南开区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

南开区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
2． 设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1]
B ．[﹣1，+∞）
C ．（﹣1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）
3． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则A B （ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（0，1）
D ．（1，2）
5． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
6． 奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，若f （﹣1）=0，则不等式f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C ．（﹣1，0）∪（0，1） D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
7． 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．
8． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A
B B A B =≠≠，A =,就称有序集对
(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么
“好集对” 一共有（ ）个
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个 9． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）
10．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ）
A ．
15 B ．16 C ．314 D ．13
11．已知函数()x e f x x
=，关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的
取值范围是（ ）
A ．21(,)21e e -+?-
B ．21(,)21e e --?-
C ．21(0,)21e e --
D ．2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
12．设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x|f （x ﹣2）＜0}=（ ） A ．{x|x ＜﹣2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|0＜x ＜4}
二、填空题
13．不等式的解集为R ，则实数m 的范围是
．
14．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
16．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 的体积的最大值为 ．
17．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分
别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
18．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
是 ．
三、解答题
19．设椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
20．（本小题满分12分）
已知圆C ：02
2
=++++F Ey Dx y x 的圆心在第二象限，半径为2，且圆C 与直线043=+y x 及y 轴都
相切.
（1）求F E D 、、；
（2）若直线022=+-y x 与圆C 交于B A 、两点，求||AB .
21．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
22．已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ，求实数x 、y 的值．
23．（本小题满分12分）已知函数()2
ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
24．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=7，S4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
南开区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：设圆柱的高为h，则
V圆柱=π×12×h=h，V球==，
∴h=．
故选：B．
2．【答案】B
【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，
若M∩N≠￠，
则k≥﹣1．
∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．
3．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
4．【答案】A
【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）
则A∪B=（0，+∞）
故选：A．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
5． 【答案】B
【解析】解：当a ＞1时，f （x ）单调递增，有f （﹣1）=+b=﹣1，f （0）=1+b=0，无解；
当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）==0，f （0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b=
=﹣；
故选：B
6． 【答案】A
【解析】解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f （x ）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 故选A ．
7． 【答案】C
【解析】
【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱
垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，
两个垂直底面的侧面面积相等为：8， 底面面积为：
=4
，
另一个侧面的面积为： =4，
四个面中面积的最大值为4；
故选C ． 8． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A
B B A B =≠≠，A =，所以当{1,2}A =时，{1,2,4}B =；当
{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}A =时，{1,4}B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.
考点：元素与集合的关系的判断.
【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]
9． 【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20
=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．
10．【答案】D 【解析】
考
点：等差数列．
11．【答案】
D
第Ⅱ卷（共90分）12．【答案】D
【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象
关于y轴对称，
且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），
故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个
单位得到的，
故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），则由f（x﹣2）＜0，可得0＜x＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：不等式，
x2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
14．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C，
所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：
故答案为：
15．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
16．【答案】．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=××22×1=．
故答案是．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
17．【答案】
5 12
【解析】
18．【答案】．
【解析】解：已知∴∴为所求；
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C 的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），… 设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2
﹣3x ﹣8=0，…
由韦达定理得x 1+x 2=3，
y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣
=﹣
．…
由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
20．【答案】（1） 22=D ，24-=E ，8=F ;（2）2=AB . 【解析】
试
题解析：（1）由题意，圆C 方程为2)()(2
2
=-+-b y a x ，且0,0><b a ，
∵圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切，∴2-=a ，
25
|
43|=+b a ，∴22=b ， ∴圆C 方程为2)22()2(2
2=-++y x ， 化为一般方程为0824222
2=+-++y x y x ，
∴22=D ，24-=E ，8=F .
（2）圆心)22,2(-C 到直线022=+-y x 的距离为12
|
22222|=+--=d ，
∴21222||22=-=-=d r AB . 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.1 21．【答案】
【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，
由正弦定理得，则，
∴，得cosA=，
由余弦定理得，cosA==，
∴=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A＜π，∴sinA==，
∴△ABC的面积S===．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．
假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
11
()bx f x b x x
-'=-
=
．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e
==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <
<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2
min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分
③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分
综上，存在实数2
e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()
f x 最小值是3．……………………………12分
24．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得…（2分）
解得：a 1=1，d=2a n =2n ﹣1…
（2）由①得…（7分）
∴…（11分）
∴…（12分）
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．。