第三章+导数及其应用+本章练测(人教B版选修1-1).docx

第三章 导数及其应用 （选修1-1人教B 版）
建议用时 实际用时
满分 实际得分
120分钟
150分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.若0()3f x =-′，则000
()(3)
lim
h f x h f x h h →+--
=（ ）
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12- 2．函数()323922y x x x x =---<<有
（ ）
A ．极大值5，极小值27-
B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值 3．函数x
x y 1
42
+
=的单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),2
1(+∞ D ．),1(+∞ 4.函数x
x
y ln =
的最大值为（ ） A ．1e - B ．e C ．2e D ．
3
10 5.已知曲线32
114732
y x x x =
++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216
sin 17
α=，则此切线的方程为
（ ）
A.470x y -+=或
Ｂ.
Ｃ.470x y --=或
Ｄ.470x y --=
6.抛物线 在点M
处的切线倾斜角 是
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数， 且当x ∈(－∞，0)时，不等式 ＋ 恒
成立.若 ＝ ， ＝ ，
＝
，则a ，b ，c 的大小关系 是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8.函数
)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内的极小值点有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72
x ，则f(－a 2
)与f(－
1)的大小关系为( )
A ．f(－a 2
) f(－1)
B ．f(－a 2
) f(－1)
C ．f(－a 2
) f(－1)
D ．f(－a 2
)与f(－1)的大小关系不确定
10.已知函数f(x)＝x 3＋(1－a)x 2
－a(a ＋2)x ＋b －2(a ≠1)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率是－3，则不等式组 ，
所确定的平面区域在圆x 2＋y 2
＝4内的面积为( )
A.π
B. π
2
C. π
3
D.2π
11.已知函数f(x)＝x 3＋mx 2
＋(m ＋6)x ＋1既存在极
大值又存在极小值，则实数m 的取值范围 是( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 12.设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f(x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ） A ．(－3，0)∪(3，+∞) B ．(－3，0)∪(0，3)
C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)
D ．(－∞，－3)∪(0，3)
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，
则______.a = 14．若
32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为 .
15.已知sin (ππ)1cos x
y x x
=
∈-+，，，当2y '=时，
x = ．
16.在曲线 － 的切线斜率中斜
率最小的切线方程是 . 三、解答题（本题共5小题，共74分） 17.（14分）求下列函数的导数：
(1)
；
(2) ；
(3)y=(1- )
.
18.（14分）已知
c bx ax x f ++=24)( 的图象经
过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.
（1）求)(x f y =的解析式；
（2）求)(x f y =的单调递增区间.
19.（14分）已知函数
2()ln (0).f x x ax x a =-->
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜
率为-2，求a 的值以及切线方程；
（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.
20.（16分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的
斜率；
(2)求()f x 的单调区间；
(3)设2
()22g x x x =-+，若对任意
1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围.
21.（16分）已知平面向量 ，
，
，若存在不同时为0的实数k 和t ，使
2(3),,t k t =+-=-+x a b y a b 且⊥x y ，试确定函数()k f t =的单调区间.
第三章导数及其应用（选修1-1人教B版）答题纸
得分：_________一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题
13. 14. 15. 16. ___________
三、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
第三章 导数及其应用 （选修1-1人教B 版） 答案
一、选择题 1．D 解析：'000000
0()(3)()(3)
lim
4lim 4()12.4h h f x h f x h f x h f x h f x h h
→→+--+--===-
2．C 解析：令2
3690,1y x x x =--==-′得或 3 当 3时，不满足题意，故舍去.
当x 在(－2,2)上变化时， ， 随 的变化情况如下表：
x
(－2，－1)
－1
（－1，2）
′
＋ 0 － y
5
由上表可知，函数y 有极大值5，无极小值.
3．C 解析：令33
22181180,810,.2
x y x x x x x -=-=>->>′即得
4．A 解析：令22(ln )ln 1ln 0, e.
x x x x x
y x x x -⋅-=
===′′′得
当x 变化时， ， 随x 的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e ，+∞)
＋ 0 － y
由上表可知，函数y
在x=e 时取得最大值，最大值为
. 5.C 解析：由
得
，则切线的斜率 .因为 ，当
时， 或 ，此时点Q 的坐标为(0， )或
，切线方程为 或
，即 或
当 时，没有满足题意的点,故舍去.
6.B 解析：因为 ，所以抛物线 在点
处的切线斜率为1,倾斜角为 . 7.C 解析：设g(x)＝xf(x)，由y ＝f(x)为R 上的奇函数，可知g(x)为R 上的偶函数．
而g ′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf ′(x).
由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增.
β
α
x ＋3y=0
x －2y=0
y x
Ｏ－２
－２
2
2
由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为 ， ，
＝g(－2)＝g(2)，且 ，故 . 8.A 解析：若 在 处取得极小值点，则
,在 的左侧 ，在 的右侧 .据此可知，f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个. 9.A 解析：由题意可得 ＝ － －
. 由 ＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝7
3
.
当 － 时， ， 为增函数；
当－
时， ， 为减函数；
当x>
时， ， 为增函数.
所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值.
又因为－a 2≤0，故f(－a 2
)≤ f(－1)．
10.B 解析：由题意得 ＝ ＋ － － ＋ ．
则 ，
，
解得 ，
则不等式组为 ，
如图所示，阴影部分的面积即为所求．
易知图中两锐角的正切值分别是 ＝ ， ＝
.
设两直线的夹角为 ，则tan ＝tan( ＋ )＝12＋13
1－12×
13
＝1，
所以 ＝π
4，而圆的半径是2，
所以不等式组所确定的区域在圆内的面积 ＝
＝ .
11.B 解析：因为函数f(x)＝x 3＋mx 2
＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值， 所以方程 ＝ 有两个不同的实数根.
由 得m 的取值范围为 ∞， ， ∞ ．
12.D 解析：因为 ＞ ，即 ＞ ， 令 ，则 在x ＜0时是增函数.
又因为 ， 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，
所以 为奇函数，关于原点对称，所以 在x ＞0时也是增函数． 因为 ，所以 ，
所以当 时， 可转化为 ，即 ； 当 时， 可转化为 ，即 . 二、填空题
13.
解析：设切点P(x 0，y 0).因为 ，所以 .
由题意知x 0-y 0-1=0， ①
y 0=ax 02
， ②
2ax 0=1， ③
由①②③，得
．
14．2
3b ac ≤ 解析：由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知 ，则 ，
即 15.
解析：因为
， ， ，所以
.
16.3x －y －11＝0 解析：因为 ，令切线的斜率 ， 当k 取最小值时， ，此时切线的斜率为3，切点为(-1,-14)， 切线方程为 ，即 . 三、解答题
17.解：(1)因为
，所以
(2)因为 = ， 所以 (3)因为
=
=
，
所以
=
18．解：（1）因为
c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c =. ①
'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+=. ②
由题意得切点为(1,1)-，则
c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，
得 . ③
联立①②③得
，
， ，
所以
.
（2）令 ，得 ，
，
当x 变化时， ， 随 的变化情况如下表： x
，
， 0 ，
，
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋
由上表可知，函数 的单调递增区间为
， ，
， 19.解：(1)
由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，
此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2) ' ＝－
，令 ＝1－8a ．
当a ≥
1
8
时， ≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0＜a ＜
1
8
时， ＞0，方程 － ＋1＝0有两个不相等的正根 ， ， 不妨设 ＜ ，
则当 ， ，＋ 时，f '(x)＜0，当 ， 时，f '(x)＞0， 这时f(x)不是单调函数． 综上，a 的取值范围是[
1
8
，＋ )． 20.解：(1)由已知1
()2(0)f x x x
'=+
>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.
(2)11
'()(0)ax f x a x x x
+=+=>.
①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >，
所以函数()f x 的单调递增区间为 ， . ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a
=-
. 在区间1
(0,)a
-上，()0f x '>；在区间1(,)a
-+∞上，()0f x '<， 所以函数()f x 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
， .
(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.
由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在3
3
(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)
当0a <时，函数()f x 在 ，
上单调递增，在
， 上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11
()1ln(
)1ln()f a a a
-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31
e
a <-.
21．解：由13
(3,1),(,
)22
=-=a b 得0,2, 1.∙===a b a b 22222[(3)]()0,(3)(3)0t k t k t k t t t ∙=+-∙-+=-+∙--∙+-=即，x y a b a b a a b a b b
331
430,()(3).4
k t t k f t t t -+-===-即可化为
令
，得 ，
当t 变化时， ， 随 的变化情况如下表：
t
，
－1 (－1，1) 1 （1，+ ）
＋ 0 － 0 ＋
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
由上表可知，的单调递增区间为，，，，单调递减区间为，
桑水。