河北省石家庄市复兴中学人教A版高中数学必修四：2-4-2

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
班级 姓名 小组 号
【学习目标】
1．说出平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角． 2．能用两个向量的坐标判断它们的垂直关系． 3．增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识． 【重点难点】
重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角． 难点：公式的灵活应用 【学情分析】
学生已经学习了向量的和、差以及数乘的运算，对平面向量的性质有了初步的了解，这一节我们将从平面向量数量积的坐标角度处理向量问题。

【导学流程】 自主学习内容 一、回顾旧知：
1.零向量与任意向量的数量积为____。

2.平面向量数量积的性质：设a b 与均为非空向量： ①a b ⊥⇔___________
②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝ ， ③=⋅a a __________或a =___________。

④a b ⋅≤ ⑤cos =θ 二、基础知识感知
阅读课本106-107页，总结向量数乘的相关知识，填写下列内容。

1．平面向量数量积的坐标表示
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝___________.即两个向量的数量积等于______________． 2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔_____________. 3．三个重要公式
(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝__________.
(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →
|＝______________________.
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝ ______________________. 三．探究问题:
探究一：平面向量数量积的坐标表示 【例1】已知向量a ＝()4，3，b ＝()－2，1. (1)求||a ，||b ； (2)求a ·b 的值；
(3)求()a ＋2b ·()a －b 的值．
探究二：求向量的模
【例2】设a ＝(1,2)，b ＝(－3,1)，求|3a ＋2b |.
探究三：两向量的垂直问题
【例3】在△ABC 中，设AB →＝(2,3)，AC →
＝(1，k )，且△ABC 是直角三角形，求k 的值．
探究四：两向量的夹角问题
【例4】已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，k a －b 与a ＋b 的夹角为120°
请及时记录自主学习过程中的疑难：
小组讨论问题预设:
已知a 与b 同向，b ＝()1，2，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标；
(2)若c ＝()2，－1，求a ()b ·c 及()a ·b c .
提问展示问题预设：
已知向量a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，求向量b
课堂训练问题预设：
1．已知向量a ＝()4，3，b ＝()－2，1. (1)求向量a ＋b 与a －b 的夹角θ；
(2)若向量a －λb 与2a ＋b 垂直，求λ的值．
整理内化： 1、 课堂小结
2、 本节课学习内容中的问题和疑难
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【课后限时训练】时间50分钟
第Ⅰ部分 本节知识总结
第Ⅱ部分 基础知识达标
一、选择题(每题5分，共45分)
1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 上的投影为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 5 D ．2 5
2．m ，n 是两个非零向量，m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下不等式与m ⊥n 等价的个数有( ) ①m ·n ＝0；②x 1·x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2
＋n 2
. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152
4．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，－1)，则(a ·b )·(a ＋b )＝( ) A ．(1，1) B ．(－4，－4) C ．－4 D ．(－2，－2)
5．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于( ) A.52 B ．2 C ．1 D.72
6．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.34π
7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(0,1)，则|a ＋2b |＝( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 D ．4
8．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
9．已知OA →＝(－3,1)，OB →＝(0,5)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →
，则点C 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，294 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－294 二、填空题(每题5分，共10分)
10．已知向量a ＝(1,2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |＝________.
11．设m ∈R ，向量a ＝(m ＋1,3)，b ＝(2，－m )，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________. 三．解答题（共45分）
15．（15分）已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝()1，0，e 2＝()0，1.
(1)求a ·b ； (2)求||a ＋b (3)求a 与b 的夹角的余弦值．
9．（15分）已知向量a ＝()1，2，b ＝()x ，1， (1)当x 为何值时，使()a ＋2b ∥()2a －b ？ (2)当x 为何值时，使()a ＋2b ⊥()2a －b ？
10．（15分）已知三个点A ()2，1，B ()3，2，D ()－1，4. (1)求证：AB →⊥AD →；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值
答疑解惑
本节学习中存在的疑难：。