有限群的WSC-子群与p-幂零性

第39卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2014年2月V o l.39N o.2 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b.2014
文章编号:10005471(2014)2000103
有限群的W S C-子群与p幂零性①
韩章家,陈晨,张志让
成都信息工程学院应用数学学院,成都610225
摘要:设H是群G的子群,如果H是G的弱s置换子群,或者是G的半覆盖远离子群,则H是G的W S C-子群.
利用W S C-子群的性质给出了几个G是p幂零群的充分条件.
关键词:有限群;弱s置换子群;半覆盖远离子群;p幂零群
中图分类号:O152.1文献标志码:A
研究有限群的具有某些特性的子群与有限群的结构之间的关系一直是有限群论的重要课题之一.文献[1]引入了弱s置换子群的概念,并利用一些特殊子群的弱s置换性得到了有限群超可解的一些充分条件.
2006年,文献[2]引入了半覆盖远离子群的概念.设H为G的一个子群,M,N正规于G,且N<M,如果H N=HM,则称H覆盖M/N,而当HɘN=HɘM时,则称H远离M/N.
我们可以看到,子群的弱s置换性和半覆盖远离性在刻画群结构方面有类似的结果,那么我们能否将这两种形式的结果结合起来呢?本文试图就这一问题作一些探讨.
定义1如果G的子群H要么是G的弱s置换子群,要么是G的半覆盖远离子群,则称H是G的W S C-子群.
下面的关于W S C-子群的性质在本文中是必要的:
引理1[2-3]设G为群,K◁_G,HɤG,那么
1)如果HɤMɤG,且H是G的W S C-子群,那么H是M的W S C-子群;
2)设H是G的W S C-子群,如果g c d(|K|,|H|)=1,那么H K/K是G/K的W S C-子群.
定理1设G是群.令p是能整除G的阶的奇阶素数,P是G的S y l o w p子群.如果N G(P)是p幂零的,并且P的每个极大子群是G的W S C-子群,那么G是p幂零的.
证1)O pᶄ(G)=1.
假设O pᶄ(G)ʂ1,设P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是G/O pᶄ(G)的S y l o w p子群.记췍G=G/O pᶄ(G),췍P= P O pᶄ(G)/O pᶄ(G),则N췍G(췍P)=N G(P)/O pᶄ(G)是幂零群.又记P1O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)的极大子群.因为g c d(|P1|,|O pᶄ(G)|)=1,由引理1,P1O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)的W S C-子群,那么G/O pᶄ(G)满足定理条件,即对于G/O pᶄ(G),N췍G(췍P)是p幂零的,且G/O pᶄ(G)的每个极大子群都是它的W S C-子群.所以G/O pᶄ(G)是p幂零的,那么G是p幂零群,矛盾.所以O pᶄ(G)=1.
2)假设M是G的某一真子群,使得PɤM<G,那么M是p幂零群.
显然N M(P)ɤN G(P),因此N M(P)是p幂零的.由引理1,M满足定理的条件,由G的极小性,M
①收稿日期:20121022
基金项目:国家自然科学基金(11301426),四川省教育厅面上项目(14Z A0314).
作者简介:韩章家(1972),男,湖北红安人,副教授,主要从事群论的研究.
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2西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第39卷是p幂零的.
3)G=P Q,其中Q是G的S y l o w q子群,pʂq,G是超可解群.
如果G不是p幂零的,由文献[4],存在P的一个特征子群H(ʂ1),使得N G(P)为p幂零群,且N G(H)不是p幂零群.但是对于P的每个包含H的特征子群K,N G(K)为p幂零群,这里H<KɤP.因为H在P中特征,并且P◁_N G(P),则H◁_N G(P)并且N G(P)ɤN G(H).又因为N G(H)不是p 幂零的,故N G(P)<N G(H),由2)可得到N G(H)=G,从而O p(G)=H.由H的选择我们知道,对于P 的每个包含O p(G)的特征子群K,N G(K)是p幂零的.再由文献[4],我们有G/O p(G)是p幂零的,此时G是p可解的.对于任意qɪπ(G)且pʂq,存在G的S y l o w q子群Q,使得G1=P Q是G的一个子群.如果G1<G,由2)我们知道G1是p幂零的.由O pᶄ(G)=1,我们得到,QɤC G(O p(G))ɤO p(G),矛盾.所以G=G1=P Q.
4)G是p幂零群.
令N是G的极小正规子群,因为O pᶄ(G)=1,则N是p群且NɤO p(P).由引理1知,G/N满足定理条件,再由G的极小性,G/N是p幂零群.因为p幂零群系是饱和群系,故N是G的唯一极小正规子群,且N⊈Φ(G).因此存在G的极大子群M,使得G=MN,且MɘN=1,N=C G(N)=O p(G)=F(G).设M p是M的极大子群,则G p=N M p是G的S y l o w p子群.如果M p=1,则G p=N,因此N G(P)=N G(N) =G,则G是p幂零群,矛盾.因此M pʂ1,M p包含在G p的某个极大子群P1中.令N1=P1ɘN,那么|NʒN1|=|NʒP1ɘN|=p,故N1是N的极大子群.假设P1是G的弱s置换子群,即存在xɪG,使得P1Q x=Q x P1,这里取Q是G的任一S y l o w q子群.因为N1=NɘP1⊆NɘP1Q xɤN,所以N=N ɘP1Q x,或者N1=NɘP1Q x.如果N=NɘP1Q x,那么NɤP1Q x.因为M pɤP1,则G pɤP1Q x,矛盾.所以N1=NɘP1Q x.因为N1=NɘP1Q x◁_P1Q x,那么N1◁_<P1Q x,N>=G.由N的极小性,我们得到N1=1,因此|N|=p.设p>q,则N Q是p幂零群,因此Q⊆C G(N)=C G(O p(G))ɤO p(G),矛盾.如果p<q,因为M≅G/N=N G(N)/C G(N)≅UɤA u t(N),我们可以得到M是交换群,从而M=QˑM p.现在设G=(Q M p)N,我们得到M p N=G pɤG,因此G=N G(P)是p幂零群,矛盾.如果P1是G的半覆盖远离子群,由N的极小性知P1覆盖N/1,所以N是阶为p的循环群,即NɤZ(P)并且PɤC G(N).由于C G(N)ɤN,故N=P是G的S y l o w p子群,从而由假设就可得G=N G(P)是p幂零群,矛盾.我们假设P的每个极小正规子群覆盖N/1,因此NɤΦ(P),从而NɤΦ(G),矛盾.
定理2设G是群.令p是能整除G的阶的最小素数,且P是G的S y l o w p子群,并且使得P的每个4阶循环子群是G的W S C-子群,而P的每个p阶元素群包含在Z F(G)中,这里F是p幂零群类,P与四元素群无关,那么G是p幂零的.
证设结论不真,群G为极小反例.由引理1,G的任意一个子群H满足定理2的条件,故G是内p 幂零群.由文献[5]的定理9.1.9,存在G的S y l o w p子群P和S y l o w q子群Q,使得G=P Q,其中P◁_G 且Q是循环的,而且P=Gᶄ.如果p为奇数,则e x p(P)=p;如果p=2,则e x p(P)|4.进一步有P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群.设xɪG且x∉Φ(P),则x的阶为p或者4.接下来我们分3种情况讨论.
1)设P是交换群.此时P是初等交换群,由假设,P的每个p阶子群包含在Z F(G)中.再由文献[6-7]知,G是p幂零群,矛盾.
2)设P不是交换群,且p>2.此时P的幂指数是p,P的每个p阶子群包含在Z F(G)中,PɤZ F(G).由文献[6]可得,G是p幂零群,矛盾.
3)设P不是交换群,且p=2.令L=<x>是P的循环子群,如果L是弱s置换子群,设Q是G的循环S y l o w q-子群,则存在gɪG使得L Q g=Q g L.由模律,有PɘL Q g=L(PɘQ g)=L◁_L Q g,所以L Q g ɤN G(L).我们考虑P/Φ(P)的子群LΦ(P)/Φ(P),因为P/Φ(P)是初等交换群,则LΦ(P)/Φ(P)◁_PΦ(P)/Φ(P).由Q gɤN G(L),且LΦ(P)/Φ(P)◁_G/Φ(P),因此LΦ(P)◁_G,所以L=LΦ(P)=P,矛盾.
这个矛盾显示<x>不是G的弱s置换子群,而是半覆盖远离子群,即<x>在G中具有半覆盖远离性质.于是存在G的一个主列1=G0ɤG1ɤ ɤG l=G,使得<x>覆盖或者远离所有的G i+1/G i.因为xɪG,
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所以存在某个k ,使得x ∉G k 但x ɪG k +1.由G k ɘ<x >ʂG k +1ɘ<x >可得G k <x >=G k +1<x >=G k +
1.故G k +1/G k 是一个阶为p 或4的循环群.由于G k ɘP ◁_G ,且P /Φ(P )是G /Φ(P )的极小正规子群,因此(G k ɘP )Φ(P )=Φ(P ),P .如果(G k ɘP )Φ(P )=P ,则G k ɘP =P ,这与x ∉G k ɘP 矛盾,故G k ɘP ɤΦ(
P ).另一方面,(G k +1ɘP )Φ(P )=P ,故P /Φ(P )是一个阶为p 的循环群.利用引理1得G /Φ(P )满足定理2的假设,从而G /Φ(P )是p 幂零的,当然G 就是p 幂零的,矛盾.
若p =2,并且P 与四元素群无关,在这种情况下,如果x 的阶为2,那么L =<x >
是阶为2的子群,因此我们可以用1)的讨论得到矛盾.故我们假设P 的每个2阶子群包含在Φ(G )中,因此Φ(G )ʂ1,
Z (P )ɘ(Ω1(Φ(P )))ɤZ (G ).得到Z (G )ɘP ɘG N =Z (G )ɘP ɘG =Z (G )ɘP ʂ1,由文献[8
]的定理6.2.8,我们有Z (G )ɘP ɘG N
=1(其中G N 是G 的幂零剩余).因此G 就是p 幂零的,矛盾.定理2得证.
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