工程经济学课件 5.1线性方程组的数值解法

(2)
22
23
(2)
(2)
2n
2
0
0
( 3 )
(3)
(3)
a a b 33
3n
3
0
0
( 3 )
(3)
(3)
a a b n3
nn
n
令mi 2
则
a(2) i2
a(2) 22
,i
2,3,..., n
a a m a ( 3 )
(2)
ij
ij
(2) i2 2j
(i 3,...,n; j 3,...,n)
b b m b ( 3 )
(2)
i
i
(2) i2 2
(i 3,...,n)
• 重复上述过程, 最后得
a1(11 )
a( 1 ) 12
a( 2 ) 22
... ...
... ...
...
a( 1 ) 1n
...
a( 2 ) 2n
b( 1
b( 2
1 2
) )
[ A( n )b( n )]
n
)
令mi1
则
a(1) i1
a(1) 11
,i
2,3,..., n
a a m a (2)
(1)
ij
ij
(1) i1 1 j
(i 2,...,n; j 2,...,n)
b b b m (2)
(1)
(1)
i
i
1 i1
(i 2,...,n)
第二步：当a2(22)
0,第2行
a(2) i2 a(2) 22
a(2) 2n
a(2) nn
b(1)
a11
1
b(2 2
)
b(2 n
)
r2 (mi2 ) ri
i 3,4,,n
0 0 0
a12 a(2)
22
0
0
a13 a(2)
23
a(3) 33
a(3) n3
a1n a(2)
2n
a(3) 3n
a(3) nn
b1
b2(2)
b3(
3
)
b(3 n
22
行将其变为主元
a1n b1
a b (2)
(2)
2n
2
0
a(2) n2
a(2) nn
b(2 n
)
max 第
k步
：
选
a( k ) ik ,k
a( k kn
)
,交 换 第k行 和 第ik 行 ，
kin
然 后 进 行 第k次 消 元.
如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.
13
14
u u u 0
22
23
44
u u 0 0
33
34
0
0
u 0 44
u11 l u21 11 l u31 11 l u41 11
u12
l u u
21 12
22
l u l u 31 12 32 22
l u l u 41 12 42 22
u13
l u u
21 13
23
l u l u u
31 13 32 23
1
1
E3
m31
1
1 nn
·········
1
I
1
1 nn
··
第一行乘 –mn1 加到第n行
1
En
1
mn1
1 nn
高斯消元法的矩阵形式
1
记 L1 = En····E3E2
m21
高斯消元法第一步：
令mi1
a(1) i1
a(1) 11
A(1)
b(1)
mn1
0 1 0
A(2)
)
等价于
其中
L2A(2)=A(3), L2b(2)=b(3)
1
0
L2
0
...
0
0 1 m32 ... mn2
0 ... 0
0 ... 0
1 ... 0
...
0 ... 1
一般第k步消元的矩阵表示为 Lk A(k)=A(k+1), Lkb(k)=b(k+1)
1
1
其中 Lk =
1
mk1,k ...
第五章 线性代数方程组的数值解法
n 阶线性方程组：
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
p36
a x a x a x b
21
1
22
2
2n n
2
a x a x a x b
n1
1
n2
2
nn n
n
矩阵表示记为 AX b
a 这里 A
, 我们假设 A 0,
ij nn
X (x1 , , xn )T , b (b1 ,
二 矩阵的直接三角分解
此分解在于如何算出L,U的各元素，以n 4为例
a a a a 1 0 00
11
12
13
14
a a a a l 1 00
21
22
23
24
21
a a a a l l 31
32
33
34
10
31
32
a a a a l l l 41
42
43
44
1
41
42
43
u u u u 11
12
由此解线性方程组Ax b就等价于解两
个三角方程组：
L(
Ux
)
b
Ly Ux
b y
因 此 ， 关 键 问 题 在 于 能否 对 矩 阵A直 接 进
行LU分 解 。
1
I
1
第一行乘 –m21 加到第二行
1 nn
1
I
1
第一行乘 –m31
1 nn
加到第三行
1
E2
m21
1
1 nn
, bn )T.
引言
• 关于线性方程组的数值解法一般有两类。
– 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组 的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误 差）. 代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。计 算代价高.
– 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程 组精确解的方法. 简单实用。
5.1 高斯消去法
其中，uii 0,i 1,2,...,n
xn xi
bn /unn
n
(bi uij
j i 1
x
j
)/uii
i n 1,...2,1
二 高斯消去法步骤如下： 设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b
第一步：当a(1)
0,第1行
a(1) i1
第i行,i
2,, n
11
a(1)
a(1) a(1) a(1) b(1)
)]
[
A,b]
a21
a22
a2n
b2
具体步骤为：
an1
an2
ann
bn
第一步：选ai1,1 max ai1 ,交换第1行和第i1行， 1 i n
然后进行消元，得
a( 1 ) 11
[ A( 2 ) ,b( 2 ) ]
a( 1 ) 12
a( 2 ) 22
a( 2 ) n2
a(1) 1n
21 12
22
l u u 21 13
23
l u u 21 14
24
l u l u l u l u l u u 31 11
31 12
32 22
31 13
32 23
33
l u l u u
31 14
32 24
34
l u l u l u l u l u l u l u l u l u u 41 11
11
12
1n
1
a a a b (1)
(1)
21
22
(1)
(1)
2n
2
(1)
(1)
a a a b n1
n2
(1)
(1)
nn
n
a a a b 11 (1)
(1)
(1)
(1)
11
12
1n
1
0
a a b (2)
(2)
(2)
22
2n
2
0
a(2)
n2
a(2)
nn
b(2
... ... ... ... ...
a(k ) kk
...
a(k ) kn
b( k
k
)
... ... ...
a b ( n )
(n)
nn
n
x b 再解 A( n ) ( n )
原方程组的同解方程组
Gauss 消去法
消元过程
对于k 1,2,...,n 1
a( k1 ) ij
a( k ij
0
0
1
b(2)
a(1) 11 a(1)
21
(1)
a n1
a a (1)
(1)
12
1n
a a (1)
(1)
22
2n
a a (1)
(1)
n2
nn
b(1))
ri
2
b(1) n
i
2,3,
,n
a(1) a(1) a(1) b(1)
11
12
1n
1
0
a a b (2)
x1
xi
b1 / ( bi
l11
i 1
j 1
lij
xj
)
/
lii
i 2,3,...,n
该法称为向前代入法。
上三角方程组的回代求解：
u11 x1 u12 x2 ...... u1n xn b1
u22 x2 ...... u2n xn b2
......
unn xn bn
)
m a(k ik kj
)
,i
k
1,...,n;
j
k
1,...,n
b( k1 ) i
b( k i
)
m b( k ik k
)
,i
k
1,...,n
其中mik
ai(kk ak( kk
) )
,
i
k
1,...,n
回代过程
xn
b(n) n
/
a(n) nn
xi
( bi( i )
n
a( ij
i
)
.x
j
ji1
)/
注： （1） L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的 分解称为Doolittle 分解
（2）L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称
为Crout 分解。
定理5.1：
如果n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
0,
a11 a21
a12 0,, A 0, a22
则方阵A必可作LU分解，且分解是唯一的。
例：用Gauss列主元消去法解方程组
2 4 6 x1 3
4
9
2
x2
5
1 1 3 x3 4
解：
4 9 2 5
2 4
4 9
6 2
3 5
r1 r2
4 2
9 4
2 6
5
3
1 1 3 4
1 1 3 4
r2
1 2
r1
0
1
r3
1 4
r1
0
2 5
5
1
2
5
11
4 2 4
4 9
r2 r3 0
)
U
... ... ... ...
0
0
0
...
a( n nn
)
所以
A
( Ln1Ln2 ...L2 L1 )1U
L1 1
L1 2
...
L1 n
2
L U 1 n1
1
m21
1
m31 ...
m32 ...
1 ...
U LU
L
mn1 mn2 ... mnn1 1
其 中L为 单 位 下 三 角 阵 ，U为 上 三 角 阵
1.在高斯消去法消去过程中可能出现
a( k ) kk
的0
情况，这时高斯消去法将无法进行
2.如果某个
a(k kk
)
,但0很小，会引入较大的误差。
三 高斯列主元消去法
基本思想：在每轮消元之前，选列主元素 （绝对值最大的元素）
设方程组AX b的增广矩阵为
a11 a12 a1n b1
[
A(
1
)
,b( 1
第i行,i
3,, n
a (1) 11
a a (1)
(1)
12
1n
b(1) 1
0
a a b ( 2 )
(2)
(2)
22
2n
2
0
a( 2 ) n2
a( 2) nn
bn( 2 )
a (1) 11
a (1) 12
a a (1)
(1)
13
1n
b(1) 1
0 a a a b ( 2 )
mn,k
,
L1 k
1
1
mk 1,k ...
mn,k
1
最后可得
A(n)
a( 1 ) 11
0
a( 1 ) 12
a( 2 ) 22
a( 1 ) 13
a( 2 ) 23
...
a ( 1 ) 1n
...
a( 2
2 n
)
L L n1 n2
...L2 L1 A
0
...
0
a( 3 ) 33
...
a( 3 3n
a(2) 2n
a( 2 ) nn
b ( 1 ) 1
b( 2
2
)
b( n
2
)
max 第
二
步
：
选a ( 2 ) i2 ,2
a(2) i2
,交换第2行和第i2行，
2 i n
然后进行消元，得[ A(3) ,b(3) ].
挑选从第二行开始的第 二列中的最大元素,交换
a11
以第二步为例:
0
a12 a(2)
(2)
(2)
22
2n
2
0
a(2)
n2
a(2)
nn
b(2
n
)
等价于 L1A(1)=A(2), L1b(1)=b(2)
第二步消元
A(2)
b(2)
(2)
ai 2
令m i2
(2)
a22
A(3)
b(3)
a(1) 11
0
0
a(1) 12
a(2) 22
a(2) n2
a(1) 1n
33
l u l u l u 41 13 42 23 43 33