《高等数学》学位考复习卷2(解答)

《高等数学》学位考试复习卷2（解答）
一．填空题（本题15分，每小题3分）
1．设()22y f x =-, 其中f 为可导函数, 则y '= 4xf - 。

解：()44y f x xf '''=⋅-=-。

▍
2．设0>a , 函数()()
2ln 1,0,2,0
x ax x f x x
a x ++⎧>⎪
=⎨⎪-≤⎩
在0=x 处连续, 则常数a = 2 。

解：()20
lim 2x f x a -
→=-；()0
lim x f x a +
→=；()202f a =-。

由22a a -=，且0a >，所以2a =。

▍
3．设2x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x = 2x 。

解：()()22f x x x '
==。

▍ 4．过点()1,1,1P 且与直线
3
32
1+=
=-z y x 垂直的平面方程为 2360x y z ++-= 。

解：∵()2,1,3n s ==
，∴平面方程为()()()2111310x y z -+-+-=，即2360x y z ++-=。

▍ 5．设∑是平面1=++z y x 在第一卦限的部分, 则曲面积分()d x
y z S ∑
++=⎰⎰
2。

解：d S σσ==。

(){},01,0D x
y x y x =
≤≤≤≤。

(
)1d 1112
2
D
x y z S σ∑
++=
=
⨯⨯=
⎰⎰⎰⎰。

▍
二．选择题（本题15分，每小题3分）
下列每小题给出4个答案，其中只有一个答是正确的，请将正确答案的编号填入括号内。

1．函数2
2
2z x y =+在点()1,1P 沿其梯度方向()
1,1grad l z
→
=的方向导数d d z l
=
[ A ]。

A ．52；
B ．5；
C ．→
→+j i 42；
D ．
→
→
+j i 24。

解：
grad z z l
∂==
=
=
=
=∂
2．0=x 是函数()1arctan f x x
=的间断点，间断点的类型为 [ B ] 间断点。

A ．可去；
B ．跳跃；
C ．无穷；
D ．振荡。

解：0
1lim arctan
2
x x
π
-
→=-
，0
1lim arctan
2
x x
π
+
→=+。

所以（B ）0x =为跳跃间断点。

▌
3．()()()6
6
ln 1sin f x x
x =++，()()2
2
2sin d x g x t t =⎰
，0
x →
, 则()f x 是()g x 的[ B ]。

A ．等价无穷小；
B ．同阶但非等价的无穷小；
C ．高阶无穷小；
D ．低阶无穷小。

解：()()
()()()
()()()
2
23
2
6
6
3
3
3
2
2
2
3cos 3ln 1sin ln 1sin 1lim
lim
lim 2sin 2sin d 2sin d u x x u u u
u u
x x u
u u
u
t t
t t
→→→+⋅+++++==⎰⎰
()33
01cos 31lim 32
u u u →⎛⎫
+⋅ ⎪+⎝⎭
==。

（B ）同阶无穷小非等价。

▍ 4．设级数2
1
n n a ∞=∑ 收敛, 常数0>k , 则级数(
)
1
1n
n ∞
=-∑ [ D ]。

A ．发散；
B ．收敛性与常数k 有关；
C ．条件收敛；
D ．绝对收敛。

解：
绝对值级数1
n ∞
=∑
22
1112n n a a n
n ⎛⎫≤⋅
≤
+ ⎪⎝⎭。

（∴()22
2ab a b ≤+和0k >）。

∵2
1
n n a ∞
=∑已知收敛；又2
1
1n n
∞
=∑
是21p =>的收敛p -
级数。

∴绝对值级数1
n ∞
=∑
从而(
)
1
1n
n ∞
=-∑是绝对收敛的。

（D ）正确。

▍
5．设D 是由曲线21x y =+, 直线1=y 及两条坐标轴围成的区域，则d d D
y x y =⎰⎰[ C ]。

A ．
43
； B ．
53
；
C ．
34
； D ．
5
3。

解：()2
1
42
1112
3d d d d 1d C 424y D
y y y x y y y x y y y +⎡⎤=
=
+=+=⎢⎥
⎣⎦⎰⎰⎰
⎰⎰。

（）▍
三．（本大题共5小题，每小题6分）
1．讨论函数()2cos f x x x =+ 在区间()0,π内的单调性与极值。

解：()12sin f x x '=-，在()0,π内的驻点6
x π
=和56
x π=。

∴在0,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
和5,6π
π⎛⎫
⎪⎝⎭
内()0f x '>，
∴它们是单增区间；∵在5,66π
π⎛⎫ ⎪⎝⎭内()0f x '<，∴它是单减区间。

并且，
函数极大值33f ππ
⎛⎫=
⎪⎝⎭+；
函数极小值3232f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭
-
2
．计算ln 20d x ⎰。

解：(
)
[]2
,ln 1ln 21120
2d 2arctan 1214t x t
t t
x
t t t t π=+=
⋅
=⎛
-=⎫- ⎪⎝⎭+⎰
⎰。

▍ 3．求微分方程3324e x y y y '''-+= 的通解。

解：∵特征方程2320r r -+=，特征根121,2r r ==，∴齐次方程的通解为212e e x x y C C =+。

∵()34e x f x =，1,23r λ=≠，∴令非齐次方程的特解为3e x y A *=。

代入非齐次方程33339e 33e 2e 4e x x x x A A A A -⋅+⋅=⋅，解出2A =。

∴32e x y *=。

于是，非齐次方程的通解为：2312e e 2e x x x y C C =++。

▍ 4．设函数(),z z x y = 由方程
y
z z
x ln
=确定, 求全微分d z 。

解：方程两边求微分，
2
2
d d d d z x x z
y y z z y z
z y
--=
⋅，化简得到()2
d d d xy yz z yz x z y +=+。

所以，()()
d d d z y x z y z y x z +=
+。

▌
5. 设Ω
由锥面z =
1=z 所围成，将三重积分(),,d d d f x y z x y z Ω
⎰⎰⎰化成直角坐标系下
的三次积分，其中函数f 在Ω上连续。

解：投影区域2
2
:1D x y +≤。

(
)(
)111
d ,,,,d d x y f
x y z z f x y z v -Ω
=
⎰
⎰⎰⎰。

▍
四．（本大题共3小题, 每小题7分）
1．设平面区域D 由曲线e x y =及直线0,0,1x y x ===所围成。

(1) 求区域D 的面积； (2) 求区域D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积。

解：（1）面积11
00e d e 1e x x
A x ⎡⎤=
==⎣⎦-⎰。

（2）旋转体体积()
()1
1
1
2
220
00
2e 1e
d e d 1e 22x
x
x V x x ππππ⎡⎤
====⎢⎥⎣⎦-⎰⎰。

▍
2．计算曲线积分()222sin d cos d L
y xy x x x y -+⎰，其中L
为上半圆周y =上从()3,0A →
()3,0B -的弧段。

解：加直线1:0,:33L y x =-→。

∴1L L +形成围线。

∵22sin P y xy x =-，2cos Q x =，212sin y P x x =-，22sin x Q x x =-，∴由格林公式就有
()1
2
19132
2x
y L L D Q
P d πσπ+=
-=-⨯⨯⨯
=-
⎰
⎰⎰。

注意到1
0L =⎰，∴1
1
92
L
L L L π
+=
-
=-
⎰
⎰
⎰。

▍
3．如图所示的电路, 电源的电动势为t E E m ωsin =, 其中ω
,m
E 及电阻R 与电感L 均为常量。

由回
路电压定律可得电路中电流强度)(t i 应满足的微分方程为：
()d sin ,
00d m
E
i R i t i t
L L
ω+
=
=。

求电流强度)(t i 随时间变化的的关系式。

解：这是一阶线性非齐次方程，()(),sin m E R P t Q t t
L
L
ω=
=。

由通解公式
()e e sin R R t
t m L L
E i t tdt C L ω-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()222
sin cos e R
t m L E R t L t C R L
ωωωω-=-++。

由()00i =，确定222
m
L E C R L
ωω=+。

所以初值问题的解 ()()2
2
2
2
2
2
e
sin cos R t
m m L
LE E i t R t L t R L
R L
ωωωωωω-
=
+
-++。

▍
五．（本题13分）
1．(4分) 求幂级数21
2
1
(2)!(!)
n n n x
n ∞
-=∑
的收敛半径。

解：()()()()
()()()
()()
()
211
21
2
2
12
2
2
21!
21222!lim
lim
lim
4!11!n n n n n n n n n n n u x
x x
x
u n n n +--+→∞
→∞
→∞
+++==⋅=++。

∵当12
x <时，1lim
1n n n
u u +→∞
<，∴收敛半径12
R =。

▍
2．(5分) 将函数()e x f x x -=展开成x 的幂级数。

解：∵2
3
e 1,2!
3!
!
!
n n
x
n x
x
x
x
x x n n ∞
==++
+
++
+=
-∞<<+∞∑
，
∴()()
()
1
1!
e
!
n
x
n
n n n x n n f x x x
x ∞
-+∞
==-==-=
∑
∑
，x -∞<<+∞。

▍
3．(4分) 设函数()f x 以2π为周期，它在[,)ππ-上的表达式为：()[)[)0,,0,4,
0,.
x f x x ππ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩
若将()f x 展开成傅立叶级数
()01
cos sin 2
n
n n a a
nx b nx ∞
=+
+∑，试确定7a 的值。

解：∵()0
cos d 4cos d n a f x nx x nx x π
π
π
-
==
⎰⎰。

∴[]0
714cos 7d 4s 0in 77
x x x a ππ
=⨯
=
=⎰。

▌
六．（本题6分）
设函数()f u 有二阶连续导数。

若令22u x y =-，则复合函数)(22y x f z -=满足关系式
()()2
2
2
2
2
2
22
z z x y
z x
y
x
y
∂∂+
=++-∂∂。

试证明函数)(u f 满足微分方程4f f u ''-=。

证：
2z f x x
∂'=⋅∂，
()2
2
2
2
2242z f x f x f f x
∂''''''=⋅+=+∂。

同理有2z f y y
∂'=-⋅∂，
()2
2
2
2
2242z f y f y f f y
∂''''''=⋅--=-∂。

∴
()2
2
22
22
4z z x y
f x
y
∂∂''+
=+∂∂。

因此，2
2
4f z x
y f u
''=+-=+，即4f f u '''-=。

▍。