向量在立几中的三个妙用

向量在立几中的三个妙
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向量在立几中的三个妙用
借助向量这一工具可进行复数的加、减、乘、除四则运算，运用向量方法构思新颖，方法简单、直观，易于学生接受．其实，向量在初等数学中的应用还远远不止这些，本文将给大家介绍向量在立体几何中的三个妙用．
一、利用两向量内积为零证明两条直线(线段)垂直
例1如图1，已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AD⊥BC，求证：
AC⊥BD．
证∵AB⊥CD，AD⊥BC，
评注该证法思路清晰，目标明确，无需添加辅助线．
二、利用计算线段的长度
例3如图4，有一长方形的纸片ABCD，长AB＝4cm，宽AD＝3cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD的长．
简解作DE⊥AC，BF⊥AC，∴F为垂足，则
EF＝5－2×＝．
折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，且
三、利用向量求二面角大小
例4 如图5，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠CBD＝120°，求二面角A－BD－C的大小．
解延长DB，过A、C两点分别作BD的垂线，垂足为E、F，则
其中θ为AE、FC间夹角．因AE⊥BD，CF⊥DB，故θ等于二面角A－BD－C的大小．延长CB，过D作CB的垂线，垂足为G，连AG，则由△ABG≌△DBG得∠AGB＝∠DGB＝90°，从而，AG⊥BC，进而AG⊥平面BCD．令AB＝BC＝CD＝a，则
在△ABD中，由余弦定理知：
向量在立几中的应用还有很多，如利用向量证明两直线平行；利用向量的分解证明三直线共面；利用向量求两异面直线的距离等等．。