2018高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4节 二次函数的再研究与幂函数课时分层训练 文 北师大版

课时分层训练(七) 二次函数的再研究与幂函数
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知幂函数f (x )＝k ·x α
的图像过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )
【导学号：66482047】
A.1
2 B ．1 C ．3
2
D ．2
C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α
＝22，解得α＝12，从而k ＋α
＝3
2
.] 2．函数f (x )＝2x 2
－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )
A ．－3
B ．13
C ．7
D ．5
B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图像的对称轴为直线x ＝m
4
，由函数f (x )的增减区间可知
m
4
＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2
＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]
3．若幂函数y ＝(m 2
－3m ＋3)·xm 2
－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( )
【导学号：66482048】
A ．－1≤m ≤2
B ．m ＝1或m ＝2
C ．m ＝2
D ．m ＝1
B [由幂函数性质可知m 2
－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图像不过原点，∴m 2
－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]
4．已知函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )
A B C D
D [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c
a
＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所
以也排除A.]
5．若函数f (x )＝x 2
－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )
【导学号：66482049】
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2
B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－a ≤4－3a ，
4－3a ＝1，解得a ＝1.]
二、填空题
6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2
－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.
1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，
所以f (x )在[2,3]上递增，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
f
＝1，f ＝4，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ·22
－2a ·2＋1＋b ＝1，
a ·32
－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]
7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
，则P ，Q ，R 的大小关系是________．
P ＞R ＞Q [P ＝2－32
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫223，根据函数y ＝x 3
是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝
⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫253
，即P ＞R ＞Q .] 8．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2
－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．
(－4,4) [由题意可得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
5－a >0，
Δ＝36－－a a ＋，
解得－4<a <4.] 三、解答题
9．已知幂函数f (x )＝x (m 2
＋m )－1
(m ∈N *
)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围.
【导学号：66482050】
[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，
∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1
， ∴m 2
＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 4分 又∵m ∈N *
，∴m ＝1.
∴f (x )＝x 1
2，则函数的定义域为[0，＋∞)，
并且在定义域上为增函数．
由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ≥0，a －1≥0，
2－a ＞a －1，10分
解得1≤a ＜3
2
.
∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，32. 12分 10．已知函数f (x )＝x 2
＋(2a －1)x －3，
(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2
＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－3
2∈[－2,3]，2分
∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－9
2
－3＝－214，
f (x )max ＝f (3)＝15，
∴值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－214，15. 5分
(2)对称轴为x ＝－2a －1
2.
①当－2a －12≤1，即a ≥－12
时，
f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，
∴6a ＋3＝1，即a ＝－1
3满足题意；8分
②当－2a －12＞1，即a ＜－12
时，
f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，
∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－1
3
或－1. 12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2
－m －1)·x 4m 9
－m 5
－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，
ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )
A ．恒大于0
B ．恒小于0
C ．等于0
D ．无法判断
A [∵f (x )＝(m 2
－m －1)x 4m 9
－m 5
－1是幂函数， ∴m 2
－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.
当m ＝2时，指数4×29
－25
－1＝2 015＞0，满足题意．
当m ＝－1时，指数4×(－1)9
－(－1)5
－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x
2 015
.
∴幂函数f (x )＝x 2 015
是定义域R 上的奇函数，且是增函数．
又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，
则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，
∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]
2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在
x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．
⎝ ⎛⎦
⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2
－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，
当x ∈[2,3]时，
y ＝x 2－5x ＋4∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－9
4
，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2
－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．]
3．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .
(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围.
【导学号：66482051】
[解] (1)由题意知
⎩⎪⎨⎪⎧
－b 2a ＝－1，
f －＝a －b ＋1＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2.2分
所以f (x )＝x 2
＋2x ＋1，
由f (x )＝(x ＋1)2
知，函数f (x )的递增区间为[－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1]. 6分
(2)由题意知，x 2
＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2
＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分
令g (x )＝x 2
＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，
由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋3
4
知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所
以k ＜1，
即k 的取值范围是(－∞，1). 12分。