高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积(2)课时训

§2.4 向量的数量积(二)
课时目标
1．掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．
1．平面向量数量积的坐标表示
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于它们________________________． 2．平面向量的模
(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________. (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →
|＝________________. 3．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________________＝________________________. 4．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________.
一、填空题
1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 2．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝______.
3．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 5．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 6．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值为________． 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.
8．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________. 9．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．
二、解答题
11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .
12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．
能力提升
13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π12变动时，a 的范围是________．
14．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23
CA →，则MA →·MB →
＝
________.
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
§2.4 向量的数量积(二)
知识梳理
1．x 1x 2＋y 1y 2 对应坐标的乘积的和
2．(1)x 21＋y 2
1 (2)x 2－x 12＋y 2－y 12
3.
a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 2
2 4．x 1x 2＋y 1y 2＝0
作业设计 1．2
解析 由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2
＝0，
∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2
＝3.
∴|a |＝1＋n 2
＝2. 2．1
解析 a －2b ＝(1，3)，
(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 3．(－4,8)
解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2
＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 4．2 3
解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，
∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2
＝2 3.
5.655
解析 设a 、b 的夹角为θ，
则cos θ＝2×－4＋3×722＋32－42＋72
＝5
5， 故a 在b 方向上的投影为
|a |cos θ＝13×55＝65
5.
或直接根据a·b
|b |
计算a 在b 方向上的投影． 6.
1665
解析 ∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，
∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝16
65.
7.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
9
，－73
解析 设c ＝(x ，y )，
由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②
联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－7
3
)．
8．5
解析 ∵|a ＋b |＝52，
∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝5＋2×10＋b 2＝(52)2
， ∴|b |＝5.
9．－17
解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，
知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－1
7
.
10.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b |a||b |＝－2λ－1
5·λ2
＋1， ∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，
∴－1<－2λ－1
5·λ2
＋1
<0， ∴⎩⎨
⎧
－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，
即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，2λ＋1
2
<5λ2
＋5，
即⎩⎪⎨⎪⎧
λ>－12，
λ≠2，
∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．
11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)， 则有a·b ＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．
(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝10，
∴a (b·c )＝0a ＝0，
(a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．
12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →
＝(－3,3)， ∴AB →·AD →
＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →
，即AB ⊥AD .
(2)解 AB →⊥AD →
，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.
设C 点坐标为(x ，y )，则AB →
＝(1,1)， DC →
＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．
由于AC →＝(－2,4)，BD →
＝(－4,2)，
所以AC →·BD →
＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →
|＝2 5. 设AC →与BD →
夹角为θ，则
cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|
＝1620＝4
5>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为4
5.
13.⎝
⎛⎭
⎪⎫
33，1∪(1，3)
解析 已知OA →
＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12
，
即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π
3，
故B 1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1，
33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零， 故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，1∪(1，3)． 14．－2
解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →
＝(0,1)， MB →
＝(－3，－2)． ∴MA →·MB →
＝－2.。