安徽省涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学试题(文)

安徽省涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考（文）
试题说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，试卷满分120分。

注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教必修5+选修1-1第一.二章。

第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．命题“对任意的,sin 1x x ∈≤R ”的否定是 A ．不存在,sin 1x x ∈≤R B ．存在,sin 1x x ∈≤R C ．存在,sin 1x x ∈>R
D ．对任意的,sin 1x x ∈>R
2．已知数列2,3,14,19,26,,则12是该数列的
A ．第28项
B ．第29项
C ．第30项
D ．第31项
3. 已知实数m ，n 满足0m n +≥，则命题“若0mn ≥，则0m ≥且0n ≥”的逆否命题为 A ．若0mn <，则0m ≥且0n ≥ B ．若0mn ≥，则0m <或0n < C ．若0m ≥且0n ≥，则0mn ≥
D ．若0m <或0n <，则0mn <
4．若0b a <<，0d c <<，则 A ．bd ac < B ．a b
c d
> C ．a c b d ->-
D ．a c b d +>+
5．已知双曲线2
2
2:1y C x b
-=的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为
A ．33
y x =±
B ．3
2
y x =±
C ．3y x =±
D ．5y x =±
6．若实数x ，y 满足约束条件220202x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
，则z x y =-的最大值为
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．4-
7．已知a ，b ∈R ，且220a b -+=，则1
24a
b
+的最小值为 A ．2
B ．1
C ．1
2
D ．
14
8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，2
3174a a a =，则5a =
A ．
34
B ．
3
8
C ．12
D ．24
9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin22sin 0b A a B +=，22b c =，
则
c
a = A ．
1313
B ．
5
5
C ．13
D ．
33
10．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B
两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为
A ．22
1189x y +=
B ．22
13627
x y +=
C ．22
12718
x y +=
D ．22
14536
x y +=
11．已知双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双
曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是
A ．(1,2]
B ．(1,2)
C ．(1,2)
D ．(2,)+∞
12．已知1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上
存在一点P 使得2
21PF PF c
⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为 A ．35
(
,]33
B ．32[
,]32
C ．3[31,
]2
-
D ．2[
,1)2
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合1
{|
0}1
x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__．
14．椭圆22
1167
x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为_________．
15．在ABC △中，D 为边AB 上一点，且DA DC =，3
B π
=
，2BC =，BCD △的面积为3，则AC =___．
16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25S =，131n n a S +=+，则n S =______________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知命题:[2,1]p x ∀∈-，20x m +≤；:04q m <<． （1）若p ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；
（2））若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为5，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点(0,1)，倾斜角为45︒的直线l 与双曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，
求OAB △的面积．
19. （本小题满分12分）
已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为11{|}32
x x <<． （1）求实数a ，c 的值；
（2）解不关于x 的不等式2
()0ax ac b x bc +++≥．
20．（本小题满分12分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知(sin sin )sin sin()a A B b B c A B ++=+．
（1）求角C ；
（2）若2a =，33c =，求ABC △的面积S ．
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足123
a =-，123
34n n n a a a +--=+．
（1）求证：数列1
{
}1
n a +为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足31
n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(1，
6
2
)，左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为42．（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点F 2作OQ 的平行
线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，求2
||MN
OQ 的值．
——★ 参*考*答*案 ★——
一. 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
B
D
D
C
A
B
D
A
A
C
B
二. 填空题：
13. 『1,+∞) 14. 2.5 15. 32 16. 3
14-n
三. 解答题：
17．（本小题满分10分）
『解析』（1）因为p ⌝为假命题，所以p 为真命题． 当p 为真命题时，[2,1]x ∀∈-，20x m +≤， 即[2,1]x ∀∈-，2m x ≤-，
因为[2,1]x ∈-，所以2
[4,0]x -∈-，所以4m ≤-， 故实数m 的取值范围为(,4]-∞-．
（2）因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以命题p ，q 一真一假．
若p 真q 假，则4
04m m m ≤-⎧⎨≤≥⎩
或，即4m ≤-；
若p 假q 真，则4
04
m m >-⎧⎨
<<⎩，即04m <<．
综上，4m ≤-或04m <<， 故实数m 的取值范围为(,4]
(0,4)-∞-．
18．（本小题满分12分）『答案』（1）2
2
1
4
y x -=；（2）43．
『解析』（1）依题意可得222524c
a b c a b ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
，解得1,2,5a b c ===，
∴双曲线的标准方程为2
2
14
y x -=．
（2）由题可得直线l 的方程为1y x =+，
设11(),A x y ，22(),B x y ，由22
144
y x x y =+⎧⎨-=⎩可得2
3250x x --=， 由根与系数关系可得1223x x +=
，1253
x x =-， 则22121242082
149)3(23
AB k x x x x =+⋅+-=
⨯
+=
． 原点到直线l 的距离为22d =，于是118224
22323
OAB S AB d =⋅⋅=⨯⨯=△， ∴OAB △的面积为
43
． 19．（本小题满分12分）『答案』（1）6a =-，1c =-；（2）见解析．
『解析』因为关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为11{|}32
x x <<， 所以0a <，且
12，1
3
是方程250ax x c ++>的两个实数根， 则
11532a +=-，1132c
a ⨯=，上述两式联立解得61
a c =-⎧⎨=-⎩． （2）由（1）知6a =-，1c =-，所以原不等式即2
6(6)0x b x b -++-≥，
即2
6(6)0x b x b -++≤，即(6)(1)0x b x --≤．
①当
16b >，即6b >时，原不等式的解集为{|1}6b x x ≤≤； ②当16b
=，即6b =时，原不等式的解集为{|1}x x =；
③当16b <，即6b <时，原不等式的解集为{|1}6
b
x x ≤≤．
综上所述，当6b >时，原不等式的解集为{|1}6
b
x x ≤≤；当6b =时，原不等式的解集为{|1}x x =；当6b <时，原不等式的解集为{|1}6
b
x x ≤≤． 20.（本小题满分12分）『答案』（1）2π3C =
；（2）6232
-． 『解析』（1）因为πA B C +=-，所以sin()sin(π)sin A B C C +=-=， 因为(sin sin )sin sin()a A B b B c A B ++=+， 所以(sin sin )sin sin a A B b B c C ++=，
由正弦定理可得2
2
()a a b b c ++=，即222a ab b c ++=，所以222a b c ab +-=-．
由余弦定理可得2221
cos 22
a b c C ab +-==-．
因为0C <<π，所以2π3
C =
． （2）由（1）可知222c a b ab =++，
因为2a =，33c =，所以222(33)22b b =++， 即22230b b +-=，解得261b =-（负值舍去）， 所以ABC △的面积112π623
sin 2(261)sin 2232
S ab C -=
=⨯⨯-=
． 21．（本小题满分12分）『答案』（1）证明见解析，113n a n =
-；（2）2219
344
n n n S +-=⨯+． 『解析』（1）因为12334
n n n a a a +--=
+，所以1231113434n n n n n a a a a a +--++=+=++，
所以
13411131
1n n n n a a a a ++=
+=+++，所以
111
311
n n a a +-=++， 所以数列1{
}1n a +是首项为1131
a =+，公差为3的等差数列， 所以
1
31n n a =+，所以113n a n
=-．
（2）由（1）可知1
13n a n
=
-，所以1313n n n n b a n +==⋅+， 所以23
11323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
341231323(1)33n n n S n n ++=⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
上述两式相减可得23
1223333n n n S n ++-=++
+-⨯
22331331()n n n +-=-⨯-
29
3222
1n n +=
-⨯-， 所以2219
344n n n S +-=⨯+ 22．（本小题满分12分）『答案』（1）22
2
41x y +=；
（2）1． 『解析』（1）由题意可知242ab =，
22
1123
a b +=，解得2a =，2b =， 故椭圆C 的标准方程为22
2
41x y +=．
（2）设11()M x y ,，22()N x y ,，33()Q x y ,，直线OQ ：x my =，则直线MN ：2x my =+，
由22
142x my x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得222224242m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以223223
24242m
x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， 所以222
2
23
3
222
444(1)
222
m m OQ x y m m m +=+=+=+++， 由222142
x my x y ⎧=+⎪⎨+
=⎪⎩，得22(2)2220m y my ++-=，故122222m y y m +=-+，
122
2
2
y y m =-
+， 所以22
2
2
21121224(1)
11()||42
m MN m y y m y y y y m +=+-=++-=+，
所以
2
2
2
2
2
4(1)
21
4(1)
||
2
m
MN m
m
OQ
m
+
+
==
+
+
．。