甘肃省武威市中考数学一诊试题(含解析)

甘肃省武威市2015届中考数学一诊试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．=（）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2
2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）
A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010
3．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．下列运算中，结果正确的是（）
A．4a﹣a=3a B．a10÷a2=a5 C．a2+a3=a5D．a3•a4=a12
5．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成
折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（）
A．10吨B．9吨C．8吨D．7吨
7．一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）
A．x（5+x）=6 B．x（5﹣x）=6 C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=6
9．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
10．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数
关系式的图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.）
11．分解因式：2a2﹣4a+2= ．
12．不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是．
13．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．
14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．
15．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= ．
16．已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y= ．
17．在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线，该双曲线位于第一、三象限的概率是．
18．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共26分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：|﹣1|﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+．
20．先化简，再求值：，其中x=﹣．
21．为了推进农村新型合作医疗改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．（要求：不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹．）
22．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测
得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
23．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共40分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止．
（1）请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）；
（2）求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率．25．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（2013•临夏州）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
27．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，连接AF．
（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．
28．如图，二次函数的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（﹣1，m），B（n，n）（1）求A、B的坐标；
（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
①这样的点C有几个？
②能否将抛物线平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．
2015年甘肃省武威市中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．=（）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的定义解答．
【解答】解：∵33=27，
∴=3．
故选A．
【点评】本题考查了立方根的定义，是基础题，找出立方等于27的数是3是解题的关键．
2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）
A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．
【解答】解：350 000 000=3.5×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．
【解答】解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
D：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
4．下列运算中，结果正确的是（）
A．4a﹣a=3a B．a10÷a2=a5 C．a2+a3=a5D．a3•a4=a12
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，可判断各选项．
【解答】解：A、4a﹣a=3a，故本选项正确；
B、a10÷a2=a10﹣2=a8≠a5，故本选项错误；
C、a2+a3≠a5，故本选项错误；
D、根据a3•a4=a7，故a3•a4=a12本选项错误；
故选A．
【点评】此题考查了同类项的合并，同底数幂的乘除法则，属于基础题，解答本题的关键是掌握每部分的运算法则，难度一般．
5．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】平行线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°﹣20°=25°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成
折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（）
A．10吨B．9吨C．8吨D．7吨
【考点】折线统计图；算术平均数．
【分析】从图中得到6个月用水量的6个数据，然后根据平均数的概念计算这6个数据的平均数就可得到平均用水量．
【解答】解：这6个月的平均用水量：（8+12+10+15+6+9）÷6=10吨，
故选：A．
【点评】此题主要考查了折线图的应用以及平均数求法，要熟悉统计图，读懂统计图，熟练掌握平均数的计算方法是解题关键．
7．一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣2，
∴△=b2﹣4ac=1+8=9＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）
A．x（5+x）=6 B．x（5﹣x）=6 C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．【解答】解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，
由题意得：x（5﹣x）=6，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．
9．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】转化思想．
【分析】此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x﹣1），然后分析．
【解答】解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），
则它的图象一定过点（1，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把b当做变量，令其系数为0进行求解．
10．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】本题考查动点函数图象的问题．
【解答】解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小，
当C与O重合时，y有最大值，
∵x=0，y=AB
x=AB﹣AB时，DE过点O，此时：DE=AB
x=AB，y=AB
所以，随着x的增大，y先增后降，类抛物线
故选：A．
【点评】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
本题也可以通过求函数解析式的方法求解，不过这种方法比较复杂．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.）
11．分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）
=2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是1，2，3 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】计算题．
【分析】先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解．
【解答】解：2x+9≥3（x+2），
去括号得，2x+9≥3x+6，
移项得，2x﹣3x≥6﹣9，
合并同类项得，﹣x≥﹣3，
系数化为1得，x≤3，
故其正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键．
13．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是8 cm．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度．
【解答】解：如图，AD是BC边上的高线．
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=CD=6cm，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．
故答案是：8．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】压轴题．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
15．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=60°．
【考点】特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，
∴∠A=∠B=60°．
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
16．已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y= ﹣1或﹣7 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0可得x可能的值，进而得到y的值，相减即可．
【解答】解：由题意得x2﹣9=0，
解得x=±3，
∴y=4，
∴x﹣y=﹣1或﹣7．
故答案为﹣1或﹣7．
【点评】考查二次根式有意义的相关计算；得到x可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0．
17．在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线，
该双曲线位于第一、三象限的概率是．
【考点】概率公式；反比例函数的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据概率求法直接列举出所有符合要求点的坐标，再根据只有（1，2），（2，1）符合xy=k
＞0，得出答案即可．
【解答】解：∵在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，
∴符合要求的点有（﹣1，1），（﹣1，2），（1，2），（1，﹣1），（2，1），（2，﹣1），
∴该双曲线位于第一、三象限时，xy=k＞0，
只有（1，2），（2，1）符合xy=k＞0，
∴该双曲线位于第一、三象限的概率是：2÷6=，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用以及反比例函数的性质，根据概率公式得出符合要求的点的坐标是解决问题的关键．
18．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= 2或0 ．
【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．
【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．
①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；
②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3﹣1=2，解得t=0．
∴t为2或0．
故答案为：2或0．
【点评】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共26分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：|﹣1|﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】根据绝对值的性质，30°角的正弦等于，任何非0数的0次幂等于1，有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．
【解答】解：|﹣1|﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+（）﹣2，
=1﹣2×+1+4，
=1﹣1+1+4，
=5．
【点评】本题考查了实数的运算，主要有绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，是基础运算题，特殊角的三角函数值容易混淆，需熟练掌握．
20．先化简，再求值：，其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先通分计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分，最后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=•=x﹣1，
当x=﹣时，原式=﹣﹣1=﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意把分式的分子、分母因式分解．
21．为了推进农村新型合作医疗改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．（要求：不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹．）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】连接AB，AC，作出线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为P点．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
22．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测
得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE==x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=3，
∴BC=3，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，
∴AF==（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴（x﹣3）=3+x，
解得x=9（米）．
答：树高为9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
23．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】（1）由题意，根据对称性得到B的横坐标为1，确定出C的坐标，根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，确定出A坐标，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式．
【解答】解：（1）∵直线y=mx与双曲线y=相交于A（﹣1，a）、B两点，
∴B点横坐标为1，即C（1，0），
∵△AOC的面积为1，
∴A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入y=mx，y=可得m=﹣2，n=﹣2；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）
∴，
解得k=﹣1，b=1，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，
待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共40分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止．
（1）请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）；
（2）求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）首先此题需三步完成，所以采用树状图法求解比较简单；然后依据树状图分析所有等可能的出现结果，根据概率公式即可求出该事件的概率；
（2）首先求得出手一次出现“两同一异”的所有情况，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．【解答】解：（1）画树状图得：
∴共有8种等可能的结果：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB；
（2）∵甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的
有6种情况，
∴出手一次出现“两同一异”的概率为： =．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（2013•临夏州）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
27．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，
连接AF．
（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．
【考点】切线的判定；三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；压轴题；探究型．
【分析】（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA．
（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌△OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切．
【解答】证明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD
∴，
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．
（2）直线AF与⊙O相切．
证明：连接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线，
∴=，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE，AO⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切．
【点评】本题考查相似三角形的判定和切线的判定．
28．如图，二次函数的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（﹣1，m），B（n，n）（1）求A、B的坐标；
（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
①这样的点C有几个？
②能否将抛物线平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）把A（﹣1，m）代入函数式而解得m的值，同理解得n值，从而得到A，B的坐标；（2）①由题意可知：这样的C点有3个，
②能，分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程．
【解答】解：（1）∵y=的图象过点A（﹣1，m）
∴
即m=1
同理：n=
解之，得n=0（舍）或n=2
∴A（﹣1，1），B（2，2）
（2）①由题意可知：这样的C点有3个．
如图：当OA是对角线时，C是过O平行于AB的直线，以及过A平行于OB的直线的交点，
设直线OB的解析式是y=kx，则2=2k，解得：k=1，
设直线AC的解析式是：y=x+c，则﹣1+c=1，解得：c=2，直线的解析式是y=x+2，
设直线AB的解析式是：y=mx+n，则，解得：，即直线的解析式是：y=x+，
设直线OC的解析式是：y=x，
解方程组，解得：，
则C的坐标是（﹣3，﹣1）；
同理，当AB是对角线时，C的坐标是（1，3）；
OB是对角线时，C的坐标是（3，1）．
故：C1（﹣3，﹣1），C2（1，3），C3（3，1）．
②能
当平移后的抛物线经过A、C1两个点时，将B点向左平移3个单位再向下平移1个单位．使点B移到A点，这时A、C1两点的抛物线的解析式为y+1=
即y=
附：另两条平移后抛物线的解析式分别为：
i）经过A、C2两点的抛物线的解析式为
ii）设经过A、C3两点的抛物线的解析式为，
OC3可看作线段AB向右平移1个单位再向下平移1个单位得到m，
则C3（3，1）
依题意，得，
解得．
故经过A、C3两点的抛物线的解析式为．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，（1）把A（﹣1，m）代入函数式而解得；（2）①由题意可知点C有几个，②分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程．也从而确定能．本题有一定难度，在图象上作好辅助线，考虑全面，而不至于漏解．。