2018-2019学年高中数学 第二章 函数 第5节 指数与指数函数课时作业1 北师大版必修1

第5节 指数与指数函数
课时作业 A 组——基础对点练
1．函数f (x )＝2
|x －1|
的大致图像是(
)
解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1
，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1
，x ＜1，所以f (x )的图像在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)
上为减函数． 答案：B
2．(2018·广州市模拟)设a ＝0.70.4
，b ＝0.40.7
，c ＝0.40.4
，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
解析：∵函数y ＝0.4x
在R 上单调递减，∴0.40.7
＜0.40.4
，即b ＜c ，∵y ＝x 0.4
在(0，＋∞)上单调递增，∴0.40.4
＜0.70.4
，即c ＜a ，∴b ＜c ＜a . 答案：C 3．设a >0，将
a 2a ·3
a 2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A ．a 1
2
B ．a 56
C ．a 76
D ．a 32
解析：
a 2a ·3
a
2
＝
a 2a ·a
23
＝
a 2
a
53＝a 2
a 5
6
＝a 2－56＝a 7
6.故选C.
答案：C
4．设x >0，且1<b x <a x
，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a
D ．1<a <b
解析：∵1<b x
，∴b 0
<b x
，∵x >0，∴b >1，
∵b x <a x
，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b x >1，∵x >0，∴a b
>1⇒a >b ，∴1<b <a .故选C. 答案：C
5．已知函数f (x )＝a x
，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1 B ．a C ．2
D ．a 2
解析：∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x
，
∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0
＝1，故选A. 答案：A
6．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252
5
，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <c <a
解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x
为减函数，35>25，∴b <c .
又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>2
5，
∴a >c ，∴b <c <a ，故选D. 答案：D
7．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如图所示，则函数g (x )＝a x
＋b 的图像是( )
解析：由函数f (x )的图像可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x
＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b >0，故选C.
答案：C
8．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或x ＞12}，则f (10x
)＞0的解集为( )
A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}
B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}
C ．{x |x ＞－lg 2}
D ．{x |x ＜－lg 2}
解析：因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜－1或x ＞
1
2，所以可设f (x )＝a (x
＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a ＜0)，由f (10x )＞0可得(10x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －12＜0，即10x
＜12，x ＜－lg 2，故
选D. 答案：D
9．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2
的值域为( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12
C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 D ．(0,2]
解析：∵2x －x 2
＝－(x －1)2
＋1≤1，
又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t
在R 上为减函数，
∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2
≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，
即值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 答案：A
10．(2018·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x
＋1
e x 的图像( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝x 对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
解析：f (x )＝e 2x
＋1e x ＝e x ＋1e x ，∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x
＋1e x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函
数f (x )的图像关于y 轴对称． 答案：D
11．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
f
x ，x ＞0，g x ，x <0.
如果f (x )＝a x
(a ＞0，且a ≠1)
对应的图像如图所示，那么g (x )＝( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
C ．2－x
D ．－2x
解析：由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，
由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x ＝－2x
，故选D.
答案：D
12．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝
2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为________．
解析：由题意，得x ＜0，所以0＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x
＜1，
从而0＜2＋3a 5－a ＜1，解得－23＜a ＜3
4
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，34 13．不等式2x 2
－x ＜4的解集为________．
解析：不等式2x 2
－x ＜4可转化为2x 2
－x ＜22
，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2
－x ＜2，解得－1＜x ＜2，故所求解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案：{x |－1＜x ＜2}
14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋1
2x ，则此函数的值域
为________．
解析：设t ＝12x ，当x ≥0时，2x
≥1，∴0＜t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14
，
∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.
故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，14 B 组——能力提升练
1．设函数f (x )定义在实数集上，它的图像关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x
－1，
则有( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13 解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，
∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3
x
－1为单调递增函数，且43＜32＜5
3
，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13.选B. 答案：B
2．已知实数a ，b 满足等式2 017a
＝2 018b
，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析：设2 017a
＝2 018b
＝t ，如图所示，由函数图像，可得
若t >1，则有a >b >0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 答案：B
3．(2018·莱西一中模拟)函数y ＝a x
－a －1
(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )
解析：函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x
的图像向下平移1a
个单位长度得到，A 项显然错误；当
a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1
a
>1，平移距离大于1，所
以C 项错误，故选D. 答案：D
4．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)，a ＝2x 2
，b ＝(2x )2，c ＝22x
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b
D ．b >a >c
解析：∵b ＝(2x )2
＝22x
，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较当x ∈(2,4)时x 2,
2x,2x
的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，容易知x 2
>2x
>2x ，则a >c >b . 答案：B
5．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x
.当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范
围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2] C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14∪[4，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，1∪(1,4] 解析：当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，即a x ＞x 2
－12
在(－1,1)上恒成立，
令g (x )＝a x ，m (x )＝x 2
－12，当0＜a ＜1时，g (1)≥m (1)，即a ≥1－12＝12，此时12≤a ＜1；
当a ＞1时，g (－1)≥m (1)，即a －1
≥1－12＝12，此时1＜a ≤2.
综上，1
2≤a ＜1或1＜a ≤2.故选B.
答案：B
6．(2018·菏泽模拟)若函数f (x )＝1＋2
x ＋1
2x ＋1
＋sin x 在区间[－ ， ]( ＞0)上的值域为[m ，
n ]，则m ＋n 的值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解析：∵f (x )＝1＋2·2
x
2＋1＋sin x
＝1＋2·2x
＋1－1
2x ＋1＋sin x
＝2＋1－2
2x ＋1＋sin x
＝2＋2x
－1
2x ＋1
＋sin x .
记g (x )＝2x
－1
2x ＋1
＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，
易知g (x )为奇函数，则g (x )在[－ ， ]上的最大值与最小值互为相反数，∴m ＋n ＝4. 答案：D
7．若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x
－2x ＋1
－3的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1
D ．0
解析：∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2
－4.当
2x
＝1时，f (x )取得最小值－4. 答案：A
8．若x ＞1，y ＞0，x y ＋x －y ＝22，则x y －x －y
的值为( ) A. 6 B ．－2 C ．2
D ．2或－2
解析：∵x ＞1，y ＞0，∴x y
＞1,0＜x －y
＜1，则x y
－x －y
＞0. ∵x y
＋x －y
＝22，∴x 2y
＋2x y ·x －y ＋x
－2y
＝8，即x 2y ＋x
－2y
＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x
－
y
＝2，故选C.
答案：C
9．已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞1
4，则( )
A ．b ＜2b －a
B ．b ＞2b －a
C ．a ＜b －a
D ．a ＞b －a
解析：由12＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
，得a ＞1；
由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b
，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫22b ，进而2a ＜b ；
由⎝
⎛⎭⎪⎫22b ＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫224
，进而b ＜4. ∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝7
2，得b －a ＝
72－3
2＝2，有a ＞b －a ，排除C ；b ＞2b －a ，排除A ； 取a ＝1110，b ＝39
10，得b －a ＝
3910－1110
＝14
5
，有a ＜b －a ，排除D.故选B. 答案：B
10．已知函数f (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫2x －12x ·x 1
3，m ，n 为实数，则下列结论中正确的是( )
A ．若－3≤m ＜n ，则f (m )＜f (n )
B ．若m ＜n ≤0，则f (m )＜f (n )
C ．若f (m )＜f (n )，则m 2
＜n 2
D ．若f (m )＜f (n )，则m 3
＜n 3
解析：∵f (x )的定义域为R ，其定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫2－x －12－x ·(－x )13＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ·x 13＝f (x )，∴函数f (x )是一个偶函数，又x ＞0时，2x －12x
与x 13是增函数，且函数
值为正，∴函数f (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫2x －12·x 1
3在(0，＋∞)上是一个增函数，由偶函数的性质知，函
数f (x )在(－∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A ，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误；对于选项B ，|m |＞|n |，∴f (m )＞f (n )，故B 错误；对于选项C ，由f (m )＜f (n )，一定可得出m 2
＜n 2
，故C 是正确的；对于选项D ，由f (m )＜f (n )，可得出|m |＜|n |，但不能得出m 3
＜n 3
，故D 错误．综上可知，选C. 答案：C
11．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2
－2x ＋a (e x －1
＋e
－x ＋1
)有唯一零点，则a ＝
( ) A ．－1
2
B.13
C.12
D ．1
解析：由f (x )＝x 2
－2x ＋a (e
x －1
＋e
－x ＋1
)，得
f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2
－2x ＋a (e
x －1
＋e
－x ＋1
)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图像的对称轴．
由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12
－2×1＋a (e 1－1
＋e
－1
＋1
)＝0，
解得a ＝1
2.故选C.
答案：C
12．若函数f (x )＝2
|x －a |
(a ∈R)满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，
则实数m 的最小值等于________．
解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数
f (x )＝2|x －1|的图像如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实
数m 的最小值为1.
答案：1
13．(2018·眉山模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x
＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．
解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |,2x ＋2－x
＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x
＋2－x
＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x
)·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)． 答案：(－1,2)
14．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数
m 的取值范围是________．
解析：(m 2－m )2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1可变形为m 2
－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，设t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，则原条件等价于不等
式m 2
－m ＜t ＋t 2
在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2
在t ≥2时的最小值为6，所以m 2
－m ＜6，解得－2＜m ＜3. 答案：(－2,3)。