人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1素材 课堂探究 2.5直线与圆锥曲线

课堂探究
探究一 直线与圆锥曲线的位置关系判断
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (或x )得一个关于变量x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.
(1)当a ≠0时，若Δ＞0，则直线l 与曲线C 相交；若Δ＝0，则直线l 与曲线C 相切；若Δ＜0，则直线l 与曲线C 相离．
(2)当a ＝0时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点．此时，若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线；若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴．
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．
【典型例题1】 已知直线l ：kx －y ＋2－k ＝0，双曲线C ：x 2－4y 2＝4，当k 为何值时，
(1)l 与C 无公共点；
(2)l 与C 有唯一公共点；
(3)l 与C 有两个不同的公共点．
思路分析：直线与圆锥曲线的公共点的个数，就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数．因此本题可转化为方程组解的个数的判定，从而确定参数的取值．
解：(1)将直线方程与双曲线方程联立，消去y 得(1－4k 2)x 2－8k (2－k )x －4(k 2－4k ＋5)＝0.①
要使l 与C 无公共点，即方程①无实数解，
则有1－4k 2≠0，且Δ＜0，即
64k 2(2－k )2＋16(1－4k 2)(k 2－4k ＋5)＜0.
解得k ＞－2＋193或k ＜－2－193
， 故当k ＞－2＋193或k ＜－2－193
时，l 与C 无公共点． (2)当1－4k 2＝0，即k ＝±12
时，方程①只有一解； 当1－4k 2≠0，且Δ＝0，即k ＝－2±193
时，方程①只有一解，
故当k ＝±12或k ＝－2±193
时，l 与C 有唯一公共点． (3)当1－4k 2≠0，且Δ＞0时，方程①有两个不同的解，即l 与C 有两个不同的公共点，于是可得，当－2－193＜k ＜－2＋193，且k ≠±12
时，l 与C 有两个不同的公共点． 探究二 相交弦长问题
若直线l 与圆锥曲线F (x ，y )＝0相交于A ，B 两点，求弦AB 的长可用下列两种方法：
(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A ，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB 的长，一般来说，这种方法较为麻烦．
(2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解．
设直线方程为y ＝kx ＋m ，与圆锥曲线F (x ，y )＝0交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝(x 1－x 2)2＋(kx 1＋m －kx 2－m )2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；
或当k ≠0时，|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k
2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 当k ＝0时，直线平行于x 轴，∴|AB |＝|x 1－x 2|.
【典型例题2】 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y ＝x ＋1与椭圆交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，|PQ |＝102
，求椭圆的方程． 思路分析：设出椭圆方程，将椭圆方程和直线方程联立消去y ，转化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系，根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解．
解：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，mx 2＋ny 2＝1，得(m ＋n )x 2＋2nx ＋n －1＝0， Δ＝4n 2－4(m ＋n )(n －1)＞0，
即m ＋n －mn ＞0.
由OP ⊥OQ ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，
即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝0， ∴2(n －1)m ＋n －2n m ＋n ＋1＝0，∴m ＋n ＝2.①
又|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝2＝8(m ＋n －mn )(m ＋n )2＝⎝⎛⎭⎫1022， 将m ＋n ＝2代入得mn ＝34
.② 由①②式，得⎩⎨⎧ m ＝12，n ＝32或⎩⎨⎧ m ＝32，n ＝12. 故椭圆方程为x 22＋32y 2＝1或32x 2＋y 22
＝1. 探究三 中点弦问题
对中点弦问题，常用的解题方法——平方差法，其解题步骤为：(1)设点，即设出弦的两端点坐标；(2)代入，即代入圆锥曲线方程；(3)作差，即两式相减，然后用平方差公式把上式展开，整理． 【典型例题3】 已知椭圆x 216＋y 2
4
＝1，求： (1)以P (2，－1)为中点的弦所在直线的方程；
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(3)过Q (8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
分析：可利用平方差法求解，在求轨迹方程时要注意变量的范围．
解：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为R (x ，y )，则2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2.
又A ，B 两点均在椭圆上，
故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.
两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)．
故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)
＝－x 4y . (1)由k AB ＝－x 4y ＝12
，得所求轨迹方程为x －2y －4＝0. (2)由k AB ＝－x 4y
＝2，得所求轨迹方程为x ＋8y ＝0(－4≤x ≤4)．
(3)由k AB ＝－x 4y ＝y －2x －8
，得所求轨迹方程为(x －4)2＋4(y －1)2＝20(－4≤x ≤4)． 探究四 易错辨析
易错点 混淆直线与圆锥曲线相切和直线与圆锥曲线只有一个公共点
【典型例题4】 过点(1,3)作直线与抛物线y ＝x 2－2x ＋174
交于一点，求此直线的方程． 错解：设所求直线方程为y －3＝k (x －1)，把它代入抛物线方程y ＝x 2－2x ＋174
中，得x 2－(2＋k )x ＋k ＋54
＝0. 由题意知，直线与抛物线相切，
∴Δ＝(2＋k )2－4×⎝⎛⎭
⎫k ＋54＝0，解得k ＝±1. ∴所求的直线方程为y －3＝±1×(x －1)，
即x －y ＋2＝0或x ＋y －4＝0.
错因分析：对于抛物线，一条直线若与它相切，则直线与抛物线只有一个公共点，反过来并不一定成立．与抛物线对称轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点，但它不是抛物线的切线，因此，直线与抛物线相切，并不是直线与抛物线只有一个公共点的充要条件．上述解答把直线与抛物线只有一个公共点问题完全转化为切线问题，显然是错误的．
正解：过平面上一点的直线与抛物线交于一点，则此直线或者是抛物线的切线，或者是一条与对称轴平行的直线，又因为抛物线的对称轴的斜率不存在，因此按上述解法可知，当斜率存在时，所求直线的方程为x －y ＋2＝0或x ＋y －4＝0.当斜率不存在时，直线与抛物线对称轴平行，直线x ＝1与抛物线也只有一个公共点．
∴所求的直线方程为x －y ＋2＝0或x ＋y －4＝0或x ＝1.。