 2
设 共 同F 1 点P：2F 都 ， 是在 P P 则 F1 1F F2P 中 F2 1F利 _ 0 用 1_ co_ 余 sF2_弦 ._定 x_._理_求 _ 解
差异：椭圆 P1FP2F2a；
双 曲 P1F 线 P2F 2a.
探索：以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，和该焦
点相应准线是何位置关系？
类比：以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和该
焦点相应准线是何位置关系？
探索2：已 知 F 1 ， F 2 是 椭 圆 1 x 0 2 06 y 4 2 1 的 两 个 焦 点 ， P 是
椭 圆 上 任 一 点 ， 且 F 1P F 26 0 0 ， 求 F 1P F 2 的 面 积 .
双 曲 线 上 长 一轴 点或 实 轴端 ，点 则P除 称F 1F外 2
为此椭圆或双 点曲 三线 角 . 的 形焦
焦点三角形
设F1,F2为 椭 圆 或 双 曲 焦线 点P的 是 ，两 椭个 圆
双 曲 线 上 长 一轴 点或 实 轴端 ，点 则P除 称F 1F外 2
为此椭圆或双 点曲 三线 角 . 的 形焦
x轴 ，实 轴 长2a y轴 ，虚 轴 长2b
c,0, ca2b2 c,0, ca2b2
离心率 准线方程 渐近线方程
0e1
x a2 c
e 1
x a2 c
y b x a
焦点访谈
焦点位置
材料一：找出下列椭圆或双曲线的焦点坐标.
1 9 x 2 2y5 2 22 05
分析：将原方准 程方 变x程 2为 y标 2 1 25 9
焦点弦
材料三：已知斜 1的率 直 l过 为 线 椭 x2 圆 y21的右焦
2 交椭A、 圆 B两 于 点， A的 B求 .长 弦
分析： 右 F 1 焦 ， 0 ， l方 点 y 程 x 1 ， 为
设 A 、 B 坐标 A x 1 ,y 1 分 ,B x 2 ,别 y 2 . 为 y
由xy2x2y12 2 ，得3x24x0. x1x23 4, x1x20.
. y P
.y P
.
F1 0
.
F2
x
.F1 o
.
F2 x
探索：已F 知 1， F 2是
椭 x2圆 y21ab0的
a2 b2
两
焦 点 P是， 椭 圆 (长 上 轴 一 端 )点 ， 点 设 F 1P 除 2F 外 ， 2b 2
则PF 1 PF2 __1_ _cos_____.___
. 类比：已知 F1，F2是双曲 ax22线 yby22 P1a0, b0
椭 材料圆 二：已 上F P 知 且 1， 1FF 2P 满 是 2 F 足 椭 4x 4， 829圆 2 y则 2F 41P1的 2 F_ 两 90_._ 个 _P焦 在 点
类比：已F 知 1， F2是
双x曲 2y线 21的 9 16
两
个P焦 在
点
双 曲 线 上 F1P 且2 F满 60 ， 足P 则1F P2 F_64_.__