高考数学复习专题05不等式基本不等式及其应用备考策略
高中数学复习：基本不等式及其应用
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)
a2
2
b2
≥
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4) b + a ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
ab
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3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是 ⑦ 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
C.81
D.82
答案
C
xy≤
x
2
y
2
=
18 2
2
=81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C.
4.若x>1,则x+ 4 的最小值为
.
x 1
答案 5
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解析 x+ 4 =x-1+ 4 +1≥4+1=5,当且仅当x-1= 4 ,即x=3时等号成
x 1
x 1
x 1
立.
考点突破
考点突破
x 1
x 1
即x= 3+1时,等号成立.
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命题方向二 利用常数代换法求最值
典例2
若直线2mx-Biblioteka y-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),则m1
2
+n
的最小值为
( D)
A.2 B.6 C.12 D.3+2 2
答案 D
高三数学一轮复习-基本不等式及其应用 教案设计
基本不等式及其应用一、教学分析设计【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。
在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。
在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。
并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。
基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。
基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。
教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。
《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。
通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。
基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。
【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。
从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的能力。
【目标分析】结果性目标：1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式；2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形；3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。
2024年高考数学----基本不等式及不等式的应用
成立仅用来验证最值是否能取到,不能用来求值.
3.一个重要的不等式链条:
1
2
1
≤
ab ≤ a b ≤
2
a2 b2
(a>0,b>0)
2
ab
上述链条中的任意两个中有将“和式”转化为“积式”或将“积式”
转化为“和式”的放缩功能,并且有很多不同的变形,如:a2+b2≥2ab, a b
2
≤
a2
2
b2
2)a+b≥2 ab (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
3)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
4)a+ 1 ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ 1 ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取
a
a
等号.
注意:运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.另外,等号
4
注意:1.求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一 正”是指两数均为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积 为定值,“三相等”是指必须满足等号成立的条件. 2.连续使用基本不等式时,等号要同时成立.
综合篇
考法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略 1.恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒 成立⇔f(x)min>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max< B(x∈D). 2.能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使不 等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成 立⇔f(x)min<B(x∈D). 3.恰成立问题:不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式 f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.
【备战】高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值 理(含解析)
专题五 函数的单调性与最值【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点．4.常与函数的图象及其他性质交汇命题．5.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现. 【热点题型】题型一 考查函数的单调性例1．探讨函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性．【提分秘籍】1．函数的单调区间是其定义域的子集．2．由函数单调性的定义可知，若函数f (x )在区间D 上是增(减)函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)((f (x 1)>f (x 2))．3．一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．4．两函数f (x )、g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )的单调性与其正负有关，1f x与f (x )是否为0有关，切不可盲目类比．5.判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是：取值⇨作差商变形⇨确定符号⇨得出结论 (2)利用导数的基本步骤是： 求导函数⇨确定符号⇨得出结论 【举一反三】设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③f x 1－f x 2x 1－x 2>0；④f x 1－f x 2x 1－x 2<0.其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．【热点题型】题型二 求函数的单调区间例2． 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x k ，k ，fxk取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：由f (x )> 12，得－1<x <1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1<x <1，2x，x ≤－1，故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案：C 【提分秘籍】求函数的单调区间的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点，最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]【热点题型】题型三 由函数的单调性求参数的范围【例3】 (1)定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．f (3)＜f (－4)＜f (－π) B ．f (－π)＜f (－4)＜f (3) C ．f (3)＜f (－π)＜f (－4) D ．f (－4)＜f (－π)＜f (3)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【提分秘籍】单调性的应用常涉及大小比较，解不等式，求最值及已知单调性求参数范围等问题，解决时要注意等价转化思想与数形结合思想的运用．【举一反三】已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R)． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数； 当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0，x 1x 2>0.要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 只需f (x 1)－f (x 2)<0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16. 【热点题型】题型四 函数的最值问题（换元法）例4、已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．【提分秘籍】换元法解题模板第一步：换元 确定解析式中的某一部分作为一个新的变元 第二步：定范围 根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围M .第三步：转化 将问题转化为关于新变元的一个函数在区间M 上的最值问题． 第四步：求最值 利用基本初等函数求最值得原函数的最值． 【举一反三】求y＝x－1－2x函数的值域：题型四函数的最值问题（数形结合法）例5、用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．【答案】6【提分秘籍】数形结合法解题模板对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题，解题步骤是：第一步：数变形根据函数解析式的特征，构造图形转化为求几何中的最值．第二步：解形利用几何方法解决图形中的最值．第三步：还形为数将几何中的最值还原为函数的最值．第四步：回顾反思利用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征．【举一反三】函数y＝x＋2＋16＋x－2＋4的值域为________．【高考风向标】1．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.2．（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)3．（2014·四川卷）设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．【答案】1 【解析】由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 4．（2014·四川卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R)有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④ 【解析】若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．5．（2014·四川卷）已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．(2)设x0为f (x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．6．（2013·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．7．（2013·四川卷）设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y ＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )A．[1，e] B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]8．（2013·四川卷）函数y＝x33x－1的图像大致是( )图1－59．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0【随堂巩固】1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0得x >23.2．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．163．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C 由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )＝2x ＋4－x ，则函数f (x )的值域为( ) A ．[2,4]B ．[0,2 5 ]C ．[4,2 5 ]D ．[2,2 5 ]8．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2]10．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．11．函数y ＝x ＋1＋x －－x的定义域是________．12．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，即y max ＝14.答案：1413．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2] 14．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x .15．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.16．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．17．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．18．若函数f(x)＝a2－x2＋a－x＋2a＋1的定义域为R，求实数a的取值范围．。
基本不等式及其应用-高中数学知识点讲解
基本不等式及其应用1．基本不等式及其应用【概述】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它푎+푏们的算术平均数．公式为：2푎+푏≥푎푏（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2 或者a+b≥2푎푏．常常用于求最2值和值域．【实例解析】例 1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．2푎A：a，b 均为负数，则푏+푏2푎≥2．B：푥2+2푥2+1≥2．C：푠푖푛푥+4푠푖푛푥≥4．D：푎∈푅+，(3―푎)(1―3푎)≤0．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D 均满足条件．对于C 选项中 sin x≠±2，不满足“相等”的条件，再者 sin x 可以取到负值．故选：C．A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B 分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例 2：利用基本不等式求푦=푥푥2+2的最值？当 0＜x＜1 时，如何求푦=푥+1푥2+2的最大值．解：当x＝0 时，y＝0，当x≠0 时，푦=푥푥2+2=1푥+2，푥用基本不等式若x＞0 时，0＜y ≤2，4若x＜0 时，―24≤y＜0，1/ 5综上得，可以得出―24≤y≤2，4∴푦=푥푥2+2的最值是―2与42．4这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【基本不等式的应用】1、求最值例 1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题2/ 54、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例 2：当 0＜x＜4 时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由 0＜x＜4 知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到 2x+（8﹣2x）＝8 为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）] ≤12푥+8―2푥（）2＝822当 2x＝8﹣2x，即x＝2 时取等号，当x＝2 时，y＝x（8﹣x2）的最大值为 8．3/ 5评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例 3：求y =푥2+7푥+10푥+1(푥＞―1)的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y =푥2+7푥+10푥+1=(푥+1)2+5(푥+1)+4푥+1=（x+1）+4푥+1+ 5，当x＞﹣1，即x+1＞0 时，y≥2 (푥+1)×4푥+1+ 5＝9（当且仅当x＝1 时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例 3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x +푎푥的单调性．技巧六：整体代换4/ 5点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．5/ 5。
专题05(2.3 基本不等式及其应用)(有答案)
专题05（2.3 基本不等式及其应用）一、单选题1．（2020·宝山·上海交大附中月考）已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ）A ．22a b +有最小值BC ．11a b+有最大值 D 有最大值【答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解22a b +有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知a 0>，b 0>，且a b 4+=，因为0,0a b >>，则a b +≥，即2()42a b ab +≤=， 所以()222a b a b 2ab 162ab +=+-=-16248≥-⨯=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，取得最小值8， 故选A ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a <<B ．72a <<C ．732a <<D ．3a <<【答案】D【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立， 即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=3x x =即x由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x=+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a << 故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．3．（2018·上海市向明中学高一月考）下列三个函数中值域为[2,)+∞的函数个数为（ ）（1）122xx y =+（2）22122y x x =+++ （3）1423x x y +=++ A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用基本不等式求解(1)即可;利用换元法以及函数单调性的定义即可求；利用换元法以及二次函数的性质即可求解(3)【详解】(1)20x >∴由基本不等式可得：122x x y =+≥，当且仅当0x =取等号 故函数122xx y =+的值域为[2,)+∞ (2)令22t x =+，则2t ≥ 即1y t t=+令122≤<t t ，()12122112121111y y t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于122≤<t t ，则210t t ->，12110t t -<，即()2112110t t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即12y y <，所以函数1y t t=+在[)2,+∞ 上单调递增故15222y ≥+= 故函数22122y x x =+++的值域为5[,)2+∞ (3)令,(20)x t t =>所以()2124232312x x y t t t +=++=++=++ 由于0t >，则()212123t ++>+= 故函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞ 故选B【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，关键是利用基本不等式以及换元法来求解，属于中档题.4．（2018·上海市金山中学高一期中）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.A ．如果0a b >>>B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有a b +≥，当且仅当a b =时等号成立 【答案】C【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+，可得外围的正方形的面积为2c ，也就是22a b +，四个阴影面积之和刚好为2ab ，可得对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，即可得出.【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+， 则外围的正方形的面积为2c ，也就是22a b +，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥， 当且仅当a b =时等号成立，故选C.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，结合勾股定理，利用直角三角形的面积公式，得到其对应的关系，从而可以得到在什么情况下取得等号.5．（2019·上海外国语大学附属大境中学高一期末）已知函数()2x f x =，若a b <，设P =1[()()]2Q f a f b =+，()2a bR f +=，则（ ） A ．R P Q << B ．P Q R <<C ．Q P R <=D ．P R Q =<【答案】D【分析】根据指数函数的运算性质得到P =22a b +, R =22a b+，Q 222a b+=再根据均值不等式得到R Q <.【详解】函数()2xf x =,P =22a b+,2a b R f +⎛⎫= ⎪⎝⎭=22a b+,故P R =()()12Q f a f b ⎡⎤=+⎣⎦22222a b a b ++=>==P=R 故P R Q =<. 故答案为D.【点睛】这个题目考查了指数函数的运算性质，以及均值不等式的应用；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 二、填空题6．（2018·上海市新中高级中学）若不等式12x a x +-+>的解集为∅，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[]1,3-【分析】由题意得知12x a x +-+≤对任意的x ∈R 恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出1x a x +-+的最大值为1a -，得出12a -≤，解出该不等式即可. 【详解】由题意可知，不等式12x a x +-+≤对任意的x ∈R 恒成立，由绝对值三角不等式可得()()111x a x x a x a +-+≤+-+=-， 则12a -≤，即212a -≤-≤，解得13a -≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,3-. 故答案为[]1,3-.【点睛】本题考查利用绝对值不等式的解集为空集求参数的取值范围，转化为绝对值不等式在实数集上恒成立是解题的关键，同时借助绝对值三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.7．（2018·上海市七宝中学高一月考）已知关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，则实数t 的取值范围是________；【答案】3t <【分析】先根据绝对值三角不等式得|||12|x x +--最大值，再根据不等式有解条件确定结果.【详解】因为|1||2||12|3x x x x +--≤+-+=，又关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，所以max |1||2|3x x t t +-->∴<（） 故答案为3t <【点睛】本题考查绝对值三角不等式以及不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.8．（上海市金山中学高一期末）对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________．【答案】[]4,5- 【解析】()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．（2018·上海市三林中学高一期中）若关于x 的不等式13x a x -+-≤解集非空，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]2,4-【分析】将13x a x -+-≤转化为()min 13x a x -+-≤，利用绝对值不等式求出1x a x -+-的最小值，即可得结果. 【详解】解：111x a x x a x a -+-≥--+=-13a ∴-≤，解得：24a -≤≤， 故答案为[]2,4-【点睛】本题考查绝对值不等式的有解问题，利用不等式x y x y x y -≤±≤+可快速求出最值，是基础题.10．（上海市控江中学）设1x <，则211x x x -+-的值域为_________【答案】(],1-∞-【分析】先将原式化为()211111111-+⎡⎤=+=--++⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果. 【详解】因为1x <，所以10x -<，因此()211111211111-+⎡⎤=+=--++≤-+=-⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ， 当且仅当111x x-=-，即0x =时，等号成立； 所以211x x x -+-的值域为：(],1-∞-；故答案为(],1-∞-【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.11．（上海市控江中学）设0x >，则______【答案】14【分析】先由题意求出102x <≤，再由基本不等式，得到22141422+-≤⋅x x ，即可得出结果.【详解】由2140-≥x 得1122x -≤≤；又0x >，所以102x <≤再由2211414122224+-=⋅≤⋅=x x x ，当且仅当2x =10,42⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦x 时，等号成立.所以14.故答案为14【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.三、解答题12．（上海市实验学校高一期中）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为48402cm ，画面上下边要留8cm 空白，左右要留5cm 空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？【答案】高为88厘米，宽为55厘米，所需纸张面积最小为6760平方厘米【分析】设画面高为xcm ，宽为ycm ，求出所需纸张面积S 的表达式，利用基本不等式求解即可．【详解】解：设画面高为xcm ，宽为ycm ，依意有xy ＝4840，x ＞0，y ＞0 则所需纸张面积S ＝（x +16）（y +10）＝xy +16y +10x +160，， 即S ＝5000+16y +12x ， ∵x ＞0，y ＞0，xy ＝4840∴16101760y x +≥==，S ≥6760． 当且仅当16y ＝10x ，即x ＝88，y ＝55时等号成立．即当画面高为88cm ，宽为55cm 时，所需纸张面积最小为6760cm 2【点睛】本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查计算能力．13．（2019·上海徐汇·位育中学高一期中）某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元. （1）求k 的值；（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用. 【答案】（1）0.05k =；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【分析】（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k的值；（2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可. 【详解】（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为36004003600400⨯=， 每批购入的电视机的总价值为4002000800000⨯=（元），所以保管费为800000k ⋅（元） 因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以360080000043600k +⋅=，解得0.05k =. （2）设每批进货x 台，则运费为36001440000400x x⨯=，保管费为0.052000100x x ⨯=， 所以支付运费与保管费的和为1440000100x x+，因为144000010024000x x +≥=，当且仅当1440000100x x =，即120x =时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，注意不等式求解最值时的条件，侧重考查数学建模的核心素养.14．（2018·上海普陀·曹杨二中高一期中）已知函数()sin 210.3f x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，＞ (1)当12ω=时,求函数()f x 的单调递减区间； (2)对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；(3)在(2)的条件下,若不等式()1f x t +＜在03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1；（3） (0,1). 【分析】（1）当12ω=时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根，知其周期为π，即可求解（3）求出()f x 的值域，原不等式可转化为1()1t f x t --<<-恒成立，()f x 的值域是(1,1)t t ---的子集即可.【详解】（1）当12ω=时，()sin 13f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令322232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，所以sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根， 所以22T ππω==,即1ω=. （3）因为()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以233x πππ≤+≤，0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 故1()0f x -≤≤，又因为()1f x t +＜恒成立， 所以1()1t f x t --<<-恒成立，所以1110t t --<-⎧⎨->⎩，解得01t <<.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.15．（上海市进才中学期中）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k ．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行. （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值． 【答案】()1k 值为0.96，()2该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400元【分析】()1根据题意，设比例系数为k ，得燃料费为21W kv =，将10v =时196W =代入即可算出k 的值；()2算出航行100海里的时间为100v 小时，可燃料费为96v ，其余航行运作费用为15000v元，由此可得航行100海里的总费用为1500096W v v=+，再运用基本不等式求最值即可． 【详解】()1由题意，设燃料费为21W kv =，当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当10v =时，196W =，可得29610k =⨯，解之得0.96k =．()2其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为100v 小时，可得其余航行运作费用为10015000150v v⨯=元因此，航行100海里的总费用为210015000150000.9696(015)W v v v v v v=⋅+=+<≤ 15000962400v v+≥=，∴当且仅当1500096v v =时，即12.515v ==<时， 航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：()1k 值为0.96，()2该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400(元)．【点睛】本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．16．（2018·上海市七宝中学高一期中）练习册第21页的题“0a >，0b >，求证：≥”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：+≥a b=时等号成≥.学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若0a>，0b>，0c>，则222a b ca b cb c a++≥++，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到n（2n≥）个正数1a、2a、⋅⋅⋅、1na-、na的情形，并证明. 【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比222a b cb c ab c a+++++可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比222a b cb c ab c a+++++可得证明；【详解】（1）222222a b cb c a a b cb c a+++++≥++，∴222a b ca b cb c a++≥++，当且仅当a b c==时等号成立；（2）222211223112231222,n nn nna aa aa a a a a a aa a a a-++++⋅⋅⋅++++≥++⋅⋅⋅+故2222112122311n nnna aa aa a aa a a a-++⋅⋅⋅++≥++⋅⋅⋅+.当且仅当12...na a a===时等号成立；【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．17．（2018·上海高一期中）我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】15AB=时，总造价最低为132000元.【分析】设AB的长为x米，进而得到宽BC为200x米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设AB的长为x米，则宽BC为200x米，由题意得总造价为200200400(22)5100560200 y xx x=+⨯⨯+⨯⨯+⨯450(2)12000xx=++12000≥132000=，当且仅当4502xx=，即15x=时等号成立．所以当净水池的长15AB=米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．18．（2018·上海市金山中学高一期中）已知两个正数,a b 满足1a b +=.（1）求122a b+的最小值； （2）若不等式222218()x x a b -+-≤+对任意正数,a b 都成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）92；（2）17,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由条件，将1用+a b 代换，将2用22a b +代换，之后再应用基本不等式求得对应式子的最小值；（2）将恒成立问题向最值问题靠拢，首先求得228()a b +的最小值是4，从而将不等式转化为2214x x -+-≤，应用零点分段法求得结果. 【详解】 （1），且，.当且仅当，即时，等号成立.故的最小值是.（2）当且仅当，即时，等号成立.的最小值是4.当时，由不等式，得；当时，由不等式，得；当时，由不等式，得.综上，实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求式子的最小值以及绝对值不等式的解法，在解题的过程中，注意应用已知条件，对常数的变形，也可以应用相乘的方法，对于恒成立问题应该向最值靠拢，之后应用零点分段法求解绝对值不等式即可.19．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （千米/时）之间的函数关系为()2920031600=>++vy v v v .（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？ 【答案】（1）当40v =时，车流量最大，最大车流量为11.1（千辆/时）；（2）()25,64.【分析】（1）将函数解析式变形为92016003y v v ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的v 值，即可得解；（2）解不等式29201031600vv v >++即可求得v 的取值范围，进而可得解. 【详解】（1）依题意9209201600833vvy≤=⎛⎫++⎪⎝⎭=，当且仅当40v=等号成立，最大车流量92011.183y=≈（千辆/时）；（2）由条件得292010 31600vv v >++，整理得28916000v v-+<，解得2564v<<.故汽车的平均速度应该在()25,64范围内.【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．（2020·上海黄浦·格致中学高一期末）已知某种气垫船的最大航速是48海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为30海里小时,则船每小时的燃料费用为600元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时864元．甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速航行到乙地.(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用y，表示为船速x(海里小时)的函数，并指出函数的定义域;(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元?【答案】(1)20086400,(048)3y x xx=+<≤；(2)当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元【分析】(1)由题意先设船速为x,则每小时燃料费2E ax=,求得参数a,再写出自变量取值范围即可.(2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值.【详解】(1) 设船速为x,则每小时燃料费2E ax=,根据题意有260030a=,故23a=,223E x=,则从甲地到乙地所需时间为100x小时. 故总费用221001002008640086433y x x x x x=⨯+⨯=+. 又最大航速是48海里小时故048x <≤ (2)由(1) 20086400,(048)3y x x x=+<≤；故2008640048003y x x =+≥==, 当且仅当200864003x x=即36x =时取得最小值. 故当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元【点睛】本题主要考查函数的实际运用,注意分析自变量与因变量的关系,同时注意取值范围.本题也考查了基本不等式的用法,属于中等题型.21．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[2]25，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【分析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x 且502x，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x， 则1003l x x=+， 2x 且502x， 225x ∴，所以函数的定义域为[2，25]；（2）10010032320l x x x x =+=1003x x =，即x =时取等号，时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是． 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．。
专题05 均值不等式及其应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】
【热点聚焦】高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一 直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意． 【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为0a >、0b >，所以414112+≥⨯=a b a b ab114≥ab 4ab ≥，即16ab ≥，当仅当41a b=，即82a b ==，时，等号成立. 故选：A.【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.热点二 配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．19【答案】C【解析】 【分析】将(12)y x x =-化为12(12)2x x ⨯-，利用基本不等式即可求得答案.【详解】 ∵102x <<，120x ∴-> , ∴1(12)2(12)2x x x x -=⨯-22(12)112[]28x x +-=≤⨯， 当且仅当212x x =- 时，即14x =时等号成立， 因此，函数(12)y x x =-,1(0)2x <<的最大值为18,故选：C ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得2020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】22【解析】 【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()2222222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -= 所以22a b a b+-的最小值为22故答案为：22【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值． 【答案】2 【解析】 【分析】 将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦， 又由54x <，则540x -> ，则()(115425425454)x x x x-+≥---⋅， 当且仅当15454x x-=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2. 【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三 常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．3B ．423+C ．6 D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得31m n +=，再根据3131(3)()m n m n m n+=++结合基本不等式即可得出答案． 【详解】 解：3AC AE =，∴3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,P B E 三点共线，31m n ∴+=， ∴313199(3)()336212n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++≥+⋅=， 当且仅当9n m m n=，132m n ==时取等号，所以31m n+的最小值是12. 故选：D ．【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+23,23a b ==. 故答案为：4【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】 由直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()12442222428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8 故答案为：8 【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t++⋅，再用基本不等式求最值． 热点四 基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（ ）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据面积和周长的计算,可得SL,根据基本不等式即可求解最大值. 【详解】圆弧的半径为3(0)2r r <<，则32BC ED r ==-，π322CD rl r ==．所以周长162CD L AB BC l DE EA r =++++=-，面积2223139[()]22244r r S r r =-+⨯⨯=-． 所以22191(12)24(12)135********12[(12)]122(12)12315212212212212S r r r r r L r r r r---+--=⋅=⋅=-⋅-+-⋅-⋅-----．当且仅当1351212r r-=-，12315r =- 故选：B【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】 【详解】 总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30. 【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a ＞0)的单调性．热点五 利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对A ，根据指数函数的性质20a b +>，故A 正确； 对B ，2222log log log log 10a b ab +===，故B 错误；对C ，因为22a b ab +≥=，当且仅当a b =取等号，所以22222242a b a b +≥≥>+，故C 正确；对D ，因为1ab =，且0a b >>，故10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 0a b ⋅<；故D 正确. 故选：B【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 【答案】22【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，2211222222a a b b a b a b b b b b∴++≥⋅=+≥⋅ 当且仅当21a a b =且2b b=，即2a b ==所以21ab ab ++的最小值为2 故答案为：22 【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】 因为02x <<，所以可得240x ->， 则()()2222244422x x y x x x x+-=-⋅-=，当且仅当224x x =-，即2x24y x x =-的最大值为2．故选：A ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】∵已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，∴ab 2a b ⋅ 化简可得ab ≥2∴ab ≥8，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 故ab 的最小值是8， 故选：B ．3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（ ） A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得22214,,1a b c m n===，根据,,a b c 的关系可得141m n +=，由基本不等式的求解即可得26n m ==，进而2311a m ==，即可求离心率. 【详解】由22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>可得22114x y m n-=，所以22214,,1a b c m n===， 故可得141m n +=，所以(4144)5529n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即26n m ==时等号成立，所以2311a m ==，3a =1c =， 所以3==ce a故选：B ．4．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.5．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b - ∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为2222222168c a b ab =+≥=当且仅当22a b == ∴C 的焦距的最小值：8故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+ B ．426m +或426m - C ．19m - D ．9m 或1m -【答案】C 【解析】 【分析】由题意化2ab a b =+为211b a=+，利用基本不等式求出2+a b 的最小值，再解关于m 的一元二次不等式即可． 【详解】解：0a >，0b >，且2ab a b =+，211b a∴=+， 1222222(2)()14529b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=++++=，当且仅当3a b ==时取“=”； 若228a b m m +-恒成立， 则298m m -， 即2890m m --， 解得19m -，∴实数m 的取值范围是[1-，9]．故选：C ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（ ） A ．52B ．4C ．92D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，从而可到ln()2≥ab ab ，再构造函数分析可得ln()220-≤ab ab ，从而得到ln()220-=ab ab ，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得ln()222≥+-a ab b ，因为0a >，0b >，所以22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，所以ln()2≥ab ab ，令()ln 22=-f x x x ，则11()-='=xf x x x，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()(1)0f x f ≤=，当且仅当1ab =时取等号，即ln()20-≤ab ab ，所以ln()220-=ab ab ，所以1ab =，所以12,2a b ==，所以52a b +=． 故选：A8.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A 【解析】 【详解】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+， 又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =，22222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以32a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围. 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b ≤【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(21212a bab a b =+++=，2a b ≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞ D ．a +cos b ＞b +cos a【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D. 【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确， C:∵a ＜b ＜0，∴2a bab --＞2a b ab -+＞C 正确， D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则()f x '＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误． 故选：ABC ．12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（ ）A ．0x <且1y <-B ．m 的最大值为3-C ．n 的最小值为7D ．22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ； 【详解】解：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <， 同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确； 又1111222222x y x y x y ++++=+≥⋅=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确； 又()111111112222222244x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 111144552922222222y x y xx y xy ++++⋅⋅=⋅+≥+=+， 当且仅当1142222y xx y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112()()22222222m x y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】 ∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.14．（2019·天津·高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________. 【答案】92.【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92．15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________.【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224a b a b ---+≥⨯=.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当AC AB取最小值时，31m =. 31.四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b +的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值． 【答案】(1)3,2a b =-=(2)1a =，1b =时，11a b+的最小值是2 【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得答案；（2）由(1)3f =得2a b +=，再利用基本不等式可得答案.(1)由()0f x >的解集是(1,1)-知1,1-是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可得311211a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩ 解得32=-⎧⎨=⎩a b ，即32a b =-=，.(2)由(1)3f =得2a b +=，0a >，0b >，11111()2a b a b a b ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭12222b a a b ⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即1a =，1b =时取等号，11a b∴+的最小值是2．。
专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)
专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小 一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。
高考数学复习点拨 用基本不等式证题的技巧与策略
高考系列数学用基本不等式证题的技巧与策略在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题．现举例说明如下．一、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项．例1 设a 、b 、c 均为正数，且a + b + c = 1，求证：14+a +14+b +14+c ≤21．分析：考虑等号成立的条件时，必须注意a 、b 、c 在问题中的对称地位，即只有a = b = c =31时，才有可能达到最值，而此时4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=37． 证明：∵14+a =73·37)14(⋅+a ≤73·23714++a ， 同理14+b ≤73·23714++b ，14+c ≤73·23714++c ． ∴14+a +14+b +14+c ≤73·21[4(a + b + c) + 3 + 7] =21． 当且仅当4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=37，即a = b = c =31时，上式“=”号成立．二、配项 在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化． 例2 已知a 1，a 2，…，a n 均为正数，且a 1+ a 2+ … + a n = 1，求证：2121a a a + + 3222a a a ++ … + 12a a a n n +≥21．证明：因a 1，a 2，…，a n 均为正数，故2121a a a + + 421a a +≥a 1，3222a a a + + 432a a +≥a 2， ……，12a a a n n + + 41a a n +≥a n ． 又因421a a + + 432a a + + … + 41a a n + =21( a 1+ a 2+ … + a n ) =21， 所以，把以上各同向不等式相加，得：2121a a a + + 3222a a a ++ … + 12a a a n n ++21≥a 1+ a 2+ … + a n = 1 ． 故2121a a a + + 3222a a a ++ … + 12a a a n n +≥21． 三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决．例3 已知a 1，a 2，…，a n 均为实数，且a 1+ a 2+ … + a n = A (A ＞0)，a 21+ a 22+ … + a 2n = 12-n A (n ∈N ，n ≥2) ，求证：0≤a k ≤n A 2． ( k =1，2，…，n)证明：构造基本不等式如下：11--n a A · a 2≤21[(11--n a A )2+ a 22]， 11--n a A · a 3≤21[(11--n a A )2+ a 23]，……，11--n a A · a n ≤21[(11--n a A )2+ a 2n ] ． 将上述(n －1)个同向不等式相加得：11--n a A ( a 2+ a 3+ … + a n )≤21[2)1(1--n n (A －a 1)2+ a 22+ a 23 + … + a 2n ]，即1)(21--n a A ≤21[1)(21--n a A +12-n A －a 21] ⇒ na 21－2a 1A ≤0，⇒0≤a 1≤nA 2 ． 同理可求得0≤a k ≤nA 2． ( k =1，2，…，n) 四、平方 通过平方运算，一可以把和(积)凑成定值，二可以把和(积)问题转化为积(和)问题．例4 若a 、b 、c ∈R +，a + b + c =3，求证：12+a +12+b +12+c ≤33．证明：∵(12+a +12+b +12+c )2= 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 +2)12)(12(++b a +2)12)(12(++c b + 2)12)(12(++a c ≤2(a + b + c) + 3 + (2a + 1) + (2b + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2c + 1) + (2a + 1) = 6(a + b + c) + 9 = 27． ∴12+a +12+b +12+c ≤33．五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用．例5 已知a 、b 、c ∈R +，a + b + c = 1,，求证：113+a +113+b +113+c ≤43．证明：引入待定正参数t ，∵t 113+a =)113(2+a t ≤21(t 2+ 13a + 1) ①， 同理t 113+b =)113(2+b t ≤21(t 2+ 13b + 1) ②， t 113+c =)113(2+c t ≤21(t 2+ 13c + 1) ③。
基本不等式应用的常见技巧策略
ʏ徐州中学 孙 慧基本不等式及其应用是不等式模块中的一个重要知识点,也是高考中直接应用或间接应用的一个重要考查点与工具,在众多的数学知识与相关内容中都有基本不等式的影子㊂利用基本不等式解决问题时,需要注意 一正,二定,三相等 这三个基本条件,这是应用基本不等式的关键所在㊂本文结合基本不等式应用中的常见技巧策略加以实例剖析,引领并指导数学学习与解题研究,起到抛砖引玉的作用㊂一㊁常量巧引入,配凑法应用配凑法的目的就是构建适合基本不等式应用的基本条件 和为定值 或 积为定值 的形式,借助对应代数式的恒等变形与转化,通过添加项㊁拆分项等技巧方法,进而利用基本不等式来解决问题㊂常见的配凑法就是对相应的代数式进行配系数㊁凑常数等变形处理㊂例1 若x <23,则函数f (x )=3x +1+93x -2有( )㊂A.最大值0 B .最小值9C .最大值-3 D .最小值-3解析:因为x <23,所以3x -2<0,利用基本不等式可得函数f (x )=3x +1+93x -2=3x-2+93x -2+3=-(2-3x )+92-3x+3ɤ-2(2-3x )㊃92-3x+3=-6+3=-3,当且仅当2-3x =92-3x ,即x =-13时等号成立,所以函数f (x )=3x +1+93x -2有最大值-3㊂故选C ㊂点评:配凑法的根本目的就是合理创设应用基本不等式的条件,创设 积为定值 或 和为定值 这一前提条件,这就需要对题设条件或所求结论的关系式进行一些必要的配凑处理,配系数㊁凑常数等技巧方法经常是借助因式分解㊁平方处理㊁增减常数等方式来达到目的,实现利用基本不等式来解决问题的目的㊂二㊁乘 1后变形,代换法应用代换法就是利用常数的变形,以及代数式与 1 的积㊁商都是自身的性质,通过代数式的变形构造出满足 和为定值 或 积为定值 的基本形式,符合基本不等式的应用条件㊂代换法的本质就是常数与参数之间的灵活变形与转化,常数化成 1 是代数式等价变形的基础㊂例2 已知x >0,y >0,且满足x +2y=3x y ,则2x +y 的最小值为㊂解析:因为x +2y =3x y ,所以23x +13y=1,由基本不等式可得2x +y =(2x +y )㊃23x +13y=2x 3y +2y 3x +53ȡ22x 3y ˑ2y3x +53=43+53=3,当且仅当2x 3y =2y 3x ,即x =y 时等号成立,所以2x +y 的最小值为3㊂故填3㊂点评:代换法应用的根本就是通过常数与关系式之间的等价关系加以合理代换处理,具体代换时,可以是乘 1后变形,也可是51解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月乘以其他常数进行处理,特别要注意乘常数后要加以同除处理,保证代数关系式的恒等变形㊂三㊁双变元首选,消元法应用消元法就是用来解决一些比较复杂的多变元的代数式最值问题,借助题设条件,合理减少变量的个数,经常是转化为只含有一个变量的代数式,进而利用基本不等式来分析与应用㊂消元法的实质就是减元,将多变元问题转化为单变元问题来处理㊂例3 已知x >0,y >0,x +3y +x y =9,则x +3y 的最小值为㊂解法一:(换元消元法)已知x +3y +x y=9,利用基本不等式可得9-(x +3y )=x y =13㊃x ㊃3y ɤ13㊃x +3y22,当且仅当x=3y ,即x =3,y =1时等号成立,整理上式得(x +3y )2+12(x +3y )-108ȡ0,令x +3y =t ,则t >0,且t 2+12t -108ȡ0,解得t ȡ6,所以x +3y 的最小值为6㊂故填6㊂解法二:(代入消元法)已知x +3y +x y =9,则x =9-3y 1+y ,所以x +3y =9-3y 1+y +3y =9-3y +3y (1+y )1+y=9+3y21+y=3(1+y )2-6(1+y )+121+y =3(1+y )+121+y-6ȡ23(1+y )ˑ121+y -6=12-6=6,当且仅当3(1+y )=121+y,即y =1,x =3时等号成立,所以x +3y 的最小值为6㊂故填6㊂点评:消元法的根本目的就是减少变量的个数,方便配凑出 和为常数 或 积为常数 的基本形式,为基本不等式的应用指明方向,从而更加直观有效地利用基本不等式来分析与求解最值㊂四㊁多层次推进,分步法应用分步法就是用来解决一些比较复杂的多变元(一般是三变元及以上)的代数式最值问题,结合分步法处理,分层次合理加以逐步消元,不断减少变量的个数,进而吻合基本不等式应用的条件,从而得以求解最值㊂分步法的实质就是逐步消元,注意在多次利用基本不等式时,要保证等号成立时条件的一致性㊂例4 已知a ,b ,c 是正实数,且b +c=6,则a c 2+2a b c +8a +1的最小值为㊂解析:由于a c 2+2a b c +8a +1=a c b +2ab c +8a +1=a c b +2b c+8a +1,结合b +c =6,利用基本不等式可得c b +2b c =cb+2ˑb +c 62b c=c b +(b +c )23b c =4c 3b +b 3c +23ȡ24c 3b ˑb 3c +23=2ˑ23+23=2,当且仅当4c 3b =b3c ,即b =2c 时等号成立;再次利用基本不等式可得ac b +2b c+8a +1ȡ2a +8a +1=2(a +1)+8a +1-2ȡ22(a +1)ˑ8a +1-2=2ˑ4-2=6,当且仅当2(a +1)=8a +1,即a =1时等号成立㊂所以a c 2+2ab c+8a +1的最小值为6,当且仅当a =1,且b =2c=263时等号成立㊂故填6㊂点评:分步法就是综合应用配凑法㊁换元法或消元法等,通过两次及以上的基本不等式的应用来分析与求解对应复杂代数式的最值问题㊂注意在多次利用基本不等式进行分步时,要注意每步中取等号的条件的前后一致性,不能出现前后矛盾,这也是分步法中比较容易出错的地方㊂在实际应用基本不等式来解决问题时,抓住基本不等式应用的三个基本条件,或配凑法应用,或代换法处理,或消元法解决,或分步法应用等,掌握解决问题的 通技通法 ,举一反三,融会贯通,从而进一步养成良好的思维习惯,提升数学能力,更好地借助基本不等式来解决相应的数学问题㊂(责任编辑 王福华)61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。
3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。
2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解5---基本不等式及其应用(解析版)
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题2.2 基本不等式及其应用【考纲解读与核心素养】1. 掌握基本不等式ab b a ≥+2(a ，b ＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．重要不等式当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．2．基本不等式当a >0，b >0时有ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值已知x 、y 都是正数．(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．4.常用推论（1）22ab 2a b +≤（,R a b ∈）（2）2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3）20,0)112a b a b a b +≤≤>>+ 【典例剖析】高频考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥【答案】见解析【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b . ∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b=，即1a=b=2时取“＝”． ∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 2.求证:47(3)3a a a +≥>- 【答案】见解析【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 高频考点二：利用基本不等式求最值例2. （2019年高考天津卷文）设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92 【解析】(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,24x y x y >>+=， 所以2422x y x y +=≥⋅，即22,02xy xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立.又因为192255=22xy +≥+⨯， 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92. 例3．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）若实数、满足，且，则的最小值是__________，的最大值为__________．【答案】2【解析】实数、满足，且，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值是2，，当且仅当，即时取等号 故的最大值为，故答案为：2，．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如(0)a y x a x=+>的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n +的最小值为（ ） A ．223+ B ．32+ C ．222+ D ．3 【答案】A【解析】由题意，因为12=+n m ，则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+， 当且仅当2n m m n =，即2n m =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A. 2.设当________时，取到最小值．【答案】【解析】 因为，所以，当且仅当时取等号， 故当时，取得最小值是，故答案是.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．高频考点三：基本不等式的实际应用例4. （2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.2C.4D.22【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以2EB x =，22AE y =．AB EB AE =+222x y +≥2222x y ⋅＝2xy ，即2xy 4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．高频考点四：基本不等式的综合运用例5. （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（m R ∈）．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，，求m 的取值范围． 【答案】（1）3m ≥；（2）1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭.；（3）3m ≥. 【解析】（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； ②当10m +≠即1m ≠-时，()()210{4110m m m m +>∆=-+-≤，即21{340m m >--≥，∴1{33m m m >-≤-≥，∴m ≥ （2）()f x m ≥即()2110m x mx +--≥即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦①当10m +=即1m =-时，解集为{|1}x x ≥②当10m +>即1m >-时，()1101x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭∵1011m -<<+，∴解集为1{|1}1x x x m ≤-≥+或 ③当10m +<即21m -<<-时，()1101x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭ ∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+ ∴解集为1{|1}1x x m ≤≤-+ （3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[]1,1D -⊆，即对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为210x x -+>恒成立，所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立， 设2,x t -=则[]1,3t ∈，2x t =-， 所以()()2222131332213x t t x x t t t t t t-===-+-+---++-，因为3t t+≥，当且仅当t =时取等号，所以22313x x x -≤=-+，当且仅当2x =所以当2x =22max11x x x ⎛⎫-+= ⎪-+⎝⎭所以233 m例6．设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1．(2019·北京海淀模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋23x.而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，∴k＋1＜22，即k＜22－1.2.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，n*∈N，满足，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，则：，，，,m n*∈N，.则（当且仅当，即时取等号）.故填.。
2023高考数学复习备考策略(通用)
2023高考数学复习备考策略（通用）高考数学复习备考策略1、高考数学考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
2、高考数学做题时可以训练自己的做题技巧，比如可以先易后难。
就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
再先熟后生。
通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到数学试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、数学题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。
这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。
高考数学复习方法1、制订适合于自己的切实可行的复习计划是成功的前提，订计划的原则第一是适合自己，不跟别人攀比第二要与老师的复习计划一致。
每个同学在制订计划时一般要把握好以下几个方面:(1)重视基础，循序渐进。
高考数学内容多以基础知识和基本技能为主(约占70-80%)，所以每个同学从计划制订到实施过程都要特别注重基础。
(2)数学学习计划既要周密、细致，也要有整体性。
把一百天分成合乎自己实际情况的段落，要订出具体时间表和每个时间段要达到的目标，当然还要符合自己的特点。
在数学复习计划中要规定好自己在某一时间段里干什么(如早自习、晚自习、课下机动时间)、必须达到什么目标，尤其要明确晚自习每个时间段的目标、任务。
2、要认真听课，及时复习。
这时候老师的授课大多是学科的精华和重要内容，认真听课是进行数学有成效复习的重要方面。
第05讲 基本不等式(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
第05讲基本不等式（10类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”2.能正确处理常数“1”求最值3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
1．基本不等式如果0,0a b ³³，那么2a b+³（当且仅当 时取“=”）.说明：①对于非负数,a b ，我们把2a b+称为,a b 的 ，称为,a b 的 .②(0,0)2a ba b +£³³称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.③“当且仅当a b =时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有2a b+=；另一方面当 时，有a b =.④ 结构特点：和式与积式的关系.2．基本不等式求最值（1）设x ，y 为正数，若积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值 （简记为：积定和最小）.（2）设x ，y 为正数，若和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2（简记为：和定积最大）.3．几个重要不等式（含基本不等式链）（1）22a b +³ （,a b ÎR ）；（2）2a b+³ （,a b ÎR ）；（3）a bb a+³ （,a b 同号）；（4）ab £或ab £（,a b ÎR ）；（5³³³()2,,,011a b a b a bÎ>+R1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．22．（2024·全国·模拟预测）若0,0,321x y x y >>+=，则84x y +的最小值为（ ）AB．C．D．1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a 、b 满足41a b +=，则ab 的最大值为 ．2．（2024·云南·模拟预测）已知正数,x y 满足4x y +=，则14y x -的最小值为.1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x y yx +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．6D ．32．（2024·河南·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为．1．（2024·安徽·三模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则2y xxy +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．1D ．12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为.3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（ ）A ．32B ．C ．32D ．31．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．2+D ．3+2．（2024高三·全国·专题练习）若函数()()133f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则=a ．3．（2024·江西赣州·二模）已知0y x >>，则42y x y x x y--+的最小值为 .1．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是 ．2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是 ．1．（2022高三上·全国·专题练习）已知0，>x y ，求44x yx y x y+++的最大值.2．（2023·全国·模拟预测）已知1a >，12b >，121121a b +=--，则11a b+的最大值为 ．1．（2020·甘肃兰州·二模）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为 .2．（2024·浙江·模拟预测）已知0a >，0b >，若222112a ab b ab+=++，则ab 的最大值为（ ）A．2B．2C．4+D．4-1．（2023高三·全国·专题练习）函数 ()()2230x x f x x x++=<的最大值为.2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数0k >，则3223333141422k kk k +æöæö++ç÷ç÷èøèø的最大值为 ．1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数233()=21x f x x x --+在(1,)+¥上的最大值为．2．（2023高三·全国·专题练习）当1x >-时，求函数2231x x y x ++=+的最小值.1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x ，y ，z 均为正实数，则2222443xy yzx y z +++的最大值是 ．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数,,a b c ，满足1b c +=，则28161ab a bc a +++的最小值为 .1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数,,a b c 满足2a b c +³，则2b a a b c++的最小值为.2．（2023·江西·一模）已知a ，b ，c 是正实数，且b c +=，则2281ac a bc a +++最小值为 .1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若2e e x y =，则x y -的最小值为（ ）A ．12B C ．1D ．5ln 242．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是 .3．（2023·江西·二模）实数a ，0b >，满足：3379a b ab ++=，则a b +的范围是（ ）A ．72,3æöç÷èøB ．72,3éö÷êëøC ．(D ．éë1．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，且32ab =，则24a b b +的最小值为 ．2．（2024·浙江绍兴·三模）若,,0x y z >，且2224x xy xz yz +++=，则22x y z ++的最小值是 ．3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是．1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知3x ">，13x m x +³-恒成立，则实数m 的取值范围是 ．2．（2023高一上·全国·专题练习）已知,(1,2)x y Î且3x y +=，若1222a x y y x+³--恒成立，则实数a 的范围是．3．（2023·广东湛江·二模）当x ，()0,y Î+¥时，422422417424x x y y mx x y y ++<++恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()25,+¥B ．()26,+¥C ．99,4æö+¥ç÷èøD ．()27,+¥1．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y £+++恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2．设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +³--恒成立，则m 的最大值为 （ ）A ．8B ．16C ．D ．3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --+--≤恒成立，则实数k 的最大值为（ ）A ．12B ．24C ．D ．1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若()11,ln ,ln ln ,22a b a b x y a b z +>>==+= ）A ．x z y <<B ．y z x <<C ．z x y<<D ．z y x<<2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数,,a b c 满足2112a b c ++=.(1)若2a =，求b c +的最小值；(2)证明：1113224a b a c b c ++<+++.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知,,a b c 为正数，且1111abc++=.证明：(1)222a b c abc ++³；£.1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数,,a b c 满足a b c <<且0abc <，则下列不等关系一定正确的是（ ）A ．ac bc<B ．ab ac<C ．2b c c b+>D ．2b a a b+>2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=．(1)若222122a b c ++=，求证：205a ££；(2)若a ，b ，()0,c Î+¥，求证：22211112a b c a b c ++³---．3．（2024·青海·一模）已知正数,,a b c 满足2a b c ++=．求证：(1)22243a b c ++³；6£．1．（2024·全国·模拟预测）若实数a ，b 满足223345a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．1ab <B ．25ab ³-C ．222a b +³D ．a b £+£2．（2024·河北保定·二模）已知22421a b ab ++=，则（ ）A ．ab 的最大值为16B ．224a b +的最小值为57C ．224a b +的最大值为2D ．ab 的最小值为13-3．（2024·浙江·二模）已知正实数,,a b c ，且,,,a b c x y z >>为自然数，则满足0x y z a b b c c a++>---恒成立的,,x y z 可以是（ ）A ．1,1,4x y z ===B ．1,2,5x y z ===C ．2,2,7x y z ===D ．1,3,9x y z ===1．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且142a b+=，则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D 的最小值为2．（2024·广东广州·模拟预测）已知(),,a b c a b c <<ÎR ，且230a b c ++=，则下列结论成立的是（ ）A ．0a c +<B ．2c aa c +<-C ．存在a ，c 使得22250a c -=D ．212b c a c +<-+3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数,x y 满足22421x y xy +-=，则（ ）A ．21x y +£B ．22x y +³-C ．2242x y +£D ．2241x y +³一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O 为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（ ）A ．49B C ．79D ．1二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >，且1x y +=，则（ ）A ．122x y ->B ．22log log 2x y +£-CD ．2212x y +³4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知0a >，0b >，且4a b +=，则（ ）A ．24a b +>B ．()()111a b -->C ．22log log 2a b +³D ．28a 三、填空题5．（2024·上海奉贤·三模）若1ab +=，则ab 有最大值为 ．6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是 ．7．（2024·天津·模拟预测）若0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b æöæö++ç÷ç÷èøèø的最小值为8．（2024·河南·模拟预测）已知向量()(),,0a m n m n =>r ，()1,2b =r ，若1a b ×=r r ，则14m n +的取值范围为 ．9．（2024高三·全国·专题练习）若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为 ．10．（2024·广东·三模）设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t £££££，则x zy t+的最小值为 .一、单选题1．（2024·北京顺义·三模）设,1x y ³，1a >，1b >.若3x y a b ==，a b +=11x y+最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．122．（2024·江苏盐城·模拟预测）sin 的最小值为（ ）A ．12-B ．C ．D ．34-3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知1m >，0n >，220m m n -+=，若不等式11mm nλ+³-恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．（2024·广西·模拟预测）已知,(,0)a b Î-¥，且45a b ab +=-，则ab 的取值范围为（ ）A ．[25,)+¥B ．[1,)+¥C ．(]0,5D ．(]0,1二、填空题5．（2024·上海·三模）已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数x ，y 满足24ln 2ln 44x y x y +³+-，则xy =.7．（2024·河北·三模）已知函数()lg f x x =，若()()()f a f b a b =¹，则当23a b ×取得最小值时，ab= ．8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x ，y 满足2441y y xy x ++=，则13x y x+-的最小值为 ．9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数,a b 满足221a ab b -+=，则ab 的最大值为 ；221111a b +++的取值范围为 ．三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数,x y 满足2,23x y >>，不等式229232+³--x y m y x 恒成立，求m 的最大值．1．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +£B ．2x y +³-C ．222x y +£D ．221x y +³3．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C p=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+5．（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．66．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为 ．7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．2212a b +³B ．122a b ->C ．22log log 2a b +³-D +£8．（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为 ．9．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是．。
专题05 不等式(组)及不等式的应用(5大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练解析版)
第二部分方程（组）与不等式（组）专题05 不等式（组）及不等式的应用核心考点一不等式的基本性质核心考点二一元一次不等式（组）的解法核心考点核心考点三含参不等式（组）问题核心考点四不等式的实际应用核心考点五方程与不等式结合的实际应用新题速递核心考点一不等式的基本性质例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项符合题意；数轴上的点分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）【答案】【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：，由不等式的性质得：，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．江苏淮安·中考真题）解不等式．解：去分母，得．……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得．【详解】（1）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得；（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．知识点：不等式及其基本性质1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
2、基本性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即如果，那么性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么，性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么，性质4如果，那么性质5如果，，那么【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．a，b，c不可能同时相等D．若，则【答案】B【分析】A.根据，则，根据，得出；B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；C.当时，可以使，，即可判断出答案；D.根据解析B可知，，即可判断．【详解】A.∵，∴，∵，∴，∴，故A错误；B.∵，即，∴，把代入得：，，解得：，故B正确；C.当时，可以使，，∴a，b，c可能同时相等，故C错误；D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x 的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（ ）A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13【答案】C【分析】根据不等式的性质，利用不等式的解集是得到，，然后把代入不等式中求解即可．【详解】解：∵不等式的解集是，∴（），，∴，不等式变形为，即，∵，∴．故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握不等式的性质．【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式，两边同除以m，得，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】由不等式的基本性质知，据此可得答案．【详解】解：若不等式，两边同除以，得，则．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a＝_____．【答案】【分析】根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．【详解】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为，∴1﹣a＜0，解得a＞1，即，∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对值的化简．【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知，，请比较M和N的大小．以下是小明的解答：∵，，∴．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．【答案】有错；时，；时，；时，；【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．【详解】解：有错，正确解答如下．∵，，∴．∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M<N．∴时，；时，；时，．【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．核心考点二一元一次不等式（组）的解法例1（2022·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是（）A．B．C．D．【详解】解：，移项，合并同类项得：本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握中考真题）若在实数范围内有意义，则实数___________．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．中考真题）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．【答案】x≤1，图见解析【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．【详解】解：解①得：x≤1，解②得：x<6，∴x≤1，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．知识点：一元一次不等式及其解法定义含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
基本不等式的应用(高中数学)
12
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
13
(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x0<x<21，即 x＝14时，ymax＝116.
基本不等式 基本不等式的应用
一元二次函数、方程和不等式
2
学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数 1.通过基本不等式求最值，提升数学
的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用 题．(难点)
运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的 应用，培养数学建模素养.
3
自主预习 探新知
4
D.25
当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时取
等号．]
40
4．已知 x>0，求 y＝x22＋x 1的最大值． [解] y＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴y≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
27
[解] 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以 2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 Smax＝227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
【高考复习】高考数学不等式各题型备考策略
【高考复习】高考数学不等式各题型备考策略摘要：为了帮助考生们了解自主招生信息，数学网分享了高考数学不等式题型备考，供您参考!不等式知识广泛应用于中学数学的各个分支。
因此，不等式的应用体现了一定的综合性、灵活性和多样性，对促进数学知识各部分的整合起到了很好的作用。
在解决问题时，我们应该根据问题的结构特点和内在关系来选择合适的解决方案，设计并得出结论，最后归结为解决或证明不等式。
不平等有着广泛的应用。
它贯穿整个中学数学。
例如集合问题、方程（系统）解的讨论、函数单调性的研究、函数定义域的确定、三角、数列、复数、立体几何和解析几何中的极大值和极小值问题都与不等式密切相关。
许多问题可以归结为不等式的解或证明。
知识整合1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质是不等式变形的理论基础。
方程的根、函数的性质和图像与不等式的解密切相关。
我们应该善于将它们有机地联系起来，并将它们转化为彼此。
在求解不等式时，代换法和图解法是常用的技巧之一。
通过变换，更复杂的不等式可以简化为更简单或基本的不等式。
通过构造器和数字与形状的组合，不等式的解可以简化为直观的图形关系。
对于带有参数的不等式，使用图解法可以明确分类标准。
2。
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
3.在不等式的求解中，元素变换法和图解法是常用的技巧之一。
通过元素变换，更复杂的不等式可以简化为更简单或基本的不等式。
通过构造器，不等式的解可以简化为直观直观的图像关系。
对于带有参数的不等式，图解法可以使分类标准更加清晰。
4。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。
高考数学复习 专题05 不等式 基本不等式及其应用备考策略-人教版高三全册数学素材
基本不等式及其应用备考策略主标题：基本不等式及其应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：不等式，基本不等式及其应用，备考策略难度：2重要程度：5内容：利用基本不等式求最值的条件是什么？思维规律解题考点1 利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1.设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：225)1()1(22≥+++b b a a ． 证明：∵212=+≤b a ab ∴41≤ab ∴41≥ab ∴2222211122112)1()1(⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++b a b b a a b b a a 22524122112212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ab ab b a例2.正数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.证明：∵ a+b+c=1∴ 1-a=b+c ，1-b=a+c ，1-c=a=b∵ a>0，b>0，c>0∴ b+c ≥2bc >0a+c ≥2ac >0a+b ≥2ac >0将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc即(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc考点2 利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例3.若0,0a b >>，且220a b +-=，则ab 的最大值为A ． 1 2B ．1C ．2D ．4 【答案】A 【解析】由题意得b a b a 2222⋅≥+=，22≤ab ，21≤∴ab ，故答案为A ． 例4.若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 342-<+有解，则实数m 的取值X 围是（ ）A ．)4,1(-B ．),4()1,(+∞--∞C ．)1,4(-D ．),3()0,(+∞-∞【答案】B【解析】由题可知，xy xy y x 442411=≥+=，即4≥xy ，于是有4432≥≥+>-xy y x m m ，故432>-m m ，化简得0)4)(1(>-+m m ，即实数m 的取值X 围为),4()1,(+∞--∞ ；例5.已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值. 解：x<54，∴4x －5<0． ∴y ＝4x －5＋145x -＋3＝－[（5－4x ）＋()154x -]＋3 ≤－2()()15454x x --＋3＝1，y max ＝1． 考点3 基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．例5.如图，已知小矩形花坛ABCD 中，AB ＝3 m ，AD ＝2 m ，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN ，使点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，AN 的长应在什么X 围内？(2)M ，N 是否存在这样的位置，使矩形AMPN 的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM ，AN 的长度；若不存在，说明理由．解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.∵△NDC∽△NAM，∴2yy-＝3x，∴x＝32yy-，∴S＝232yy-(y>2)．由232yy->32，得2<y<83，或y>8，∴AN的长度应在(2，83)或(8，＋∞)内．(2)当y>2时，S＝232yy-＝3(y－2＋42y-＋4)≥3×(4＋4)＝24，当且仅当y－2＝42y-，即y＝4时，等号成立，解得x＝6.∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，S min＝24.例6．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：（1)设污水处理池的宽为xm，则长为162xm总造价为f(x)＝400×16222xx⎛⎫⋅⎪⎝⎭＋＋248×2x＋80×162＝1296x＋1296100x⨯＋12960＝1296100xx⎛⎫+⎪⎝⎭＋12960≥1296×2100xx＋12960＝38880元．当且仅当x＝100x(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知016162016xx<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，，∴1018≤x≤16.设g(x)＋x＋100x110168x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，由函数性质易知g(x)在110,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴当x＝1018时(此时162x＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×180010881⎛⎫+⎪⎝⎭＋12960＝38882(元)．∴当长为16m，宽为1018m时，总造价最低，为38882元．。
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基本不等式及其应用备考策略
主标题：基本不等式及其应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：不等式，基本不等式及其应用，备考策略
难度：2
重要程度：5
内容：
利用基本不等式求最值的条件是什么？
思维规律解题
考点1 利用基本不等式证明不等式
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．
2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．
例1.设a>0, b>0，且a + b = 1
例2.正数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
证明：∵ a+b+c=1
∴ 1-a=b+c ，1-b=a+c ，1-c=a=b
∵ a>0，b>0，c>0
∴ b+c ≥a+c ≥
a+b ≥将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc
即(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
考点2 利用基本不等式求最值
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
例3.若0,0a b >>，且220a b +-=，则ab 的最大值为
A ．1 C ．2 D ．4 【答案】A
A ．
例4.若两个正实数y x ,满足
则实数m 的取值范围是（ ） A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞
C ．)1,4(-
D ．),3()0,(+∞-∞
【答案】B
【解析】由题可知，，即，于是有
故432>-m m ，化简得0)4)(1(>-+m m ，即实数m 的取值范围为),4()1,(+∞--∞ ；
例5.已知y ＝4x －2.
解：4x －5<0．
∴y ＝4x －53＝－[（5－4x ＋3
≤－3＝1，y max ＝1．
考点3 基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤是：
(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；
(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；
(3)应用基本不等式求出函数的最值；
(4)还原实际问题，作出解答．
例5.如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？
(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．
解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.
∵△NDC∽△NAM x
∴S．
，得y>8，
∴AN的长度应在(2或(8，＋∞)内．
(2)当y>2时，S3(y－24)＝24，
当且仅当y－2
即y＝4时，等号成立，解得x＝6.
∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，S min＝24.
例6．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解：（1)设污水处理池的宽为xm
总造价为f(x)
1296x
12960＝
12960≥1296×
12960＝38880元．当且仅当x
，
即x＝10时取等号．∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38880元．
(2)
x≤16.设g(x)＋x
数性质易知g(x)在
x＝
(16)，g(x)有最小
值，即f(x)
有最小值12960＝38882(元)．∴当长为16m
，宽为时，总造价最低，为38882元．。