苏科版八年级下册数学期中考试试卷及答案精选模拟

苏科版八年级下册数学期中考试试卷及答案精选模拟
一、选择题
1．如图，点E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则关于四边形EFGH ，下列说法正确的是（ ）
A ．不是平行四边形
B ．不是中心对称图形
C ．一定是中心对称图形
D ．当AC ＝BD 时，它为矩形
2．为了解2019年泰兴市八年级学生的视力情况，从中随机调查了500名学生的视力情
况．下列说法正确的是（ ） A ．2016年泰兴市八年级学生是总体 B ．每一名八年级学生是个体 C ．500名八年级学生是总体的一个样本 D ．样本容量是500 3．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（ ）
A ．两组对边分别平行
B ．两组对边分别相等
C ．一组对边平行且相等
D ．一组对边平行，另一组对边相等
4．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A ．对全国中学生使用手机情况的调查
B ．对五一节期间来花果山游览的游客的满意度调查
C ．环保部门对长江水域水质情况的调查
D ．对本校某班学生阅读课外书籍情况的调查
5．江苏移动掌上营业厅，推出“每日签到——抽奖活动”：每个手机号码每日只能签到1次，且只能抽奖1次，抽奖结果有流量红包、话费充值卷、惊喜大礼包、谢谢参与.小明的爸爸已经连续3天签到，且都抽到了流量红包，则“他第4天签到后，抽奖结果是流量红包”是（） A ．必然事件 B ．不可能事件
C ．随机事件
D ．必然事件或不可能
事件
6．下列成语故事中所描述的事件为必然发生事件的是（ ） A ．水中捞月 B ．瓮中捉鳖 C ．拔苗助长 D ．守株待兔 7．在菱形ABCD 中，12AC =，16BD =，则该菱形的面积是（ ） A ．10
B ．40
C ．96
D ．192
8．把下列英文字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AD ＝6，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的
最大值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
10．从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（ ） A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
二、填空题
11．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
12．如图，在□ABCD 中，AD=6，点E 、F 分别是BD 、CD 的中点，则EF=______．
13．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB ＝AD ，且AC ＝BD ；②AB ⊥AD ，且AC ⊥BD ；③AB ⊥AD ，且AB ＝AD ；④AB ＝BD ，且AB ⊥BD ；⑤OB ＝OC ，且OB ⊥OC ．其中正确的是_____（填写序号）．
14． 如图，在ABCD 中，已知8AD cm =，6AB cm =，DE 平分ADC ∠，交BC 边于点E ，则BE = ___________ cm ．
15．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体
体积()3m
V的反比例函数，其图像如图所示.则其函数解析式为_________.
16．在整数20200520中，数字“0”出现的频率是_________．
17．如图是某市连续5天的天气情况，最大的日温差是________℃．
18．如图，在 ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D＝________°．
19．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC 于E、F，则阴影部分的面积是_____．
20．若关于x的分式方程
2
33
x a
x x
+
--
＝2a无解，则a的值为_____．
三、解答题
21．某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数分布直方图和频数、频率分布表．请你根据图表
提供的信息，解答下列问题：
分
组 49.5～59.5 59.5～69.5
69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 合计 频数 2
a
20
16
4
50
频率
0.04 0.16 0.40 0.32 b 1
（1）频数、频率分布表中a = ，b = ； （2）补全频数分布直方图；
（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少．
22．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 为BC 延长线上一点，且BD ＝BE ，连接DE ，Q 为DE 的中点，有一动点P 从B 点出发，沿BC 以每秒1个单位的速度向E 点运动，运动时间为t 秒．
（1）如图1，连接DP 、PQ ，则S △DPQ ＝ （用含t 的式子表示）；
（2）如图2，M 、N 分别为AD 、AB 的中点，当t 为何值时，四边形MNPQ 为平行四边形？请说明理由；
（3）如图3，连接CQ ，AQ ，试判断AQ 、CQ 的位置关系并加以证明．
23．已知23x =23y =-求22
x xy y ++的值。

24．计算：2429
33
x x x x x -----
25．如图，∠MON ＝90°，正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，AB ＝13，OB ＝5，E 为AC 上一点，且∠EBC ＝∠CBN ，直线DE 与ON 交于点F ．
（1）求证BE＝DE；
（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF的周长为．
26．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；
（2）下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．
27．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点
E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点
F ，在AF 的延长线上截取F
G BD =，连接BG 、DF ．
（1）求证：BD DF =； （2）求证：四边形BDFG 为菱形；
（3）若13AG =，6CF =，求四边形BDFG 的周长．
28．发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且(),,BC a AB c a c ==>．
（1）填空：当点A 位于 上时，线段AC 的长取得最小值，且最小值为 （用含,a c 的式子表示）
（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，且3,1BC AB ==，分别以,AB AC 为边，作等腰直角ABD ∆和等腰直角ACE ∆，连接,CD BE ． ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出BE 长的最小值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()10,0，点P 为线段AB 外一动点，且2,,PA PM PB ==60BPM ︒∠=，请直接写出AM 长的最小值及此时点P 的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C 【分析】
先连接AC，BD，根据EF=HG=1
2
AC，EH=FG=
1
2
BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当
AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【详解】
连接AC，BD，如图：
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=1
2
AC，EH=FG=
1
2
BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故选项B错误；
当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，故选项D错误；
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
∴四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH一定是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
2．D
解析：D
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】
A. 2019年泰兴市八年级学生的视力情况是总体，故A错误；
B. 每一名八年级学生的视力情况是个体，故B错误；
C. 从中随机调查了500名学生的视力情况是一个样本，故C错误；
D. 样本容量是500，故D正确；
故选：D.
【点睛】
此题考查总体、个体、样本、样本容量，解题关键在于掌握它们的定义及区别.
3．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
A、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，
∴选项D符合题意；故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】
解：A．对全国中学生使用手机情况的调查适合抽样调查；
B．对五一节期间来花果山游览的游客的满意度调查适合抽样调查；
C．环保部门对长江水域水质情况的调查适合抽样调查；
D．对本校某班学生阅读课外书籍情况的调查适合普查；
故选：D．
【点睛】
本题考查判别普查的方式,关键在于熟记抽样调查和普查的定义.
5．C
解析：C
【解析】
分析：直接利用随机事件的定义进而得出答案．
详解：∵有流量红包、话费充值卷、惊喜大礼包、谢谢参与四种等可能情况，∴他第4天签到后，抽奖结果是流量红包为随机事件． 故选C ．
点睛：本题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题的关键．
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 解：A 、水中捞月是不可能事件，故A 错误； B 、瓮中捉鳖是必然事件，故B 正确； C 、拔苗助长是不可能事件，故C 错误； D 、守株待兔是随机事件，故D 错误； 故选B ． 考点：随机事件．
7．C
解析：C 【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，12AC =，12BD =， ∴菱形ABCD 的面积11
12169622
AC BD =⋅⋅=⨯⨯=. 故选：C ． 【点睛】
本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
8．C
解析：C 【解析】
解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B ．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误； C ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选C ．
点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9．D
解析：D 【分析】
连接DN，根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
DN，根据题意得到当点N与点B重合时，
DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】
连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝1
2 DN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN22
AB AD
10，
∴EF长度的最大值为：1
2
×10＝5，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数．
【详解】
由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数．
故选(C)
【点睛】
本题考查统计量的选择，解题的关键是区分平均数、中位数、众数和方差的概念与意义进行解答；
二、填空题
11．90
【分析】
由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而
解析：90
【分析】
由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD ，
∴旋转的角度是∠BOD 的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
12．3
【解析】
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵点E. F 分别是BD 、CD 的中点，
故答案为3.
【点睛】
三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
解析：3
【解析】
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC =AD =6，
∵点E. F 分别是BD 、CD 的中点，
116 3.22
EF BC ∴==⨯= 故答案为3.
【点睛】
三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
13．①②③⑤
【分析】
】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方
解析：①②③⑤
【分析】
】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，③正确；
④AB＝BD，且AB⊥BD，无法得出四边形ABCD是正方形，故④错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵OB⊥OC，
∴四边形ABCD是正方形，⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟记特殊四边形的判定是解答的关键. 14．2
【分析】
由和平分，可证，从而可知为等腰三角形，则，由，，即可求出．
【详解】
解：中，AD//BC ，
平分
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形
解析：2
【分析】
由ABCD 和DE 平分ADC ∠，可证DEC CDE ∠=∠，从而可知DCE ∆为等腰三角形，则CE CD =，由8AD BC cm ==，6AB CD cm ==，即可求出BE ．
【详解】
解：ABCD 中，AD//BC ，
ADE DEC ∴∠=∠ DE 平分ADC ∠
ADE CDE ∴∠=∠
DEC CDE ∠=∠∴
CD CE ∴=
6CD AB cm ==
6CE cm ∴=
8BC AD cm ==
862BE BC EC cm ∴=-=-=
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等
腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
15．【分析】
根据“气压×体积＝常数”可知：先求得常数的值，再表示出气体体积V和气压p的函数解析式．
【详解】
设，那么点（1.6，60）在此函数解析式上，则k＝1.6×60＝96，
∴．
故答案为：
解析：
96 P
V =
【分析】
根据“气压×体积＝常数”可知：先求得常数的值，再表示出气体体积V和气压p的函数解析式．
【详解】
设
k
P
V
=，那么点（1.6，60）在此函数解析式上，则k＝1.6×60＝96，
∴
96
P
V =．
故答案为：
96
P
V =．
【点睛】
解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
16．5
【分析】
直接利用频率的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵在整数20200520中，一共有8个数字，数字“0”有4个，故数字“0”出现的频率是．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了频率的求
解析：5
【分析】
直接利用频率的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵在整数20200520中，一共有8个数字，数字“0”有4个，故数字“0”出现的频率是
1
2
．
故答案为：1
2
．
【点睛】
此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．
17．10
【分析】
根据图象找出气温差距最大的一天，然后计算温差即可．
【详解】
由图可得气温差距最大的一天为5月28日，
温差为：25-15=10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了有理数减法的
解析：10
【分析】
根据图象找出气温差距最大的一天，然后计算温差即可．
【详解】
由图可得气温差距最大的一天为5月28日，
温差为：25-15=10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了有理数减法的实际应用，根据图象找出温差最大的一天是解题关键．
18．60
【分析】
根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，
∠A=2∠B且是邻角，故可得∠B的度数，然后由“平行四边形的对角相等”的性质可得∠D=∠B，即可得出答案．
【详解】
解析：60
【分析】
根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，∠A=2∠B且是邻角，故可得∠B的度数，然后由“平行四边形的对角相等”的性质可得∠D=∠B，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A=180°，
又∵∠A=2∠B，
∴3∠B=180°，
∴∠B=60°，
又∵∠D=∠B，
∴∠D=60°，
故答案为：60．
【点睛】
本题主要是考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的相邻内角互为补角，相对内角相等是解答本题的关键．
19．1
【分析】
由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于△BOC面积，根据三角形面积公式求得△BOC面积即可．
【详解】
解：由题意可知
△DEO≌△BFO，
∴S△DEO＝S△BFO，
阴影面积＝
解析：1
【分析】
由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于△BOC面积，根据三角形面积公式求得△BOC面积即可．
【详解】
解：由题意可知
△DEO≌△BFO，
∴S△DEO＝S△BFO，
阴影面积＝△BOC面积＝1
2
×2×1＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定，根据全等三角形的性质将阴影部分的面积转化为△BOC面积是解题的关键．
20．5或1.5
【分析】
先直接解分式方程，整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，再分类讨论①当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；②当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则
a＝1.5 .
【详解】
解析：5或1.5
【分析】
先直接解分式方程，整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，再分类讨论①当1﹣2a＝0时，方程无
解，故a＝0.5；②当1﹣2a≠0时，x＝
4
21
a
a-
＝3时，分式方程无解，则a＝1.5 .
【详解】
解：
2
2
33
x a
a
x x
+=
--
，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝
4
21
a
a-
＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
【点睛】
本题主要考查了当分式方程无意义时，求字母的值.值得引起注意的是，当分式方程化为整式方程（1﹣2a）x＝﹣4a时，一定要分1-2a=0和1-2a≠0两种情况，来分别求m的值.三、解答题
21．（1）a＝8，b＝0.08；（2）作图见解析；（3）1
4
．
【分析】
（1）根据频数之和等于总个数，频率之和等于1求解即可；
（2）直接根据（1）中的结果补全频数分布直方图即可；
（3）根据89.5~100.5这一组的人数及概率公式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意得a＝50-2-20-16-4=8，b＝1-0.04-0.16-0.40-0.32=0.08；（2）如图所示：
（3）由题意得张明被选上的概率是1
4
．
【点睛】
本题考查频数分布直方图，频数分布直方图的应用是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，要熟练掌握．
22．（1）153
44
t
-；（2）当t＝
5
2
时，四边形MNQP为平行四边形，证明见解析；
（3）AQ⊥CQ，证明见解析．【分析】
（1）由勾股定理可求BD＝5，由三角形的面积公式和S△DPQ＝1
2
（S△BED﹣S△BDP）可求解；
（2）当t＝5
2
时，可得BP＝
5
2
＝
1
2
BE，由中位线定理可得MN∥BD，MN＝
1
2
BD＝5，
PQ∥BD，PQ＝1
2
BD＝5，可得MN∥PQ，MN＝PQ，可得结论．
（3）连接BQ，由等腰三角形的性质可得∠AQD+∠BQA＝90°，由直角三角形的性质可得DQ＝CQ，∠DCQ＝∠CDQ，由“SAS”可证△ADQ≌△BCQ，可得∠AQD＝∠BQC，即可得结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴BC＝4，CD＝3，
∴BD5，
∴BD＝BE＝5，
∵Q为DE的中点，
∴S△DPQ＝1
2
S△DPE，
∴S△DPQ＝1
2
（S△BED﹣S△BDP）＝
111
35t3
222
⎛⎫
⨯⨯-⨯⨯
⎪
⎝⎭
＝
153
44
t
-．
故答案为：153
44
t
-．
（2）当t＝5
2
时，四边形MNQP为平行四边形，
理由如下：∵M、N分别为AB、AD的中点，
∴MN∥BD，MN＝1
2
BD＝
5
2
，
∵t＝5
2
时，
∴BP＝5
2
＝
1
2
BE，且点Q是DE的中点，
∴PQ ∥BD ，PQ ＝12BD ＝52
， ∴MN ∥PQ ，MN ＝PQ ，
∴四边形MNQP 是平行四边形．
（3）AQ ⊥CQ ．
理由如下：如图，连接BQ ，
∵BD ＝BE ，点Q 是DE 中点，
∴BQ ⊥DE ，
∴∠AQD +∠BQA ＝90°，
∵在Rt △DCE 中，点Q 是DE 中点，
∴DQ ＝CQ ，
∴∠DCQ ＝∠CDQ ，且∠ADC ＝∠BCD ＝90°，
∴∠ADQ ＝∠BCQ ，且BC ＝AD ，DQ ＝CQ ，
∴△ADQ ≌△BCQ （SAS ），
∴∠AQD ＝∠BQC ，且∠AQD +∠BQA ＝90°，
∴∠BQC +∠BQA ＝90°，
∴∠AQC ＝90°，
∴AQ ⊥CQ ．
【点睛】
本题考查平行四边形中的动点问题,关键在于熟练掌握矩形的性质,全等三角形的性质和判定.
23．15
【解析】
【分析】 先根据完全平方公式对代数式22x xy y ++进行变形可得:()2
x y xy +-, 再根据23x =+23y =-可分别计算出4x y +=,
1xy =,代入变形后的代数式即可. 【详解】
因为23x =+23y =,
所以4x y +=,
1xy =, 所以()2
2224115x xy y x y xy ++=+-=-=.
【点睛】
本题主要考查代数式化简求值,二次根式加法和乘法计算,解决本题的关键是要熟练根据完全
平方公式对代数式进行变形和二次根式加法乘法法则.
24．3
x-
【分析】
先把分式进行合并，再进行因式分解，然后约分，即可得到答案．【详解】
解：原式
222
42969(3)
3
333
x x x x x x
x
x x x
--+-+-
====-
---
；
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
25．（1）见解析；（2）DF⊥ON，理由见解析；（3）24
【分析】
（1）根据正方形的性质证明△BCE≌△DCE即可；
（2）由第一题所得条件和已知条件可推出∠EDC＝∠CBN，再利用90°的代换即可证明；（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，结合已知条件推出DF和BF的长，再根据第一题结论得出△BEF的周长等于DF加BF即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，
∴CA平分∠BCD，BC＝DC，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）；
∴BE＝DE；
（2）DF⊥ON，理由如下：
∵△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵∠EBC＝∠CBN，
∴∠EDC＝∠CBN，
∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠CBN＝90°，
∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；
（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAG+∠BAO=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DAG=∠ABO，
又∵∠MON=90°，DG⊥OM，
∴△ADG≌△ABO，
∴DM=AO，GA=OB=5，
∵AB=13，OB=5，
根据勾股定理可得AO=12，
由（2）可知DF⊥ON，
又∵∠MON=90°，DG⊥OM，
∴四边形OFDM是矩形，
∴OF=DG=AO=12，DF=OM=17，
由（1）可知BE＝DE，
∴△BEF的周长=DF+BF=17+（12-5）=24．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，掌握知识点是解题关键．
26．（1）见解析；（2）①②③④；（3）①证明见解析；②3
【分析】
（1）根据准矩形和准菱形的特点画图即可；
（2）根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可；
（3）①先根据已知得出△ACF≌△ECF，再结合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，则证明了准菱形ACEF是平行四边形，又因为AC＝EC即可得出准菱形ACEF是菱形；
②取AC的中点M，连接BM、DM，根据四边形ACEF是菱形可得A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，根据圆周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根据∠ACD＝30°即可求出AD，CD的长，则可求出菱形的面积．
【详解】
（1）；
（2）①因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边平行可以判断四边形为矩形，故①正确；
②因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边相等可以判断四边形为矩形，故②正确；
③因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边相等可以判断四边形为菱形，故③正确；
④因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边平行可以判断四边形为菱形，故④正确；
故答案为：①②③④；
（3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，
∴△ACF≌△ECF（SSS）．
∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，
∵∠ACE＝∠AFE，
∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，
∴AC∥EF，AF∥CE，
∴准菱形ACEF是平行四边形，
∵AC＝EC，
∴准菱形ACEF是菱形；
②如图：取AC的中点M，连接BM、DM，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，
∵∠ACB=15°，
∴∠AMB=30°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AMD=60°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴BM=DM=2BD=2=1， ∴AC=2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴AD=AC ×sin30°=1，CD=AC ×cos30°
∴菱形ACEF 的面积=
12×1×4= 【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．
27．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20
【分析】
（1）先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =；
（2）由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；
（3）设GF x =，则13AF x =-，2AC x =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值．
【详解】
（1）证明：90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，
12
BD AC ∴= //AG BD ，BD FG =，
∴四边形BDFG 是平行四边形，
CF BD ⊥
CF AG ∴⊥ 又点D 是AC 的中点
12
DF AC ∴= BD DF ∴=．
（2）证明：由（1）知四边形BDFG 是平行四边形
又BD DF =
BDFG ∴是菱形
（3）解：设GF x =则13AF x =-，2AC x =，6CF =，
在Rt ACF ∆中，222CF AF AC +=
2226(13)(2)x x ∴+-=
解得5x =
4520BDFG C ∴=⨯=菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关
键是证明四边形BGFD 是菱形．
28．（1）;BC a c -；（2）①BE DC =，证明见解析，②32-；（3）
AM 最小为()6,3,3P 或()
33-．
【分析】
（1）根据点A 位于CB 上时，线段AC 的长取得最小值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=90°，推出
△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；
②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果； （3）以AP 为边向右边作等边三角形APC ，连接BE 后，易证APM CPB ≅，此时AM=BC ，然后根据（1）的结论求值即可，点P 坐标可根据等边三角形性质求．
【详解】
解：()1AC BC AB a c ≥-=-
当A 位于BC 线段上AO ，取到最小值a c -
故答案为：;BC a c - ()2①ABO ∆和AEC ∆均为等腰直角三角形，
1,AB AD AE AC ∴===
,2BAD EAC BD ∠=∠=
BAE BAD EAD EAC EAD DAC ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠
∴在ABE ∆和ADC ∆中
AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BAE DAC SAS ∴∆≅∆
BE DC ∴=
②而32DC BC BD ≥-=-
BE 最小值为32-，当且仅当D 在线段BC 上取到
()3以AP 为边向右边作等边三角形APC ，连接BC
APC ∆为正三角形，
2,60AC AP PC APC ︒∴===∠=
又60MPB ︒∠=
APM APC MPC ∴∠=∠-∠
60MPC ︒=-∠
MPB MPC =∠-∠
CPB =∠
∴在APM ∆和CPB ∆中
AP CP APM CPB PM PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()APM CPB SAS ∴∆≅∆
()10226AM BC AB AC ∴=≥-=--=
AM ∴最小为6，此时C 在线段AB 上，
P 的横坐标为1232AP +⨯
=
纵坐标为==
(
(3,P ∴或．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题．。