[合集3份试卷]2020广东省阳江市高考数学联考试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，
则该双曲线的标准方程可能为（ ）
A ．2
212x y -=
B ．2213x y -=
C ．2214x y -=
D ．22132
x y -=
2．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种
B ．20种
C ．22种
D ．24种
3．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a x
f x a x
+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∨⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧
4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020
B ．20l9
C ．2018
D ．2017
5．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ）
A ．
B ．-1或1
C ．1
D
6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3
C π
=，若()m c a b =-，(,n a b c =-，
且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．3
B ．
2
C ．
2
D ．7．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移
8
π
个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）
A ．())4
f x x π
=
+
B ．()cos(2)4
f x x π
=+
C ．()2cos(2)4
f x x π
=
-
D ．()cos(2)4
f x x π
=-
8．已知抛物线()2
20y px p =>经过点()
2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）
A ．22
B ．
2 C ．
2 D ．22-
9．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
10．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5
A =,，{}2,3,4
B =，则集合()U
B A =( )
A ．{}1,2,6
B ．{}1,3,6
C ．{}1,6
D ．{}6
11．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}2
2
*
|,B x x a a N
=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知正方形ABCD 边长为3，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，则三棱锥A PCD -体积的最大值是______.
14．若向量()
()2
21a x b x ==，
，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 15．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____．
16．已知P 为椭圆22182
x y +=上的一个动点，()2,1A -，()2,1B -，设直线AP 和BP 分别与直线4
x =交于M ，N 两点，若ABP ∆与MNP ∆的面积相等，则线段OP 的长为______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC 中，角,,A
B C 所对的边分别为a b c ，，，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=，ABC 的面积S abc =. （1）求角C ；
（2）求ABC 周长的取值范围.
18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=． （1）若3C π
=
，证明：3sin sin B C =．
（2）若23
C π
=，7c =，求ABC ∆的面积．
19．（6分）已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A+3sin 2B ＝4sinAsinB+3sin 2C ． （1）求cosC 的值； （2）若a ＝3，c 6=
，求△ABC 的面积．
20．（6分）已知直线l ：33x t
y t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩
（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．
（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的
12倍，纵坐标压缩为原来的3
倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．
21．（6分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，
45AB AD ADC AD ⊥∠=︒，，∥22BC AD AB ==，，ADP △为等边三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E
为AD 的中点.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ； （2）点F 在线段CD 上，且
3
2
CF FD =，求平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 22．（8分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++-+=()
*
n ∈N . （1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
23．（8分）已知数列{}n a 满足12a =，()
*
122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .
（1）通过计算
10
2a ，212a ，3
22a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*
n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝
⎭，若数列{}n c 是单调
递减数列，求常数t 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．A 【解析】 【分析】
直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，得y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可 【详解】
直线l 的方程为)y x c =
+，令0x =，得3y =.因为3
c b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件.
故选：A 【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力. 2．B 【解析】 【分析】
分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有22
32C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +12
2210C A =种不同分配方案；
第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有3
3A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +12
2210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题. 3．A 【解析】 【分析】
分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】
对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由
0a x
a x
+>-解得a x a -<<，且()()1
ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭
，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
根据题意计算20190a >，20200a <，201920200a a +>，计算2018
10b <，
2019
10b >，
2018
2019
110b b +
>，得
到答案. 【详解】
n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，
故20190a >，20200a <，20192020
0a a +>，12n n n n b a a a ++=，故12
11n n n n a a b a ++=， 当2017n ≤时，1
0n b >，2018201820192020110a a a b =<，2019201920202021110a a a b =>， 20192020
2018
2019
201820192020
201920202021
2018201920202021
11110b a a a a a a a a a a a a b ++=
+
=
>，
当2020n ≥时，1
0n
b <，故前2019项和最大. 故选：B . 【点睛】
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 5．B 【解析】 【分析】
由题意得，()()2
111zz ai ai a =+-=+，然后求解即可
【详解】
∵1z ai =+，∴()()2
111zz ai ai a =+-=+.又∵2zz =，∴212a +=，∴1a =±.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题 6．C 【解析】 【分析】
由//m n
，可得2
()(a b c c -=+，化简利用余弦定理可得2221
cos 322
a b c ab π
+-=
=，解得ab ．即可得出三角形面积． 【详解】
解：
()
m c a b =-
，(,n a b c =-+，且//m n ，
2()(a b c c ∴-=，化为：22226a b c ab +-=-．
222261
cos 3222
a b c ab ab ab π
+--∴===，解得6ab =．
11sin 62222
ABC S ab C ∆∴=
=⨯⨯=
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．A 【解析】 【分析】
先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】
因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所
以4
k π
ϕπ=
+，ϕ的最小值是
4π.()0cos 14f A π==，则A =，所以()24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系. 8．A 【解析】 【分析】
先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】
解：抛物线()2
20y px p =>经过点(M
(2
22p =⨯，2p =，
()
1,0F ，MF k =
故选：A 【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 9．B 【解析】 【分析】
根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 10．D 【解析】 【分析】
根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】
{}1,2,3,4,5A B ⋃=，故可得
()U
B A ={}6.
故选：D. 【点睛】
本题考查集合的混合运算，属基础题. 11．B 【解析】 【分析】
解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【详解】 解：
22x a ≤，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.
当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【点睛】
本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系. 12．D 【解析】 【分析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案. 【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确.
因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D
错误. 故选：D . 【点睛】
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
36
4
【解析】 【分析】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，设点
(),,P a b c ，根据题中条件得出35a b =-，进而可求出c 的最大值，由此能求出三棱锥A PCD -体积的最大值. 【详解】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，设点(),,P a b c ， 空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，
所以()()()222222222
23323a b c a b c a b c ++=-+-+=+-+35a b =-， ()2
2
2223344351022c a b b b b ⎛
⎫∴=--=---=--+ ⎪⎝
⎭
当32b =
，12a =-时，c 取最大值6
2
所以，三棱锥A PCD -的体积为2111636
333224
A PCD P ACD ACD V V S c --∆==
⋅≤⨯⨯⨯=
.
因此，三棱锥A PCD -体积的最大值为
4
.
. 【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 14．()3,1- 【解析】 【分析】
根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案. 【详解】
()
()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<.
故答案为：()3,1-. 【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力. 15．
1
4π
【解析】 【分析】
求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】
解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率2
21
224ππ
==⨯⨯． 故答案为：14π
． 【点睛】
本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.
16 【解析】 【分析】
先设P 点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点P 的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得OP ．
【详解】
如图，设00(,)P x y ，02
222x -≤≤，02x ≠±， 由ABP MNP S S ∆∆=，得
11
sin sin 22
PA PB APB MP NP MPN ∠=∠， 由sin sin 0APB MPN ∠=∠≠得
PA PN PM
PB
=，∴
00002442x x x x +-=--，解得05
2
x =，
又P 在椭圆上，∴22
00182
x y +=，2
0716y =，
∴22
20057107()2164OP x y =
+=+=
． 故答案为：
1074
．
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）23C π
=（Ⅱ）32324⎛+ ⎝⎦
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由1
sin 2
S abc ab C ==
可得到2sin c C =，代入22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=，结合正弦定理可得到222a b ab c ++=，再利用余弦定理可求出cos C 的值，即可求出角C ；（Ⅱ）由2sin c C =，并结合正弦定理可得到()1sin sin sin 2a b c A B C ++=
++，利用2π
3C =，3
A B π+=，可得到3π3sin sin sin sin sin sin 33A B C A A A π⎛⎫⎛
⎫++=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，进而可求出周长的范围． 【详解】
解：（Ⅰ）由1
sin 2
S abc ab C ==
可知2sin c C =， ∴222sin sin sin sin sin A B A B C ++=.由正弦定理得222a b ab c ++=.
由余弦定理得2221
cos 22
a b c C ab +-==-，∴2π3C =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2sin c C =，∴2sin a A =，2sin b B =.
ABC ∆的周长为()1
sin sin sin 2
a b c A B C ++=
++
1sin sin 234A A π⎡⎤
⎛⎫=
+-+ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦
11sin sin 22A A A ⎛⎫=
- ⎪ ⎪⎝⎭
11sin 22A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
1πsin 23A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.
∵π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ2π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴πsin 3A ⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
,
∴ABC ∆的周长的取值范围为22
4⎛ ⎝⎦.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积公式，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
18．（1）见解析（2 【解析】 【分析】
（1）由余弦定理及已知等式得出,c b 关系，再由正弦定理可得结论； （2）由余弦定理和已知条件解得,a b ，然后由面积公式计算． 【详解】
解：（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+， 由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =．
因为B ，()0,C π∈sin B C =．
（2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，① 由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，②
联立①②解得b =，a =1sin 22
ABC S ab C ∆==
． 【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．
19．（1）23；（2． 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b ＝1或b ＝3，结合面积公式求解. 【详解】
（1）已知等式3sin 2A+3sin 2B ＝4sinAsinB+3sin 2C ，利用正弦定理化简得：3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab ，即a 2+b 2﹣c 24
3
=
ab ， ∴cosC 2222
23
a b c ab +-==；
（2）把a ＝3，c =3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab 得：b ＝1或b ＝3，
∵cosC 2
3
=
，C 为三角形内角，
∴sinC ==
，
∴S △ABC 12=
absinC 12=⨯3×b 32
⨯=
b ，
则△ABC 的面积为22
． 【点睛】
此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.
20．（1）1AB =；（2 【解析】
【分析】
(1)将直线l 和曲线1C 化为普通方程，联立直线l 和曲线1C ，可得交点坐标，可得AB 的值； （2）可得曲线2C 的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案. 【详解】
解：（1）直线l
的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程22
1x y +=．
联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为()1,0A
，1,22B ⎛- ⎝⎭
，则1AB =． （2）曲线2C
的参数方程为1
2
2
x cos y sin θ
θ
⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P
的坐标为1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而点P 到直线l
的距离是
π24d θ⎤⎛
⎫=
=
-+ ⎪⎥⎝
⎭⎦， 由此当πsin 14θ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭时，d
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题. 21．（1）见解析（2
【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的性质证得PE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥底面ABCD ，由此证得PE BC ⊥，结合CE BC ⊥证得BC ⊥平面PCE ，由此证得：平面PBC ⊥平面PCE .
（2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF 和平面PAD 的法向量，计算出平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】
（1）证明：∵PAD △为等边三角形，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥ ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD
底面ABCD AD =，
∴PE ⊥底面ABCD BC ⊂，平面ABCD ，∴PE BC ⊥ 又由题意可知ABCE 为正方形，CE BC ⊥ 又PE
EC E =，∴BC ⊥平面PCE
BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCE
（2）如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,00,1,01,1,01,0,0E A B C --，，，，()0,1,0D
，P ，
由已知
3
5
CF CD
=，得
23
,,0
5
5
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
23
(1,1,3),,,3
55
PB PF
⎛⎫
=--=-
⎪
⎝⎭
设平面PBF的法向量为()
,,
n x y z
=，则
30
23
30
55
n PB x y z
n PF x y z
⎧⋅=--=
⎪
⎨
⋅=+-=
⎪
⎩
令3
z=，则
249
,
55
x y
==，
∴249,,3
55
n
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
由（1）知平面PAD的法向量可取为()
1,0,0
m=
∴
22
2
24
4183
5
|cos,|
249
(3)
55
m n
<>==
⎛⎫⎛⎫
++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
∴平面PAD与平面PBF4183.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22．（1）证明见解析；
31
2
n
n
a
-
=（2）
1
(21)33(1)
42
n
n
n n n
S
+
-⨯++
=-
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给递推关系式得到()
211
3
n n n n
a a a a
+++
-=-，由此证得数列{}
1
n n
a a
+
-为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列{}n a的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得数列{}n b的前n项和n S
【详解】
（1）已知21
430
n n n
a a a
++
-+=，
则()
211
3
n n n n
a a a a
+++
-=-，
且213a a -=，则{}1n n a a +-为以3为首相，3为公比的等比数列，
所以13n
n n a a +-=，()()()11221131
2
n n n n n n a a a a a a a a ----=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+=. （2）由（1）得：3n
n b n n =⋅-，
1213233n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯，①
23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②
①－②可得11
2
1
13323333
32
n n
n n n T n n ++---=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯=-⨯，
则111333(21)33
424n n n n n n T +++-⨯-⨯+=-+=
即1(21)33(1)
42
n n n n n S +-⨯++=-
. 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.
23．（1）1
(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）首先利用赋值法求出
3
12013
,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 【详解】
（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则
1022a =，2
32a =，3242
a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+．
证明：由于122n
n n a a +=+，
所以
11
1
222
n n n n a a ++=+，
则：
11
1
222
n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a
是首项为1，公差为12
的等差数列． 所以
111(1)2222
n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2
n n n
b b n N n +=
∈+， 所以12
n n b n
b n +=+， 则121211221
143
n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+，
所以2(1)
n b n n =
+．则22(
)(1)n
n t c n n n n =-+， 所以1
12242
2(
)2()2(2)2121
n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222
221323n t n n n n n n
>-==
++++++， 由于2
36n n ++，所以21
333n n
++，即13t >． 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2
f x x x
=-，则()}{
21x f x +>=（ ）
A ．{
3x x <-或}0x > B ．{
0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >
D ．{
2x x <或}4x >
2．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'
10x f x x f x -⋅+⋅>，若3
(2)y f x e
=+-是奇函数，则
不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞
B ．(),1-∞
C ．()2,+∞
D ．()1,+∞
3．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
4．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭在,32ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
5．ABC ∆中，25BC =，D 为BC 的中点，4
BAD π
∠=，1AD =，则AC =（ ）
A ．25
B ．22
C ．65-
D ．2
6．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异面直线1AB 与1
BC 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B ．
66
C ．
34
D ．
36
7．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2
()3f x x x
=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--
B ．(,2][1,0]-∞-⋃-
C ．(,2][1,0)-∞-⋃-
D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-
8．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55
C ．66
D ．78
9．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433
x
f x =+，则
33log 2f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．2-
B ．3
C ．3-
D ．2
10．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5}
B ．{1,2,3,4}
C ．{2,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111
,,tan tan tan A B C
依次成等差数列，则（ ）
A ．,,a b c 依次成等差数列
B
C ．222,,a b c 依次成等差数列
D ．333,,a b c 依次成等差数列
12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，
则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4
B ．6
C ．3
D ．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC 中，AB =1BC =，23
C π
∠=
，则AC =__________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =上任意一点P 到直线:0l x +=的距离的最小值为________．
15．已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 16．若3
21()(2)573
f x kx k x k =
+--+在()0,2上单调递减，则k 的取值范围是_______ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()
()2
x
x ax a f x e
+-=
，其中a R ∈.
（1）当0a =时，求()f x 在()()
1,1f 的切线方程； （2）求证：()f x 的极大值恒大于0.
18．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标
原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3
π
θρ=∈R ，曲线C 与直线l
其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角02
ρπ
θ≤<
（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；
（2）已知直线m 的直角坐标方程为30x y -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.
19．（6分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()
23,3m a b c =-，向量s )(co ,n B cosC =，且//m n .
（1）求角C 的大小； （2）求3()3
y sinA sin B π
=+-
的最大值.
20．（6分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点．
(Ⅰ)求证：FG //平面PBD ； (Ⅱ)求证：BD FG ⊥．
21．（6分）已知△ABC 的两个顶点A,B 的坐标分别为(2-2,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC,BC,AB 上的切点分别为P ,Q,R,|CP|=22-,动点C 的轨迹为曲线G. （1）求曲线G 的方程;
（2）设直线l 与曲线G 交于M,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
22．（8分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表： 分组 频数（单位：名）
使用“余额宝” x
使用“财富通” y
使用“京东小金库”
30
已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名. （1）求频数分布表中x ，y 的值；
（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息. 23．（8分）已知点(1,0),(1,0)M N -
，若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算210
x x
x ⎧-=⎪
⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】
由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2
f x x x
=-
，
可知()2
f x x x
=-
在[)1,+∞单调递增 则21
20
x x x
x ⎧
-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，
所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{
21x f x +>={
2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，
()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.
2．A 【解析】 【分析】 构造函数()()x
x f x g x e ⋅=
，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()
3
2y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.
【详解】
构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''
10x
x f x x f x g x e
-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()3
2y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()3
20y f e =-=，所以()3
2f e =，所以
()3
2222e g e e
⨯==.
由1()20x x f x e +⋅-<得()()
()22x
x f x g x e g e
⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 3．A
【解析】 【分析】
求出2
()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即
可求解. 【详解】
2()626()3
a
f x x ax x x '=-=-，
若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，
()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；
若0a >，(0,),()0,(0,),()03
a
x f x x f x ''∈<∈+∞>，
()3221f x x ax =-+在
()0,∞+内有且只有一个零点，
31()10,3327
a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题. 4．B 【解析】 【分析】 由ππ32x -
≤≤,可得πππ
333
ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ3
2ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -
≤≤,可得πππ
333
ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,
又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π
[π,0]3
-
-∈,
所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则π
ππ33π
π0
2
30ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩
,即2230
ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】
在ABD ∆
中，由正弦定理得sin B =
cos cos 4ADC B π⎛⎫
∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC . 【详解】
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BD B π=
，得sin 10
B =，又BD AD >，所以B
为锐角，所以cos 10B =
，cos cos 45ADC B π⎛⎫
∴∠=+= ⎪⎝⎭
，
在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，
2AC ∴=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 6．B 【解析】 【分析】
设1AA c
=，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法则可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ⋅和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=
，12b c ⋅=，1
2
a c ⋅=
1AB a c =+，11BC BC BB b a c =+=-+
()()
221111
11122
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=
-++= 又()
2
22123AB a c a a c c =
+=+⋅+=
(
)
2
22212222BC b a c
b a
c a b b c a c =
-+=++-⋅+⋅-⋅=
111111
16
cos ,66
AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>=
=
=⋅ 即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：本题正确选项：B 【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 7．B 【解析】 【分析】
利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】
()f x 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.
当0x <时，0x ->，()2
3f x x x
∴-=--
-， ()f x 为奇函数，()()()2
30f x f x x x x
∴=--=++<，
由02
30x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩
得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--.
故选：B . 【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况. 8．D 【解析】
【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.
【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】 判断32
1log 03
-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．
故选：D 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 10．D 【解析】 【分析】
根据集合的基本运算即可求解. 【详解】 解：
{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，
则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 11．C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin B
B A C
=，由正弦定理
可得22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果. 【详解】
111,,tan tan tan A B C
依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==
tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B B
A C
B A
C A C A C B
+∴
+==， 2sin 2cos sin sin B
B A C
=
正弦定理得22cos a B b =， 由余弦定理得2222a c b b +-= ，2222a c b +=，即2
2
2
,,a b c 依次成等差数列，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 12．A 【解析】 【分析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.
【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅=，
则()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1
2
01x x <
<， 故120x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
， 令1m
x ，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
即()()11220x f x f x f x ⎛⎫
-=<
⎪⎝⎭
， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，
故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得220AC AC +-=，即可解得AC 的值． 【详解】 解：
3AB =，1BC =，23
C π∠=
，
∴由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-，
可得2
13121()2
AC AC =+-⨯⨯⨯-，整理可得：220AC AC +-=，
∴解得1AC =或2-（舍去）．
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 14
【解析】 【分析】
解法一：曲线C
上任取一点00,P x x ⎛ ⎝
⎭，利用基本不等式可求出该点到直线l 的距离的最小值；
解法二：曲线C
函数解析式为y =
，由y '=求出切点坐标，再计算出切点到直线l 的距离即可
所求答案. 【详解】
解法一（基本不等式）：在曲线C
上任取一点00,P x x ⎛ ⎝
⎭，
该点到直线l
的距离为
00
003
1312
22x x d x x +⎛⎫=
=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝
⎭， 当且仅当00
3
x x =
时，即当0x =时，等号成立， 因此，曲线C 上任意一点P 到直线l
解法二（导数法）：曲线C
的函数解析式为y =
，则y '=，
设过曲线C
上任意一点00,P x x ⎛ ⎝
⎭的切线与直线l
平行，则203x -=-
，解得0x =
当0=x
时，)
P
到直线l
的距离2
d ==；
当0x =
时，(
)
1P -到直线l
的距离2
d =
=.
所以曲线:C xy =
:0l x +=。