2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形 3.1.2 Word版含解析

第2课时利用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式
课时过关·能力提升
1.化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是()
A.1
4B.3
4
C.1
D.3
2
解析:原式=sin2β+cos2β(cos2β+sin2β)=sin2β+cos2β=1.答案:C
2.化简√1-sin2π
5
的结果是()
A.si nπ
5B.−sinπ
5
C.co sπ
5D.−cosπ
5
解析:√1-sin2π
5=√cos2π
5
=|cosπ
5
|=cosπ
5
.
答案:C
3.化简(tanx+1
tanx
)cos2x的结果是()
A.tan x
B.sin x
C.cos x
D.1
tanx
解析:(tanx+1
tanx )cos2x=(sinx
cosx
+cosx
sinx
)·cos2x=sin2x+cos2x
sinxcosx
·cos2x=cosx
sinx
=1
tanx
.
答案:D
4.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=2
3
,则这个三角形的形状是() A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析:∵sin α+cos α=2
3
,
∴(sin α+cos α)2=4
9
,
∴2sin αcos α=−5
9
<0.
又α∈(0,π),∴sin α>0,
∴cos α<0,∴α为钝角,
∴这个三角形为钝角三角形.
答案:B
5.sin 221°+cos 2381°+sin 417°+sin 217°cos 2377°+cos 2377°= .
解析:原式=sin 221°+cos 221°+sin 417°+sin 217°cos 217°+cos 217°=1+sin 217°(sin 217°+cos 217°)+cos 217°=2. 答案:2
6.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 .
解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.
所以原式=
2sinαcosα-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα-1tan 2α+1=2×(-2)-1(-2)2+1=-55=−1. 答案:-1
7.求证:tan 2α-sin 2α=tan 2αsin 2α.
证明右边=tan 2α(1-cos 2α)=tan 2α-tan 2αcos 2α=tan 2α−
sin 2αcos 2α·cos 2α=tan 2α-sin 2α=左边,∴原等式成立. 8.化简tan α√1sin 2α-1,其中α是第二象限角.
解因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0.
故tan α√1sin 2α-1=tan α√1-sin 2αsin 2α=tan α√cos 2αsin 2α=sinαcosα·|cosαsinα|=sinαcosα·-cosαsinα=−1.
9.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β=2sin 2α-1.
证明(方法一)∵tan 2α=2tan 2β+1,
∴tan 2β=
tan 2α-12. ∵tan 2β=sin 2β
cos 2β=sin 2β1-sin 2β,∴sin2β=tan 2β1+tan 2β
. ∴sin 2β=tan 2α-12
1+tan 2α-12=tan 2α-1tan 2α+1=sin 2αcos 2α
-1sin 2αcos 2α+1=sin 2α-cos 2α
sin 2α+cos 2α=sin2α−(1−sin2α)=2sin2α−1. (方法二)∵tan 2α=2tan 2β+1,∴tan 2α+1=2(tan 2β+1),
∴sin 2α+cos 2αcos 2α=2·sin 2β+cos 2βcos 2β,∴1cos 2α=2cos 2β
, ∴cos 2β=2cos 2α,∴1-sin 2β=2(1-sin 2α),
∴sin 2β=2sin 2α-1.
10.已知θ∈(0,2π),且sin θ,cos θ是方程x 2-kx+k+1=0的两个实根,求k 和θ.
解由题意,知{sinθ+cosθ=k , ①sinθcosθ=k +1. ②
由①,得1+2sin θcos θ=k 2.。