平面和平面平行

P
E
EF // 平面PAB
E、G为中点， EG // PB
EG 平面PAB，PB 平面PAB
EG // 平面PAB
EF 平面EFG，EG 平面EFG EF EG E

F D
C
G
B A
平面EFG // 平面PAB EF 平面EFG
F M
O
探究四：面面平行得线面平行
例 4 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， E 、 F 、G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点，求证： FG // 平面PAB
EF // CD 解： E、F为中点，
EF // AB ABCD为正方形, CD // AB EF 平面PAB，AB 平面PAB
B
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面 的位置关系是________________.
相交
5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条 ,则这两平面的 位置关系是_______________.
平行
探究一：定理的理解
例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行， 则 与 平行； 则 与 平行； （2 ） 若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，
解：连接B1D1、EN, 则EN //A1B1
由中点可知：MN // B1D1 , EF // B1D1
D1 N A1
F
C1
AB//A1B1 EN //AB AN // BE AN // 平面EFDB A AN 平面EFDB, BE 平面EFDB AN 平面AMN , MN 平面AMN , AN MN N
AD1 B1D1 D1
平面AB1D1 // 平面C1BD

探究二 平面与平面平行的判定
变式 1： 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， M、 N、 E、 F 分别为棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1D1 的中点． 求证： 平面 AMN∥平面 EFDB.
直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a a ,b 图形表示： α P b a // , b // // β 符号表示： a b P
3．如果一个平面内有两条 相交直线 平面内的 相交直线
.
分别平行于另一个
，则这两个平面平行．
1. 平面 与平面 平行的条件可以是（ A. 内有无穷多条直线都与 平行 B.直线 a 与 , 都平行，且不在 和 内 C.直线 a ,直线 b ,且 a ∥ , b ∥ D. 内的任何直线都与 平行
问题：怎样使用水平仪
来检测桌面是否水平?

地面
思考
工人师傅常将水平仪 在桌面上交叉放置两 次，如果水平仪的气 泡两次都在中央,就 能判断桌面与地面 平行.
为什么工人师傅只检查两次且交叉放置 呢?

A
b a



地面

1．两个平面平行的定义：
两个平面没有公共点
2．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ // 平面PAO
由题，O为BD中点，又P为DD1中点 PD // BD1 BD1 // 平面PAO BD1 平面PAO，BD1 平面PAO
BQ // 平面PAO
当Q为CC1的中点时， PQ//DC, 又DC //AB PQ//AB, BQ // PA
由正方体可知，四边形 BDD1B1、 解： ABC1D1均为平行四边形
B1 D1 // BD
B1 D1 平面C1 BD B1 D1 // 平面C1 BD BD 平面C1 BD 同理：AD1 // 平面C1BD
AD1 平面AB1D1 , B1D1 平面AB1D1 ,
MN 平面EFDB, EF 平面EFDB
EF // MN
M
E B1

MN // 平面EFDB
D
B
C
平面AMN // 平面EFDB
探究三：面面平行的简单应用
例 3 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1v 中， O 为底 面 ABCD 的中心， P 是 DD1 的中点， 设 Q 是 CC1 上的点， 问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?



（3）平行于同一直线的两个平面平行；

探究一：定理的理解
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；

（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的 平面．

（6）平行于同一平面的两平面平行.
√
探究二：平面与平面平行的判定
例 2 如图已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ． 求证： 平 面 AB1D1 // 平面 C1BD ．
BQ 平面PAO，PA 平面PAO
BQ 平面D1BQ，BD1 平面D1BQ BQ BD1 B

平面D1BQ // 平面PAO
探究三：面面平行的简单应用
变式 2： 如图所示， 在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中，∠ABC＝60° ，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ 2a，点 E 在 PD 上，且 PE∶ED＝2∶1.那么，在棱 PC 上是 否存在一点 F， 使得 BF∥平面 AEC？证明你的结论．
a
D） .
2. 经过平面 外的一条直线 且与平面 l 平行的平面 （ A.有且只有一个 B.不存在 C.至多有一个 D.至少有一个
C ）.
3. 设有不同的直线 a , b ，及不同的平面 、 ，给出的三个命题 中正确命题的个数是（ ）. ①若 a ∥ , b ∥ ,则 a ∥ l1 ②若 a ∥ , ∥ ,则 a ∥ ③若 a , ∥ ,则 a ∥ .