【数学】湖南省岳阳市岳阳县一中2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)

湖南省岳阳市岳阳县一中2016-2017学年高一（下）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．（5分）设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁u A）∪（∁u B）等于（）
A．{1} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}
2．（5分）直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是（）
A．K AB=1 B．K AB=﹣1 C．D．K AB不存在
3．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）
A．B．C．﹣D．﹣
4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．π C．8πD．4π
5．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若α⊥β，则l∥m；
③若l∥m，则α⊥β；
④若l⊥m，则α∥β．
其中，正确命题的序号是（）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
6．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
7．（5分）圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0
C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=0
8．（5分）设点P是⊙C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8上的点，若点P到直线l：x+y﹣4=0的距离为，则这样的点P共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．9π+42B．36π+18C． D．
10．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（ln x）＞f（1），则x的取值范围是（）
A．（e﹣1，1）B．（0，e﹣1）∪（1，+∞） C．（e﹣1，e）D．（0，1）∪（e，+∞）11．（5分）函数f（x）=2sin|x﹣|的部分图象是（）
A．B．
C．D．
12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a （x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）
A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知直线4x﹣ay+3=0和直线2x+y﹣1=0平行，则a=．
14．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为．15．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是（填序号）
16．（5分）如图在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O为△ABC的外心，则=，=．
三、解答题（本大题共6道小题，满分70分）
17．（10分）若函数f（x）=sin（2x+φ）+1（﹣π＜φ＜0）图象的一个对称中心坐标为．（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递增区间．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；
（2）AC1∥平面B1CD．
19．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．
20．（12分）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）确定函数f（x）的解析式．
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．
（Ⅰ）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
22．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．C
【解析】∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，
∴∁u A={4}，∁u B={0，1}，
则（∁u A）∪（∁u B）={0，1，4}．
2．A
【解析】直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是：K AB==1．3．D
【解析】法1°：∵cos（﹣α）=，
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，
∴（1+sin2α）=，
∴sin2α=2×﹣1=﹣，
4．A
【解析】正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为=2，
即为球的直径，所以半径为，
所以球的表面积为=12π．
5．C
【解析】已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，
对于①，若α∥β，得到直线l⊥平面β，所以l⊥m；故①正确；
对于②，若α⊥β，直线l在β内或者l∥β，则l与m的位置关系不确定；
对于③，若l∥m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理可得α⊥β；故③正确；
对于④，若l⊥m，则α与β可能相交；故④错误；
6．A
【解析】，；
∴；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
7．B
【解析】∵圆心（2，﹣1）到直线3x﹣4y+5=0的距离d==3，
∴所求圆的半径r=3，
则所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=9，即x2+y2﹣4x+2y﹣4=0．
8．C
【解析】⊙C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心坐标为（1，1），半径为．圆心C（1，1）到直线l：x+y﹣4=0的距离d=．
如图：
则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上．
9．D
【解析】由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，
下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，
上面是一个球，球的直径是3，
该几何体的体积是两个体积之和，
四棱柱的体积3×3×2=18，
球的体积是，
∴几何体的体积是18+，
10．C
【解析】∵函数f（x）是R上的偶函数，
在[0，+∞）上是减函数，f（ln x）＞f（1），
∴当ln x＞0时，因为f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，
所以f（ln x）＞f（1）等价于ln x＜1，解得1＜x＜e；
当ln x＜0时，﹣ln x＞0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，
得f（ln x）＞f（1）等价于f（﹣ln x）＞f（1），
由函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，得到﹣ln x＜1，即ln x＞﹣1，
解得e﹣1＜x＜1．
当x=1时，ln x=0，f（ln x）＞f（1）成立．
综上所述，e﹣1＜x＜e．
∴x的取值范围是：（e﹣1，e）．
11．C
【解析】∵函数f（x）=2sin|x﹣|的图象关于x=对称，从而可排除A，B，D
12．D
【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），
∴f（x﹣2）=f（x+2）=f（2﹣x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．
当x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，此时f（﹣x）=（）﹣x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，
且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1．
分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=log a（x+2）（图中红色曲线）图象如图：
由在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和y=log a（x+2）图象有3个交点，
故有，求得＜a＜2，
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．﹣2
【解析】∵直线4x﹣ay+3=0和直线2x+y﹣1=0平行，
∴，解得a=﹣2，
故答案为﹣2．
14．0或4
【解析】∵直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，
∴圆心（a，0）到直线x﹣y=2的距离d==，
∴，
解得a=0或a=4，
故答案为：0或4．
15．②③④
【解析】①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④
16．2
【解析】设外接圆半径为R，则═==2
同理═=
所以=
故答案为：2，﹣．
三、解答题（本大题共6道小题，满分70分）
17．解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin（2x+φ）+1（﹣π＜φ＜0）图象的一个对称中心坐标为，得2×+φ=kπ，k∈Z，∴φ=﹣+kπ，k∈Z，
又∵﹣π＜φ＜0，∴k=0时，得φ=﹣；
（Ⅱ）f（x）=sin（2x﹣）+1，
由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．
18．证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面BCC1B1
∴AC⊥BC1．
（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D 是AB的中点，
∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，
又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD．
19．解：（1）直线l的方程（a+1）x+y+2﹣a=0化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．
∵直线l不经过第二象限，
∴，解得a≤﹣1．
∴实数a的取值范围是a≤﹣1，
（2）当x=0时，y=a﹣2，y=0时，x=，
∴|（a﹣2）•|=2，
解得a=0或a=8．
20．（1）解：函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
则f（0）=0，即有b=0，
且f（）=，则，解得，a=1，
则函数f（x）的解析式：f（x）=（﹣1＜x＜1）；
（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=
=，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，
则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），
即有，解得，
则有0＜t＜，
即解集为（0，）．
21．（Ⅰ）证明：由于底面ABCD是矩形，
故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，
所以平面PCD⊥平面ABCD．…6分；
（Ⅱ）解：在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，由于平面PCD⊥平面ABCD，而直线CD是平面PCD与平面ABCD的交线，
故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角…8分在△PDC中，由于PD=CD=2，∠PDC=120°，知∠PDE=60°．，
在Rt△PEC中，PE=PD sin60°=3，DE=12，PD=1，
且BE===，
故在Rt△PEB中，PB==，sin∠PBE==．
所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为．…12分．
22．解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，
所以，
即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．
故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．
（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，
由于a＞0，解得a＞，
所以实数a的取值范围是（）．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为，
l的方程为，
即x+ay+2﹣4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．
由于，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．。