安阳市第一中学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20 2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A ．3的平方根是3
B ．5是无理数
C ．1的立方根是1
D ．全等三角形的周长相等
3．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
5．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
6．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：
①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④ 7．如图，AB ＝AC ，点D 、
E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )
A ．50°
B ．65°
C ．70°
D ．80°
8．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），当△ACP 与△BPQ 全等时，则点Q 的运动速度为（ ）cm/s ．
A ．0.5
B ．1
C ．0.5或1.5
D ．1或1.5 9．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）
A ．35°
B ．30°
C ．25°
D ．20°
10．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）
A ．1.5()a b +
B ．2a b +
C ．3a b -
D ．2+a b 11．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）
A ．CD ⊥AD ，BD ⊥AD
B ．CD ＝BD
C ．∠1＝∠2
D ．∠CAD ＝∠B AD 12．如图，AD 是ABC 的中线，
E ，
F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，∠ABC=∠DCB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需要补充一个条件：___．（一个即可）
14．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．
15．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．
16．如图，AD 为∠CAF 的角平分线，BD=CD ，∠DBC=∠DCB ，∠DCA=∠ABD ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；
②CE=AB+AE ；③∠DAF=∠CBD ．其中正确的结论有_____．（填序号）
17．如图，射线OC 是∠AOB 的角平分线，D 是射线OC 上一点，DP ⊥OA 于点P ，DP ＝5，若点Q 是射线OB 上一点，OQ ＝4，则△ODQ 的面积是__________．
18．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．
19．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．
20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．
三、解答题
21．如图，AD CB =，AB CD =．求证：ABC CDA ∠=∠．
22．如图，在五边形ABCDE 中，AB DE =，AC AD =．
（1）请你添加一个与角有关的条件，使得ABC DEA ≌，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，求BAE ∠的度数． 23．已知ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，ADE 为等腰直角三角形，AD AE =，点D 在直线BC 上，连接CE ．
（1）若点D 在线段BC 上，如图1，求证：CE BC CD =-；
（2）若D 在CB 延长线上，如图2，若D 在BC 延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；
（3）若10CE =，4CD =，则BC 的长为________．
24．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ． （1）求证：AD ＝CE
（2）AD ＝6cm ，DE ＝4cm ，求BE 的长度
25．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ， 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．
26．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C 走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB//PM //CD ，相邻两平行线间的距离相等AC ，BD 相交于P ，PD CD ⊥垂足为D ．已知16CD =米．请根据上述信息求标语AB 的长度．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
ABE CAF
AB AC
BAE FCA ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE=S△ACF，
∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，
∵S△ABC=30，BD=1
2
DC，
∴S△ACD=20，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2．C
解析：C
【分析】
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】
A 3的逆命题是：3的平方根，是假命题；
B
C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
故选：C ．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．
3．B
解析：B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．
【详解】
解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，
∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，
∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
4．D
解析：D
【分析】
过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据角平分线的性质定理得6CD DF ==，而DE 的长一定是大于等于点D 到AB 的距离也就是DF 的长，即可得出结果．
【详解】
解：如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，
∵AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥，90C ∠=︒，
∴6CD DF ==，
∵DE DF ≥，
∴6DE ≥，则只有D 选项符合．
故选：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
5．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA 是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A ，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B ，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C ，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA 或AAS 判定全等，故本选项正确；
D ，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．
6．D
解析：D
【分析】
易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】
∵ BD 为∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD ，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，
∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；
∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③正确；
作EG⊥BC，垂足为G，如图所示：
∵ E是BD上的点，∴EF=EG，
在△BEG和△BEF中
BE BE EF EG
=
⎧
⎨
=
⎩
∴△BEG≌△BEF，∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中
EF EG AE CE
=
⎧
⎨
=
⎩
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；
7．A
解析：A
【分析】
根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．
【详解】
根据题意ABE ACD ≅（SAS ），
∴30B C ∠=∠=︒
∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠
∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒
∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故选A ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
设点Q 的运动速度是x cm/s ，有两种情况：①AP=BP ，AC=BQ ，②AP=BQ ，AC=BP ，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设点Q 的运动速度是x cm/s ，
∵∠CAB=∠DBA ，
∴△ACP 与△BPQ 全等，有两种情况：
①AP=BP ，AC=BQ ，
则1×t=4-1×t ，则3=2x ，
解得：t=2，x=1.5；
②AP=BQ ，AC=BP ，
则1×t=tx ，4-1×t=3，
解得：t=1，x=1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB ，再利用等式的性质可得答案．
【详解】
解：∵△ACB ≌△A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB ，
∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB，
∴∠ACA′=∠BCB′=25°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
10．B
解析：B
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是BAC
∠的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵AE CE
⊥，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵
D CFE
CEF CED
CE CE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b ，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．11．C
解析：C
【分析】
在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．
【详解】
解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；
添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；
添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；
添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．
12．C
解析：C
【分析】
根据“SAS”可证明△CDE≌△BDF，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE和DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD，则利用平行线的判定方法可对③进行判断；
【详解】
∵ AD是△ABC的中线，
∴ CD=BD，
∵ DE=DF，∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(SAS)，所以④正确；
∴ CE=BF，所以①正确；
∵ AE与DE不能确定相等，
∴△ACE和△CDE面积不一定相等，所以②错误；
∵△CDE≌△BDF，
∴∠ECD=∠FBD，
∴BF∥CE，所以③正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
二、填空题
13．AB=CD（或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC）【分析】根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB及公共边BC再添加任意一组角或是AB=CD即可【详解】∵∠ABC=∠DCBBC=CB∴当AB=
解析：AB=CD（或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC）
【分析】
根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB及公共边BC，再添加任意一组角，或是AB=CD即可．
【详解】
∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴当AB=CD时，利用SAS证明△ABC≌△DCB；
当∠A=∠D时，利用AAS证明△ABC≌△DCB；
当∠ACB=∠DBC时，利用ASA证明△ABC≌△DCB，
故答案为：AB=CD（或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．14．5【分析】作DF⊥AB于F根据角平分线的性质得到DE=DF根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DF⊥AB于F∵BD平分
∠ABCDE⊥BCDF⊥AB∴DE=DF∴×AB×DF+×BC×DE=
解析：5
【分析】
作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
如图：作DF⊥AB于F，
∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∴1
2×AB×DF+
1
2
×BC×DE=ABC
S
，
即1
2
×AB×2+
1
2
×7×2=12，
解得：AB=5．故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键； 15．（1）（2）（3）（4）【分析】在△ABC 中AB=ACAD 是△ABC 的平分线可知直线AD 为△ABC 的对称轴再根据图形的对称性逐一判断【详解】解：（1）∵在中是的角平分线∴∵∴∴∴平分故（1）正确；（
解析：（1）（2）（3）（4）
【分析】
在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的平分线，可知直线AD 为△ABC 的对称轴，再根据图形的对称性，逐一判断．
【详解】
解：（1）∵在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，
∴BAD CAD ∠=∠．
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴
ADE 90BAD ∠∠=︒-，ADF 90CAD ∠∠=︒-，
∴ADE ADF ∠∠=， ∴DA 平分EDF ∠，故（1）正确；
（2）由（1）可知，ADE ADF ∠∠=，
在AED 和AFD 中，
EAD FAD,AD AD,ADE ADF,∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴()AED AFD ASA ≅，
∴AE AF =，DE DF =，故（2）正确；
（3）在AD 上取一点M ，连结BM ，CM ．
在ABM 和ACM 中，
AB AC BAD CAD AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ABM ACM SAS ≅，
∴BM CM =，故（3）正确；
（4）在ABD 和ACD 中，
AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ABD ACD SAS ≅．
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴∠AED=∠AFD=90°
在ADE 和ADF 中，
AED=AFD BAD CAD AD AD ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
()ADE ADF AAS ≅． ∵ABD ACD ≅
∴∠ABC=∠ACB ，BD=CD ，
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴∠BED=∠CFD
在BED 和CFD △中，
EBD FCD BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()BED CFD AAS ≅，
∴图中共有3对全等三角形，故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形全等是正确解答本题的关键．
16．①②③【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝DF 再利用HL 证明Rt △CDE 和Rt △BDF 全等根据全等三角形对应边相等可得CE ＝AF 利用HL 证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等根据全等三
解析：①②③．
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝DF ，再利用“HL”证明Rt △CDE 和Rt △BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE ＝AF ，利用“HL”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，然后求出CE ＝AB ＋AE ；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF ＝∠DCE ，利用“8字型”证明∠BDC ＝∠BAC ；根据三角形内角和定理及平角的性质，可得∠DAF ＝∠CBD ．
【详解】
解：如图
∵AD 平分∠CAF ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，
∴DE ＝DF ，
在Rt △CDE 和Rt △BDF 中，
BD CD DE DF ⎧⎨⎩
＝＝ ∴Rt △CDE ≌Rt △BDF （HL ），故①正确；
∴CE ＝BF ，
在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，
AD AD DE DF ＝＝⎧⎨⎩
， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），
∴AE ＝AF ，
∴CE ＝AB ＋AF ＝AB ＋AE ，故②正确；
∵Rt △CDE ≌Rt △BDF ，
∴∠DBF ＝∠DCE ，
∵∠AOB ＝∠COD ，（设AC 交BD 于O ），
∴∠BDC ＝∠BAC ，
∵AD 平分∠FAE ，
∴∠DAF ＝∠DAE
∵BD ＝CD
∴∠DBC ＝∠DCB
∵∠BAC ＋∠DAF ＋∠DAE ＝180°，
∠BDC ＋∠DBC ＋∠DCB ＝180°，
∠BDC ＝∠BAC
∴∠DAF ＋∠DAE ＝∠DBC ＋∠DCB
∴∠DAF ＝∠CBD ，故③正确
综上所述，正确的结论有①②③．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等． 17．10【分析】作DH ⊥OB 于点H 根据角平分线的性质得到DH=DP=5根据三角形的面积公式计算得到答案【详解】解：作DH ⊥OB 于点H ∵OC 是∠AOB 的角平分线DP ⊥OADH ⊥OB ∴DH=DP=5∴△OD
解析：10
【分析】
作DH ⊥OB 于点H ，根据角平分线的性质得到DH=DP=5，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：作DH ⊥OB 于点H ，
∵OC 是∠AOB 的角平分线，DP ⊥OA ，DH ⊥OB ，
∴DH=DP=5，
∴△ODQ的面积=1
2×OQ×DH=
1
2
×4×5=10；
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．4cm【分析】根据求得AM的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM平分∠POQ∴故答案为：4cm【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解
解析：4cm
【分析】
根据
1
2
AOM
S OA AM
=⋅求得AM的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求
解．【详解】
解：
11
48
22
AOM
S OA AM AM
=⋅=⨯=，
解得4cm
AM=，
∵OM平分∠POQ，
∴4cm
MB AM
==，
故答案为：4cm．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．19．30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°可得∠ACD＝∠BCE利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE则BE＝AD∠DAC＝∠EBC再证明∠DBE＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】
解析：30
【分析】
根据∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACD＝∠BCE，利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE，则BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，再证明∠DBE＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∵AC＝BC，∠ADC＝∠BEC，
∴△ACD≌△BCE．
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC．
∵∠DAC＋∠ABC＝90°，
∴∠EBC＋∠ABC＝90°．
∴△BDE为直角三角形．
∵AB＝17，BD＝5，
∴AD＝AB－BD＝12．
∴S△BDE＝1
BD BE＝30．
2
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．
20．4【分析】由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC可得出答案【详解】解：作DE⊥AB于E∵AD平分∠CAB且
DC⊥ACDE⊥AB∴DE=DC∵S△ABD=20cm2AB=10cm∴•AB•DE=2
解析：4
【分析】
由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC，可得出答案．
【详解】
解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵S△ABD=20cm2，AB=10cm，
∴1
•AB•DE=20，
2
∴DE=4cm，
∴DC=DE=4cm
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题
21．见解析
【分析】
根据SSS可证明△ABD≌△CDB，即可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，进而可证明结
论．
【详解】
在ABD ∆和CDB ∆中
AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
()ABD CDB SSS ∴∆≅∆
ABD CDB ∴∠=∠
ADB CBD ∠=∠
ABC ABD CBD ∠=∠-∠
CDA CDB ADB ∠=∠-∠
ABC CDA ∴∠=∠
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，利用SSS 证明△ABD ≌△CDB 是解题的关键． 22．（1）添加一个角有关的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌，理由见解析；（2）BAE ∠的度数为135︒．
【分析】
(1)根据已知条件，选择SAS 原理，可确定添加的角；
(2)利用三角形全等，∠B 的度数，可求∠BAC+∠DAE ，问题可解.
【详解】
（1）添加一个角方面的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌.
在ABC 和DEA △中
∵AB DE =，BAC EDA ∠=∠，AC DA =，
∴()SAS ABC DEA ≌
△△； （2）在（1）的条件下∵
ABC DEA ≌，
∴ACB DAE ∠=∠，
若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，
则18070ACB BAC B ∠+∠=︒-∠=︒，
∴70DAE BAC ACB BAC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴7065135BAE DAE BAC CAD ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，
即BAE ∠的度数为135︒.
【点睛】
本题考查了三角形全等，熟练掌握全等三角形判定原理和性质是解题的关键.
23．（1）见解析；（2）图2：CE CD BC =-；图3：CE BC CD =+；（3）14或6
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠BCA=45°，得到∠BAD=∠CAE ，利用SAS 定理证明ABD ACE △≌△，根据全等三角形的性质得到BD=CE ，结合图形证明；
（2）同（1）的方法判断出ABD ACE △≌△，得出BD=CE ，即可解决问题； （3）根据（1）（2）得到的结论代入计算即可．
【详解】
证明：（1）ABC 、ADE 均是等腰直角三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，BAC DAE ∠=∠．
BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠．
BAD CAE ∴∠=∠，
在ABD △和CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)ABD ACE ∴≌，
BD CE ∴=．
BD BC CD =-，
CE BC CD ∴=-．
（2）如图2中，CE CD BC =-，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ，
即∠BAD=∠EAC ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD=CE ，
∴CD=BC+BD=BC+CE
即：CE CD BC =-．
如图3中，CE=BC+CD ．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE ，
∴在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD=CE ，
∴BD=BC+CD ，
即CE=BC+CD ．
综上所述，若D 在CB 延长线上，如图2中，得到结论：CE CD BC =-，如图3，得到结论：CE BC CD =+．
（3）∵在图1、图2中：CE CD BC =-（已证），10CE =，4CD =
∴=+=10+4=14BC CE CD
∵在图3中：CE=BC+CD （已证），10CE =，4CD =
∴=-=10-4=6BC CE CD
即：14或6．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）2cm ．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得90ADC E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先结合（1）的结论可得6CE cm =，再根据线段的和差可得2CD cm =，然后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】
（1）,AD CE BE CE ⊥⊥，
90ADC E ∠=∠=∴︒，
90CAD ACD ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90BCE ACD ∴∠+∠=︒，
CAD BCE ∴∠=∠，
在ACD △和CBE △中，ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD CBE AAS ∴≅，
AD CE ∴=；
（2）由（1）已证：AD CE =，
6AD cm =，
6CE cm ∴=，
4DE cm =，
2CD CE DE cm ∴=-=，
又由（1）已证：ACD CBE ≅，
2BE CD cm ∴==．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
25．（1）见解析；（2）A(
32，52)或(52，-32
)． 【分析】
（1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．
（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．
【详解】
（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．
∵∠BHA=90 ，
∴∠2+∠B=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠1 ．
在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABH ≅△DAM （AAS ），
∴AH=DM ．
同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），
∴ AH=EN ．
∴EN=DM ．
在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．
∴DG=EG ．
∴点G 是DE 的中点．
（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．
①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．
利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，
∴AC BD OC AD DE ===，，
设AC x =，则BD x =，
∵1DE BD BE x =+=+，
∴1OC AD DE x ===+，
又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =
， ∴32
AC =，35122DE =+=． 即点A 坐标为(
32，52)．
②当A点在OB的下方时，如图，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA和BM的延长线交于点Q．
根据①同理可得：
5
2 AP
=，
3
2
MQ=．
即点A坐标为(
5
2
，
3
2
-)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．
26．16米
【分析】
已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定义可得∠CDO=90︒，可得PB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB，即可根据ASA定理判定
△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP=90︒，
∴∠ABP=90︒，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD=PB，
在△ABP与△CDP中，
ABP CDP
PD PB
APB CDP
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD=AB=16米．
【点睛】
本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．。