补充部分

主要是为解决当时的以下四个问题而创立：
（1）求物体在任意时刻的速度和加速度；
（2）求曲线的切线问题；
（3）求长度、面积、体积、与重心问题等；
（4）求最大值和最小值问题.
3、初等数学与高等数学的区别 （1）研究的对象不同：常量与变量；固定 图形与变化图形；孤立静止的连续 运动的. （2）研究方法不同：代数、几何；极限、 微积分. 4、本学期具体内容和计划 5、参考书
显然有下列关系 :

定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x
交集 A B x
或

A B
B A
A B
且
（3）区间
开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间

[ a , b ] x a x b

半开区间
2
解: 当 1 x 0 时, y x ( 0 , 1] , 则 x y , y ( 0 , 1] 当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] , 则 x e , y ( , 0] 当 1 x 2 时, y 2 e x 1 ( 2 , 2 e ] , y 则 x 1 ln 2 , y ( 2, 2e ] 反函数 y
例: 实数集合 R x x为有理数或无理数
(2) 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且
,
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
,
(1) y ln( x x 2 1) 1 1 (2) y F ( x)( x ), 其中F(x)为奇函数. a 1 2 x 7.求周期 y sin 2 x, y sin x cos 2
2x 8.求下列函数的反函数 y x 2 1 x 9.函数 f ( x) 2 在定义域内是否有界？ 1 x
2
, k Z}
余割定义域：
{x | x k , k Z }
1、已知 f ( x) 4 x 2
求f(x)的定义域并求f(0)、f(1)、
1 f ( ). f(-1)、f(x0)、 x 2 x 1 x 0 0 x 1 求f(x)的定义域和f(-1)、 2、设 f ( x) 2 x 1 1 x 3
①常值函数 y=C
x, x 0 ②绝对值函数 y | x | x, x 0
③分段函数
2 x y 2 x 1
1 x 0 0 x 1 1 x 3
④取整函数 y=[x]
y
2 1o
y
1
1
o
1 2 3 4
x
x
符号函数
取整函数
⑤符号函数
函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f -1的 值域和定义域，函数f和f -1互为反函数.
性质：
(1)函数及其反函数的图形关于直线y=x对称； (2)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致.
互为反函数图像关系
例5. 求 y
x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 2 e x 1 , 1 x 2 y
调递增和单调递减的函数统称为单调函数 。
例如： y y=x2
函数f(x)=x2在区间[0, +∞)
上是单调的，在区间(- ∞,0]上
是单调减少的；在区间(- ∞,+∞) 0 x
内不是单调的.
奇偶性:
设f(x)为一个实变量实值函数，
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
y
2e
2
1 1 o 1
2x
定义域为
( , 1] ( 2 , 2 e ]
三、基本初等函数
1、幂函数 y=xα
三、基本初等函数
2、指数函数 y=ax
(a为常数且a>0,a ≠1) y=ex 3、对数函数 y=logax (a>0,a ≠1) y=lnx
4、三角函数 奇函数 （1）y=sin x y=cos x 偶函数
)2 解: f ( 1 2
1 2

2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )
值 域 f ( D ) [0 , )
t 0时
函数无定义
（2）函数的特性
函数的有界性:设函数f(x)在区间X上有定义，如果存
在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f(x)|≤M，
一切x都成立.
函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于
D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒 有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的； 如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有 f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单
高等数学补充
一、简介
1、高等数学主要内容——微积分 2、微积分简史 从17世纪开始，随着社会的进步和生 产力的发展，以及如航海、天文、矿山建 设等许多课题要解决，数学也开始研究变 化着的量，数学进入了“变量数学”时代。 整个17世纪有数十位科学家为微积分的创 立做了开创性的研究，但使微积分成为数 学的一个重要分支的还是牛顿。
则称f(x)在区间X上有界，否则称f(x)在区间上无界 。
例如：函数f(x)=sinx在(- ∞,+∞)内是有界的，因为无论x，
取任何实数，|sinx| ≤1都能成立.
1 函数 f ( x) 在开区间(0,1)内是无界的，因为不 x 1 存在这样的正数M，使 | | M 对于(0,1)内的 x
记
奇函数
y 1
th x 双曲正切
o 1
y th x x
周期性:设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个 正数T，使得对于D中任一x和x+T有f(x+T)=f(x)恒 成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通 常指最小正周期。
y
2
o 2 x
周期为
周期为
(3)常用的特殊函数
定义域：R 值域：[-1,1]
4、三角函数 y=tan x y=cot x
偶函数
余切定义域：
奇函数
{x | x k , k Z }
4、三角函数 正割 y sec x
偶函数
1 cos x 1 余割 y csc x sin x
奇函数
正割定义域：
{x | x k

x 3、求函数 y 1 2 cos x 的定义域.
和f(0) 和f(1)并画图像.
4、函数y=xcosx+sinx是（ ） A.非奇非偶函数. B.既是 奇函数又是偶函数. C. 偶函数. D. 奇函数.
5、设函数f(x)=|x2-2x|+x-1，试将f(x)写成分段函数.
6.判断下列函数的奇偶性:
构成一个映射具备的三个基本要素： 1、集合X，即定义域Df=X 2、集合Y，即限制值域的范围：Rf是Y的子集 3、对应规则f,使每个x∈X，有惟一确定的 y=f(x)与之对应
3、函数
（1）函数的定义：
设X，Y是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合X中的任意一个数x，在集合Y 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称映射f： X→Y为从数集X到数集Y的一个函数，记作 y = f(x). 其中x叫作自变量，y叫做x的函数，集合X叫做函数 的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域，f叫做对应法则。 函数三要素:定义域，值域，对应法则。
映射的定义:设X,Y是两个非空的集合，如果按某一 个确定的对应关系f，使对于集合X中的任意一个元 素x，在集合Y中都有唯一的元素y与之对应，那么 就称对应f：X→Y为从集合X到集合Y的一个映射. “映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就 是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。 即，若f是集合X到集合Y的一个映射，那么对X中 的任何一个元素x，集合Y中都存在唯一的元素y与x 对应。我们称x是原像，y是像。元素关系就是y = f(x). 例如：设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，集合A中的元 素x按照对应关系“乘2加1”和集合B中的元素对应 ，这个对应是集合A到集合B的映射。
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规则的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 例如, 反正弦主值 定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 值域
2 x , 0 x 1 例4. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 1
1 ) , 并写出定义域及值域 . ) 求 f (1 及 f ( 2 t
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 表示法： ①列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
ai
n i 1
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n ②描述法： M x x 所具有的特征
函数部分复习和补充内容
一、集合、映射、函数 二、反函数 三、基本初等函数 四、复合函数、初等函数 五、极坐标

一、集合、映射、函数
1、集合 集合定义及表示法 集合之间的关系及运算 区间 邻域 2、映射 映射的定义 3、函数 函数的定义 函数的特性
1、集合 （1）集合定义及表示法
二、考核方式及评定方法
学期总成绩由平时成绩和期末考试成绩两部分组 成。其中平时成绩占30%，期末考试成绩占70%。 1、平时总分30分，由以下三部分组成： （1）出勤10分。无故旷课一节扣1分，迟到或早退 一次扣1分。事假或病假（有假条）不扣分，但期末 考勤不能得满分，缺课1/3及以上者取消期末考试资 格。 （2）平时作业10分。每次上交作业老师批改并记录， 无故不按时交作业一次扣2分，不认真完成作业视具 体情况酌情扣分。 （3）期中考试10分。笔试闭卷，卷面满分100分。 统一试卷、考试时间及评分标准。 2、期末考试占70分。笔试闭卷，卷面满分100分。 统一试卷、考试时间及评分标准。
无限区间
（4）邻域
定义：以点a为中心点的任何开区间 称为点a的邻域，记 作U(a)。 点a的δ邻域： 设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域， 记作U(a， δ)，点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域 的半径。表示与点a的距离小于δ的一切点x的全体。 点a的 邻域
点a的去心δ邻域： 点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作 Ů(a， δ)， 有时把开区间(a - δ, a)称为a的左δ邻域，把开 区间(a, a + δ)称为a的右δ邻域。 去心 邻域
x o
y x e
xx
例如,
e x e x y f ( x) 偶函数 2 记 ch x 双曲余弦
e x
y ch x
o
x
e e e 奇函数 又如, y f ( x) 2 记 sh x 双曲正弦
x
x
x
y
ex
y sh xx来自osh x e x e x x 再如, y ch x e e x
1 y sgn( x) 0 1
x0 x0 x0
1 x为有理数 ⑥狄利克莱函数 y D( x) 0 x为无理数
二、反函数
设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果 对于值域f(D)中的每一个y,在D中有且只有一个x使 得f(x)=y,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的 函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为 y=f -1 (x).
（2）三角函数常用公式 两角和与差:
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin